Matematyka dla informatyków

Matematyka dla informatyków
Ćwiczenia 11
1
Funkcje tworzące
Zadanie 1. Korzystając z polecenia Series, rozwiń funkcje w szereg potęgowy:
(a) 1/(1 − x),
(b) 1/(1 − x − x2 ),
(c) ex ,
(d) sin(x)
Zadanie 2. Ile jest rozwiązań równania x1 +x2 +x3 +x4 +x5 = n, przy poniższych założeniach.
Podaj dokładną wartość.
(a) x1 , x2 , . . . , x5 ∈ {0, 1, 2, 3, 4} oraz n = 18,
(b) x1 , x2 , . . . , x5 ∈ {1, 2, . . .} oraz n = 20,
(c) x1 , x2 ∈ {0, 1, 2, 3, 4}, x3 , x4 ∈ {5, 6, 7, 8} oraz x5 ∈ {2, 4, 5} oraz n = 21,
(d) x1 , x3 ∈ {1, 3, 5, 7, . . .} oraz x2 , x4 , x5 ∈ {2, 4, 6, . . .} oraz n = 22.
Zadanie 3. Ile jest słów długości 5 złożonych z liter słowa MATEMATYKA?
Zadanie 4. Ile jest słów długości 7 złożonych z liter AAABBBBCCDDDE?
2
Polya’s pattern inventory
Zadanie 5. Ile jest różnych (niesymetrycznych) kolorowań poniższego trójkąta przy założeniu,
że każde wnętrze wewnętrznych trójkątów może być pokolorowane na:
(a) 3 kolory (b) 4 kolory (c) 10 kolorów?
Zadanie 6. Ile jest takich niesymetrycznych kolorowań powyższego trójkąta, że:
(a) jeden trójkąt jest pokolorowany na biało, a pozostałe na czarno,
(b) dwa trójkąty na biało, a pozostałe na czarno.
(c) jeden trójkąt na biało, dwa na czarno, a pozostałe na zielono.
Zadanie 7. Ile jest takich niesymetrycznych kolorowań ścian ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, że
(a) używamy dwóch kolorów,
(b) dwie ściany są w jednym kolorze, a pozostałe w innym,
(c) dwie ściany są białe, dwie czarne i jedna zielona.
1