Microsoft Word Viewer 97 - 6 metoda ciężarków sprężystych
Transkrypt
Microsoft Word Viewer 97 - 6 metoda ciężarków sprężystych
WYKŁADY Z MECHANIKI BUDOWLI 1 METODA CIĘŻARKÓW SPRĘŻYSTYCH Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Wojciech Pawłowski, Michał Płotkowiak, Krzysztof Tymper Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI Poznań 2002/2003 MECHANIKA BUDOWLI 6 CIĘŻARY SPRĘŻYSTE Wyznaczanie przemieszczeń z zastosowaniem równań pracy wirtualnej w ramach, łukach, kratownicach statycznie wyznaczalnych. • przemieszcznie punktu A po kierunku działania jedynkowej siły wirtualnej, przyłożonej w tym punkcie • obrót przekroju A Politechnika Poznańska® Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper WYKŁADY Z MECHANIKI BUDOWLI METODA CIĘŻARKÓW SPRĘŻYSTYCH • wzajemny obrót punktów A i B • zbliżenie punktów A i B • obrót cięciwy o długości a • zmiana kąta zawartego między stycznymi do prętów zbiegających się w przegubie • obrót pręta kratownicy D o długości a Politechnika Poznańska® Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper 2 WYKŁADY Z MECHANIKI BUDOWLI 3 METODA CIĘŻARKÓW SPRĘŻYSTYCH • wzajemne zbliżenie węzłów A i B (względnie oddalenie) • zmiana kąta zawartego między prętami o długości a i b Równanie pracy wirtualnej dla kratownicy uwzględnia jedynie działanie siły normalnej (siły podłużnej w prętach). 1δ = ∑ N j ( j N P( j ) + α t ⋅ t j )l j EA j (6.1) gdzie j- numer pręta NP(j)- siła normalna w j- tym pręcie, będąca wynikiem działania obciążenia P N j -siła normalna w j-tym pręcie będąca wynikiem działania obciążenia wirtualnego EAj- sztywność podłużna j- ego pręta αt-współczynnik przewodzenia ciepła j-ego pręta tj-przyrost temperatury w j-tym pręcie (równomierne ogrzanie lub oziębienie pręta) t=to-tm(to-ekstremalna temp. we włóknie środkowym, tm-temp. montażu) lj-długość j-ego pręta Ciężary sprężyste (ciężarki sprężyste) Jest to jedna z metod obliczania linii ugięcia, stosowana najczęściej przy wyznaczaniu składowych przemieszczeń pewnej grupy punktów układu (dotyczy to punktów osi ramy lub łuku, pasa górnego, dolnego lub wszystkich węzłów kratownicy równocześnie) Posłużmy się pewną analogią: Politechnika Poznańska® Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper WYKŁADY Z MECHANIKI BUDOWLI 4 METODA CIĘŻARKÓW SPRĘŻYSTYCH Rozpatrzmy pewien układ belkowy obciążony rzeczywistymi siłami zewnętrznymi Siły te wywołują poniższe wykresy sił poprzecznych i momentów zginających: ϕi ϕ i +1 Z rysunku wynika: tgϕ i = tgϕ i +1 = M i − M i −1 dM = ai dx M i +1 − M i dM = ai +1 dx = Ti l (6.2) i = Ti p (6.3) i +1 Biorąc pod uwagę konwencję znakowania sił poprzecznych możemy zapisać: Pi = Ti l − Ti p = tgϕ i − tgϕ i +1 (6.4) Miary kątów są bardzo małe, możemy zatem przyjąć że tgα≈α, czyli: Pi ≈ ϕ i − ϕ i +1 Politechnika Poznańska® Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper (6.5) WYKŁADY Z MECHANIKI BUDOWLI 5 METODA CIĘŻARKÓW SPRĘŻYSTYCH Rozpatrzmy teraz układ belkowy, do którego przyłożone fikcyjne obciążenie w postaci sił skupionych W. Aproksymując linię ugięcia belki łamaną, otrzymujemy następujący wykres: δ i −1 δi δ i +1 αi αi Wykres spełnia następujące zależności: tgα i = δ i − δ i −1 δ − δi ≈ α i , tgα i +1 = i +1 ≈ α i +1 ai ai +1 (6.6) Jeżeli założymy, że wykres ugięć δ(x) jest identyczny z wykresem momentów zginających wywołanych grupą sił skupionych Wi, to na podstawie założenia, że αi=ϕi (porównanie z poprzednim przypadkiem) należy uznać, że Wi są wielkościami, które w rzeczywistości powinny być różnicą kątów Wi = α i − α i +1 (6.7) Wynika z tego, że chcąc znaleźć linię ugięcia układu, należy obliczyć powyższą różnicę kątów α, czego najłatwiej dokonać korzystając z zasady prac wirtualnych Nazywając siły Wi ciężarami sprężystymi, możemy podać następujące definicje: Wi – ciężar sprężysty • • jest to wielkość, której wartość określa różnica kątów (do poziomu) dwóch sąsiednich linii ugięcia jest to fikcyjne obciążenie, które wprowadzone do belki zastępczej daje wykres momentów zginających, pokrywający się z linią ugięcia układu od obciążenia rzeczywistego Politechnika Poznańska® Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper WYKŁADY Z MECHANIKI BUDOWLI 6 METODA CIĘŻARKÓW SPRĘŻYSTYCH Sposoby obliczania ciężarów sprężystych dla układów kratowych statycznie wyznaczalnych. W celu obliczenia ciężarów sprężystych obciążamy układ siłami:1/ak, 1/ak+1/ak+1,1/ak+1 działającymi na trzy sąsiednie węzły k-1,k,k+1 wzdłuż prostych równoległych do szukanych ugięć δk-1, δk, δk+1. Wynika z tego że ciężary sprężyste obliczyć możemy ze wzoru: Wi = ∑ j Politechnika Poznańska® N j ⋅ N P( j ) EA j ⋅lj Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper (6.8) WYKŁADY Z MECHANIKI BUDOWLI 7 METODA CIĘŻARKÓW SPRĘŻYSTYCH Pręty oznaczone kolorem niebieskim stanowią układ samo równoważny (siły nie wywołują reakcji podporowych w kratownicy) wykres momentów od obciążenia fikcyjnego Wi , równoważny linii ugięcia pasa dolnego kratownicy W przypadku gdy badany pas kratownicy nie jest prostopadły do kierunku ugięć, konieczne są dodatkowe obliczenia (patrz W.Nowacki „Mechanika Budowli” tom1, rozdział 10.2.) Powyższy sposób rozszerzymy na obliczanie ugięć w układach zginanych Politechnika Poznańska® Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper WYKŁADY Z MECHANIKI BUDOWLI 8 METODA CIĘŻARKÓW SPRĘŻYSTYCH β k +1 βk α ∆t M N Wk = ∑ ∫ M ( P + t )ds + ∫ N ( P + α t t )ds EJ h EA s s Politechnika Poznańska® Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper (6.9) WYKŁADY Z MECHANIKI BUDOWLI 9 METODA CIĘŻARKÓW SPRĘŻYSTYCH Wk = 1 EJ k 1 p 2 p 1 1 2 ⋅ 1 ⋅ l k ( 3 M k −1 + 3 M k ) + EJ k +1 1 p 2 p 1 2 ⋅ 1 ⋅ l k +1 ( 3 M k +1 + 3 M k ) + α ∆t 1 1 1 1 1 p ⋅ tgβ k +1 ⋅ l k +1 ⋅ N kp+1 + t k ⋅ ⋅ 1 l k + − ⋅ tgβ k ⋅ l k ⋅ N k + EAk l k hk 2 EAk +1 l k +1 α ∆t 1 1 1 + t k +1 ⋅ ⋅ 1 l k +1 + α t t k (− ⋅ tgβ k ⋅ l k ) + α t t ( ⋅ tgβ k +1 ⋅ l k +1 ) 2 hk +1 lk l k +1 + Po skróceniu i wyłączeniu wspólnych czynników: Wk = + [ ] [ ] lk lk 2M kp + M kp−1 + 2 M kp + M kp+1 + 6 EJ k 6 EJ k +1 (−1)tgβ k tgβ k +1 α ∆t l l ⋅ N kp + ⋅ N kp+1 + t k + k +1 + EAk EAk +1 2 hk hk +1 (6.10) + α t t (−tgβ k + tgβ k +1 ) Jeśli wykres momentów jest krzywoliniowy to wzór na ciężar sprężysty przyjmuje postać: Wk = Politechnika Poznańska® [ ] lk 2 M kp + M kp−1 + ... + ∆W 6 EJ k (6.11) Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper WYKŁADY Z MECHANIKI BUDOWLI 10 METODA CIĘŻARKÓW SPRĘŻYSTYCH gdzie ∆W= Po obliczeniu ciężarów sprężystych obciążamy nimi belkę fikcyjną, taką by spełniała warunki brzegowe układu rzeczywistego (analogia do met. obciążeń wtórnych). Można jednak zamiast belki fikcyjnej obciążać ciężarami sprężystymi belki na dwóch podporach, jednak przy wykonaniu pewnego zabiegu graficznego. Dla belki podpartej na dwóch końcach wykres momentów powstałych od obciążeń W będzie równy zeru w punktach A’ i B’ (ugięcie tych punktów równe zeru). Jednak warunkiem brzegowym belki rzeczywistej jest zerowe ugięcie w punktach B i C. Należy postąpić w następujący sposób: po narysowaniu wykresu momentów podpartej na obu końcach, kreślimy prostą zamykającą tak by przecięła wykres w punktach B i C. Politechnika Poznańska® Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper WYKŁADY Z MECHANIKI BUDOWLI 11 METODA CIĘŻARKÓW SPRĘŻYSTYCH Rzędne zakreskowanego pola miedzy łamaną a prostą zamykającą stanowią wartości ugięć kolejnych punktów belki rzeczywistej (na niebiesko oznaczono ugięcia w punktach przyłożenia ciężarów sprężystych). Analogicznie postępujemy w przypadku kratownic: rys. a) –układ rzeczywisty rys. b) –układ zastępczy (analogia do met. obciazen wtórnych) rys. c) –układ zastępczy (belka wolnopodparta na obu końcach) z prowadzeniem zabiegu graficznego (patrz przykład poprzedni) Politechnika Poznańska® Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper WYKŁADY Z MECHANIKI BUDOWLI 12 METODA CIĘŻARKÓW SPRĘŻYSTYCH W przypadku występowania przegubu wewnętrznego ciężar sprężysty dla tego punktu należy obliczyć indywidualnie biorąc pod uwagę fakt, że wykresy momentów wirtualnych występują w całym układzie. Wszystkie wartości Wk obliczamy ze wzoru (6.31) natomiast wielkość Wm obliczamy z uwzględnieniem faktu, że obciążenie wirtualne w punkcie m wywołuje reakcje poziome H. Zatem stan naprężenia występuje we wszystkich prętach kratownicy a nie jak poprzednio tylko w układach samorównoważnych (oznaczone kolorem niebieskim). Politechnika Poznańska® Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper