Problem bazylejski: rozwiązanie Eulera W 1689 r. Jacob Bernoulli

Problem bazylejski: rozwiązanie Eulera
W 1689 r. Jacob Bernoulli postawił problem obliczenia sumy szeregu
∞
X
1
1
1
1
= 1 + 2 + 2 + 2 + ··· ,
n2
2
3
4
n=0
znany potem jako problem bazylejski. W 1735 r. pojawiło się rozwiązanie, które ugruntowało renomę młodego wówczas Eulera.
Próbując obliczyć sumę szeregu
∞
X
1
1
1
1
= 1 + 2 + 2 + 2 + ···
2
n
2
3
4
n=0
Euler wykorzystał rozwinięcie w szereg funkcji sinus:
sin x =
∞
X
(−1)n
x5
x7
x3
x 2n+1 = x −
+
−
+ ···
(2n + 1)!
3!
5!
7!
n=0
Mianowicie, zauważył, że funkcja
P(x) =
(
1
sin x
x
gdy x = 0,
gdy x =
6 0,
ma rozwinięcie
∞
X
(−1)n
x2
x4
x6
P(x) =
x 2n = 1 −
+
−
+ ···
(2n + 1)!
3!
5!
7!
n=0
Miejsca zerowe funkcji P(x) są takie jak funkcji sinus (oprócz 0), czyli ±π, ±2π, ±3π, . . .
Euler wykorzystał teraz własność wielomianu. Mianowicie, jeśli wielomian f(x) ma pierwiastki a1 , a2 , . . . , an oraz f(0) = 1, to
x
x x
f(x) = 1 −
1−
··· 1 −
a1
a2
an
Euler potraktował teraz funkcję P(x) jak wielomian o pierwiastkach ±π, ±2π, ±3π, . . .
i napisał
x
x
P(x) = 1 − πx 1 + πx 1 − 2π
1 + 2π
··· =
2
2 2 x
x
x2
= 1 − πx 2 1 − 4π
1 − 9π
1 − 16π
···
2
2
2
Traktując ciągle funkcję P(x) jak wielomian, Euler wymnożył i uporządkował:
P(x) = 1 −
1
1
1
+
+
+ · · · x2 + · · · ,
2
2
2
π
4π
9π
a następnie porównał współczynniki przy x 2 w obu rozwinięciach funkcji P(x):
1
1
1
1
+
+
+ ··· = .
2
2
2
π
4π
9π
3!
Po pomnożeniu tej równości przez π 2 otrzymujemy
1+
1 1
π2
+ + ··· =
.
4 9
6
Według współczesnych standardów jest to rozumowanie niepoprawne. Ale jest genialne.