14.. 14. RAMY PRZESTRZENNE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

Część 1
14. RAMY PRZESTRZENNE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
1

14.
.
14. RAMY PRZESTRZENNE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
14.1. Wstęp
Układ przestrzenny – to konstrukcja, której elementy ułożone są w trzech wymiarach (x, y, z). Układem
przestrzennym jest także konstrukcja płaska wpisana w płaszczyznę, na którą działają siły prostopadłe do tej
płaszczyzny (kierunek ich działania pokrywa się z trzecim wymiarem).
Ramy przestrzenne statycznie niewyznaczalne rozwiązujemy analogicznie jak układy płaskie.
W celu obliczenia przemieszczeń należy określić siły, jakie występują w przekrojach ustroju prętowego.
W układach przestrzennych rozróżniamy siły działające wzdłuż trzech osi, momenty zginające w dwóch
płaszczyznach i moment skręcający. Moment działający wokół osi zaznaczamy jako wektor z podwójnym
grotem wzdłuż tej osi (przyjmujemy oznaczenia jak dla układów prawoskrętnych).
z
z
M
Tz
Mz
≡
M
x
Mx
Мy=Ms
x
Tx
y
Ny
y
Przemieszczenia będą obliczane ze wzoru:
ik =∑
{∫
s
M xi M xk
M M
N N
ds∫ zi zk ds∫ yi yk ds
EJ 1
EJ 3
EA
s
s
s
T T
T T
M iM
∫  xi xk ds∫  zi zk ds∫
GA
GA
GJ s
s
s
s
s
k
ds
}
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
(14.1)
AlmaMater
Część 1
14. RAMY PRZESTRZENNE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
2
gdzie:
GJs
- parametr charakteryzujący sztywność na skręcanie.
14.2. Sztywność na skręcenie
W zależności od kształtu przekroju pręta i rodzaju materiału z jakiego został on wykonany, określa się
sztywność na skręcanie (GJs). Parametry fizyczne określamy ze wzoru:
G=
E
2 ⋅1 
(14.2)
gdzie:
G
- moduł Kirchhoffa,
E
- moduł Younga,

- współczynnik Poissona.
Parametry geometryczne zależą od kształtu przekroju:
•
dla prostokąta:
(14.3)
J S =k⋅h⋅b3
gdzie:
k
•
- współczynnik zależny od stosunku wysokości do szerokości prostokąta.
dla koła:
J S =J 0 =2 J x
•
(14.4)
dla kształtowników cienkościennych otwartych:
1
J S =⋅ ⋅∑ hi⋅bi3
3 i
(14.5)
gdzie:
h, b
- wymiary półek i środników traktowanych jako prostokąty (b jest mniejszym wymiarem boku),

- współczynnik poprawkowy zależny od kształtu przekroju.

•
kątownik
dwuteownik
ceownik
teownik
1
1,2
1,12
1,15
dla przekroju cienkościennego zamkniętego:
J S=
4 ⋅ 2 ⋅
s
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
(14.6)
AlmaMater
Część 1
14. RAMY PRZESTRZENNE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
s
δ
ω
3
s
δ
ω
gdzie:

- pole powierzchni zawarte w obrębie linii środkowej,
s
- obwód linii środkowej,

- grubość (stała lub średnia).
Sposób rozwiązywania ram przestrzennych statycznie niewyznaczalnych omówimy na przykładzie liczbowym.
Zadanie 1
Dla ramy przestrzennej (rys. 14.1) wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych wywołanych zadanym
obciążeniem. Przyjąć, że rama składa się z prętów stalowych o przekroju kołowym (G=0,375E, Js=2J).
z
10 kN
y
x
4,0
5,0
[m]
5 kN/m
3,0
Rys. 14.1. Zadany układ przestrzenny
Układ jest statycznie niewyznaczalny dlatego określamy stopień statycznej niewyznaczalności i dobieramy
układ podstawowy. Aby w przestrzeni układ utracił swobodę ruchu niezbędnych jest sześć więzów.
Rozpatrywana rama ma osiem więzów wobec tego:
SSN = 8 – 6 = 2
W celu rozwiązania zadania metodą sił przyjmujemy układ podstawowy (geometrycznie niezmienny w
przestrzeni).
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 1
14. RAMY PRZESTRZENNE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
z
10 kN
B
y
X2
x
4,0
X1
[m]
4
5 kN/m
5,0
A
3,0
Rys. 14.2. Układ podstawowy z niewiadomymi siłami X1 i X2
który musi spełniać warunki kinematycznej zgodności z układem wyjściowym. Oznacza to, że przemieszczenie
punktu A po kierunku osi y oraz przemieszczenie punktu B po kierunku osi z muszą być równe zero.
 Ay=0
 zB=0
Na powyższe przemieszczenia wpływ mają nadliczbowe siły Xi oraz obciążenie zewnętrzne. Równania
kanoniczne przyjmą zatem postać:
 Ay=11 ⋅X 1 12 ⋅X 2 1 P=0
 Bz =21 ⋅X 1  22 ⋅X 2  2 P=0
(14.7)
Przemieszczenia w ramie przestrzennej obliczymy pomijając wpływ sił normalnych i tnących:
1⋅ik =∑∫
s
s
s
M yi M yk
M M
M M
ds∑∫ zi zk ds∑∫ i k ds
EJ y
EJ z
GJ s
s
s
(14.8)
gdzie:
M iy , M ky , M iz , M kz - momenty zginające działające odpowiednio względem osi y i z,
M is , M ks
- momenty skręcające względem osi pręta,
Js
- moment bezwładności na skręcanie.
Ponieważ przekrój pręta jest kołowy, to Jy = Jz =J , a moment na skręcanie jest równy biegunowemu
momentowi bezwładności Js = J0 = Jz + Jy = 2J. Podstawiając dane G i Js otrzymamy:
1⋅ik =∑∫
s
M iy M ky
M iz M kz
M is M ks
ds∑∫
ds∑∫
ds
EJ
EJ
s
s 0,75 EJ
(14.9)
Kolejnym etapem jest wyznaczenie wartości momentów zginających i skręcających od sił jednostkowych,
przyłożonych kolejno w miejsca niewiadomych X1 i X2, oraz od obciążenia zewnętrznego.
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 1
•
14. RAMY PRZESTRZENNE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
5
Stan od obciążenia X1 = 1
z
y
x
4,0
X1=1
[m]
5,0
3,0
Rys. 14.3. Układ podstawowy obciążony siłą X1 =1
z
z
y
y
x
x
3
4
-4
-
4
4,0 -3 -
4,0
5,0
[m]
5,0
M1 [m]
3,0
[m]
Ms1 [m]
3,0
Rys. 14.4. Wykres momentów zginających i skręcających od obciążenia X1 = 1
•
Stan od obciążenia X2 = 1
z
X2=1
y
x
4,0
5,0
[m]
3,0
Rys. 14.5. Układ podstawowy obciążony siłą X2 =1
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 1
14. RAMY PRZESTRZENNE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
z
y
z
3
y
3
+
x
x
5
3
5
6
+
5
4,0
4,0
[m]
5,0
5,0
M2 [m]
Ms2 [m]
[m]
3,0
3,0
Rys. 14.6. Wykres momentów zginających i skręcających od obciążenia X2 = 1
•
Stan od obciążenia P
z
10 kN
y
x
4,0
5,0
[m]
5 kN/m
3,0
Rys. 14.7. Układ podstawowy obciążony siłami zewnętrznymi
z
z
y
50
x
10 30
60
30
4,0
y
x
-10
-
40
4,0 60
+
5,0
5,0
M
s0
P
M0P [kNm]
[m]
90
3,0
[m]
[kNm]
3,0
Rys. 14.8. Wykres momentów zginających i skręcających od obciążenia zewnętrznego
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 1
14. RAMY PRZESTRZENNE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
7
Obliczamy potrzebne w równaniach kanonicznych przemieszczenia korzystając z metody Wereszczagina –
Mohra, pamiętając o mnożeniu wykresów w odpowiednich płaszczyznach (mnożyć można momenty działające
w tych samych płaszczyznach):


1
2
1
2
1
⋅4 ⋅4 ⋅ ⋅4  ⋅3 ⋅3 ⋅ ⋅3 
⋅[−4 ⋅3 ⋅−4−3⋅4 ⋅−3 ]=163, 6 
2
3
2
3
0,75
1
2
1
2
1
EJ  22 =2 ⋅ ⋅3 ⋅3 ⋅ ⋅3 4 ⋅5 ⋅5  ⋅5 ⋅5 ⋅ ⋅5 
⋅[ 5 ⋅3 ⋅5 3 ⋅5 ⋅3 ]=319, 6 
2
3
2
3
0,75
1
1
EJ 12 =− ⋅4 ⋅4 ⋅5 
⋅−4⋅3 ⋅5 =−120,0
2
0,75
1
2
2 5 ⋅4 2
1
1
2
1
2
1
EJ 1 P=− ⋅40 ⋅4 ⋅ ⋅4  ⋅
⋅4 ⋅ ⋅4 − ⋅60 ⋅3 ⋅ ⋅3  ⋅4 ⋅4 ⋅ ⋅10  ⋅90 
2
3
3
8
2
2
3
2
3
3
1

⋅[−4 ⋅3 ⋅−10−3 ⋅4 ⋅60 ]=−846, 6 
0,75
1
2
1
1
1
1
EJ  2 P=− ⋅50 ⋅5 ⋅ ⋅5  ⋅30 ⋅3 ⋅ ⋅3 − ⋅10 90⋅4 ⋅5 
⋅−10⋅3 ⋅5 =−1571, 6 
2
3
2
3
2
0,75
EJ 11 =2 ⋅


