Sprawdzian 1 grupa I 1. Na loterii jest 50 losów, z których 5 wygrywa
Transkrypt
Sprawdzian 1 grupa I 1. Na loterii jest 50 losów, z których 5 wygrywa
Sprawdzian 1 grupa I 1. Na loterii jest 50 losów, z których 5 wygrywa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 3 kupionych losów a) dokładnie dwa losy wygrywają, b) co najmniej 1 los wygrywa? 2. Z urny zawierającej 4 kule białe i 6 czarnych losujemy jedną kulę i następnie zwracamy ją do urny i dokładamy 3 kule tego koloru co wybrana kula. Z nowego zestawu kul w urnie losujemy dwie kule. a) Jakie jest p-stwo, że wybrane za drugim razem kule są czarne? b) Wylosowano dwie czarne kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dołożono trzy kule białe? 3. Sprawdzamy kolejno niezawodność 3 przyrządów, przy czym sprawdzanie zostanie przerwane po napotkaniu pierwszego niesprawnego przyrządu. Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y równej liczbie sprawdzonych przy4 rządów, jeśli prawdopodobieństwo, że dowolny przyrząd poddany sprawdzeniu okaże się sprawny wynosi . 5 Wyznaczyć rozkład, dystrybuantę, EY oraz P (Y ∈ (1, 3i). 4. Znaleźć rozkład zmiennej losowej 4X − 2, jeśli zmienna losowa X ma gęstość: 0, x < 1 f (x) = 2 , x > 1. x3 5. Niech zmienna losowa X opisuje czas świecenia żarówki. Obliczyć, jaki procent żarówek będzie służyć co najmniej 18 miesięcy, jeśli X ma rozkład N (12, 3). Sprawdzian 1 grupa II 1. W skrzynce znajduje się 100 żarówek, w tym 3 wadliwe. Ze skrzynki wyjęto 10 żarówek. Oblicz p-stwo zdarzenia, że: a) pomiędzy wyjętymi żarówkami będą dokładnie dwie wadliwe, b) wylosujemy co najmniej 1 żarówkę wadliwą. 2. W pierwszej urnie znajduje się 5 kul białych i 3 czarne, a w drugiej 3 białe i 5 czarnych. Z pierwszej urny przenosimy jedną kulę do drugiej urny. Z drugiej urny losujemy dwie kule. a) Oblicz p-stwo wylosowania dwóch kul białych z drugiej urny. b) Wylosowano 2 kule białe z drugiej urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przeniesiono kulę czarną z pierwszej urny do drugiej? 3. Sprawdzamy kolejno niezawodność 3 przyrządów, przy czym sprawdzanie zostanie przerwane po napotkaniu pierwszego niesprawnego przyrządu. Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y równej liczbie sprawdzonych przy2 rządów, jeśli prawdopodobieństwo, że dowolny przyrząd poddany sprawdzeniu okaże się sprawny wynosi . 3 Wyznaczyć rozkład, dystrybuantę, EY oraz P (Y ∈ h1, 3)). 4. Znaleźć rozkład zmiennej losowyej −3X + 2, jeśli zmienna losowa X ma gęstość: 2 x , 06x63 9 f (x) = 0, wpw. 5. Niech zmienna losowa X opisuje średni czas sprawności akumulatora w miesiącach. Jaki procent akumulatorów ma sprawność od 24 do 36 miesięcy, jeśli X ma rozkład N (30, 5)? Sprawdzian 1 grupa III 1. W skrzynce znajduje się 50 żarówek, w tym 4 wadliwe. Ze skrzynki wyjęto 3 żarówki. Oblicz p-stwo zdarzenia, że: a) pomiędzy wyjętymi żarówkami będzie dokładnie 1 wadliwa, b) wylosujemy co najmniej 1 żarówkę sprawną. 2. Z urny zawierającej 2 kule białe i 4 kule czarne przełożono dwie wyciągnięte losowo kule do urny zawierającej 4 białe i 4 czarne kule. a) Obliczyć p-stwo wyciągnięcia białej kuli z drugiej urny. b) Wylosowano kulę białą z drugiej urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przeniesiono 2 kule czarne z pierwszej urny do drugiej? 3. W urnie są 3 kule białe i 4 czarne. Z urny losujemy bez zwracania 3 dowolne kule. Niech zmienna losowa X będzie liczbą wylosowanych kul czarnych. Wyznaczyć rozkład tej zmiennej losowej, wartość oczekiwaną, dystrybuantę oraz P (X ∈ h1, 3)). 4. Znaleźć rozkład zmiennej losowyej 2X − 5, jeśli zmienna losowa X ma gęstość: 1 2 , x 6 −1 x f (x) = 0, x > −1; 5. Niech zmienna losowa X opisuje czas świecenia żarówki w miesiącach. Obliczyć, jaki procent żarówek będzie służyć od 12 do 18 miesięcy, jeśli X ma rozkład N (12, 3). Sprawdzian 1 grupa IV 1. Z talii 52 kart wyciągamy 5 kart. Oblicz p-stwo, że a) pomiędzy wyjętymi kartami będą dokładnie trzy czarne, b) wylosujemy co najwyżej 4 karty czarne. 2. Z urny zawierającej 5 kul białych i 4 czarne losujemy jedną kulę i następnie zwracamy ją do urny i dokładamy 2 kule tego koloru co wybrana kula. Z nowego zestawu kul w urnie losujemy dwie kule. a) Oblicz p-stwo wylosowania dwóch kul białych w drugim losowaniu. b) Wylosowano 2 kule białe w drugim losowaniu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za pierwszym razem wylosowano kulę czarną (czyli dołożono dwie kule czarne)? 3. Z urny zawierającej 4 kule oznaczone liczbami: -1, 0, 1, 2 losujemy 2 kule. Suma liczb na wylosowanych kulach jest zmienną losową. Wyznaczyć rozkład tej zmiennej losowej, wartość oczekiwaną, dystrybuantę oraz P (X ∈ h0, 2)). 4. Znaleźć rozkład zmiennej losowej −4X + 2, jeśli zmienna losowa X ma gęstość: x + 1, −1 6 x 6 0 −x + 1, 0 6 x 6 1 f (x) = 0, |x| > 1; 5. Niech zmienna losowa X opisuje średni czas sprawności akumulatora w miesiącach. Jaki procent akumulatorów ma sprawność od 14 do 24 miesięcy, jeśli X ma rozkład N (14, 5)?