zadania

Matematyka dla informatyków
Ćwiczenia 10
1
Lemat Burnside’a
Zadanie 1. Niech X oznacza zbiór wszystkich kolorowań krawędzi trójkąta równobocznego
przy użyciu 2 kolorów. Niech G jest grupą wszystkich symetrii kwadratu D3 (obroty i osie
symetrii).
(a) Wypisz wszystkie elementy zbioru X.
(b) Podziel zbiór X na klasy abstrakcji Ox relacji ∼ indukowanej przez grupę symetrii G.
(c) Dla każdego x ∈ X wypisz jego stabilizator Sx = {π : π(x) = x}.
(d) Sprawdź, czy |Ox | · |Sx | = |G|, dla dowolnych x ∈ X.
(e) Niech ω oznacza liczbę orbit relacji ∼. Sprawdź, czy ω = (1/|G|)
P
x∈X
|Sx |.
(f) Wypisz dla każdego elementu g grupy G jego Fg = {x ∈ X : π(x) = x}.
(g) Sprawdź lemat Burnsidea, który mówi, że
ω=
1 X
|Fg |.
|G| g∈G
(h) Oblicz indeks cykliczny PG grupy G i podstaw za z1 , z2 , z3 , z4 liczbę 2 (liczbę kolorów).
Zadanie 2. Wykonaj poprzednie zadanie dla poniższego trójkąta przy założeniu, że każdy
wewnętrzny trójkąt może być pokolorowany na dwa kolory.
Zadanie 3. Ile jest różnych (niesymetrycznych) kolorowań poniższego prostokąta przy założeniu, że każdy wewnętrzny kwadrat może być pokolorowany na (a) dwa kolory (b) trzy kolory?
Zadanie 4. ( ) Ile jest różnych (niesymetrycznych) kolorowań poniższego trójkąta przy założeniu, że każdy wewnętrzny trójkąt może być pokolorowany na (a) dwa kolory (b) trzy kolory?
1