Układ równań kanonicznych przyjmuje postać:
{
163, 6 
846,6 
120,0
⋅X 1 −
⋅X 2 −
=0
EJ
EJ
EJ
319,6 
1571, 6 
−120,0
⋅X 1 
⋅X 2 −
=0
EJ
EJ
EJ
Z rozwiązania powyższego układu otrzymano wartości sił nadliczbowych:
{
X 1 =12,111 [ kN ]
X 2 =9,463 [ kN ]
Wartości momentów zginających i skręcających w układzie niewyznaczalnym otrzymamy korzystając z
zasady superpozycji:
M n =M 0P M 1 ⋅X 1 M 2 ⋅X 2
(14.10)
M sn=M s0P M 1s ⋅X 1 M 2s ⋅X 2
z
z
y
28,389
x
30
11,129
[m]
42,685
x
+
28,389
8,444
2,685
14,399
23,667
4,0 30
28,389
y
2,42
3,0
23,667
-11,129
-
+
4,0
5,0
M(n) [kNm]
5,0
Ms(n) [kNm]
[m]
3,0
Rys. 14.9. Wykres momentów zginających i skręcających w układzie statycznie niewyznaczalnym
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 1
14. RAMY PRZESTRZENNE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
8
Następnie przeprowadzamy kontrole otrzymanych wyników.
•
Sprawdzenie równowagi momentów w węzłach
z
z
y
30
11,129
x
28,389
x
11,129
11,129
2,685
23,667
30
28,389
23,667
•
y
∑ M x=0
∑ M y=0
∑ M z =0
8,444
Kontrola kinematyczna
W celu wykonania kontroli kinematycznej korzystamy z twierdzenia redukcyjnego. Do sprawdzenia
przyjęto wyjściowy układ podstawowy oraz wykresy momentów powstałe od obciążenia siłami X1 = 1 oraz
X2 = 1 (tym razem przyłożone siły jedynkowe są traktowane jako siły wirtualne).
Korzystając ze wzorów:
M 1y M y n
M 1z M z n
M 1s M sn
∑∫
∑∫
EJ
EJ
0,75 EJ
y
y n
z
z n
s
M
M
M
M
M
M s n
1⋅ zB=∑∫ 2
∑∫ 2
∑∫ 2
EJ
EJ
0,75 EJ
1⋅ Ay=∑∫
(14.11)
otrzymano wartości przemieszczeń:
2
1
2
2 5 ⋅4
1
1
2
EJ  Ay= ⋅8,444 ⋅4 ⋅ ⋅4  ⋅
⋅4 ⋅ ⋅4 − ⋅3 ⋅23,667 ⋅ ⋅3 
2
3
3
8
2
2
3
1
2
1
1
 ⋅4 ⋅4 ⋅ ⋅11,129  ⋅42,685 
⋅−4 ⋅3 ⋅−11,129 −3 ⋅4 ⋅23,667 =
2
3
3
0,75
=200,548 −200,608 =−0,060
−0,060
 Ay=
≈0
EJ




1
2
1
2
1
2
1
EJ  zB= ⋅28,389 ⋅3 ⋅ ⋅3 − ⋅2,685 ⋅5 ⋅ ⋅5  ⋅3 ⋅3 ⋅ ⋅28,389  ⋅30 −
2
3
2
3
2
3
3
1
1
− ⋅11,129 42,685 ⋅4 ⋅5 
⋅3 ⋅5 ⋅28,389 −3 ⋅5 ⋅11,129 =
2
0,75
=−345,181345,200=0,019
0,019
 Bz=
≈0
EJ
które są bliskie zeru, co świadczy o poprawności rozwiązań.
Ostatnim etapem rozwiązania zadania jest wyznaczenie sił tnących i normalnych.
Ponieważ przy obliczeniu przemieszczeń pominięto wpływ sił normalnych i tnących i nie stworzyliśmy
wykresów tych sił w stanach jednostkowych, to teraz nie możemy skorzystać z zasady superpozycji. Wykresy
te w układzie niewyznaczalnym musimy wykonać rozwiązując ramę obciążoną siłami nadliczbowymi i
zewnętrznymi.
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 1
14. RAMY PRZESTRZENNE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
z
9
10 kN
y
x
9,463 kN
4,0
5,0
12,111 kN
[m]
5 kN/m
3,0
Rys. 14.10. Układ podstawowy obciążony znanymi siłami X1 i X2 i obciążeniem zewnętrznym
Wykresy sił normalnych i tnących w układzie statycznie niewyznaczalnym przedstawiono na rys. 14.11.
-9,463
z
z
x
x
4,0
-
y
y
-0,537
-7,889
-0,537
+
7,889
4,0
-
5,0
-0,537
7,889
+
+
N(n) [kN]
[m]
5,0
2,42
[m]
3,0
T(n) [kN]
12,111
3,0
Rys. 14.11. Wykres sił normalnych i tnących w układzie statycznie niewyznaczalnym
Ostatnim etapem jest kontrola wykresów sił normalnych i tnących.
•
Sprawdzenie równowagi sił normalnych i tnących w węzłach
7,889
0,537
0,537
10,0
0,537
9,463
7,889
7,889
7,889
0,537
∑ X =0
∑ Y =0
∑ Z =0
0,537
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater