Matematyka Dyskretna (zaoczne), egzamin, t.1. Grupa

Matematyka Dyskretna (zaoczne), egzamin, t.1.
PWSZ Nowy Sącz, Instytut Techniczny
Informatyka Stosowana
Imię i nazwisko: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
Grupa: . .
——— . .
UWAGA 1: Można korzystać ze wszelkich (własnych !!!) notatek.
NIE WOLNO w żaden sposób kontaktować z innymi osobami zarówno w sali, jak i na zewnątrz.
NIE WOLNO także pokazywać swoich rozwiązań innym osobom pod rygorem oceny niedostatecznej ze sprawdzianu
zarówno dla pokazującego, jak i odbiorcy.
UWAGA 2: Test jest testem wielokrotnego wyboru. W szczególności może się zarówno zdarzyć, że wszystkie podpunkty mają
prawidłową odpowiedź brzmiącą NIE, jak i może się zdarzyć, że wszystkie podpunkty mają prawidłową odpowiedź
brzmiącą TAK !!
ODPOWIEDZI NALEŻY TAKŻE WPISAĆ W ZAŁĄCZONEJ KARCIE ODPOWIEDZI !!!
Karta odpowiedzi
LN1
LN2
LN3
LN4
LN5
FR1
FR2
FR3
AM1
AM2
TPF1
TPF2
KWP1
KWP2
KWP3
KWP4
KWP5
KWP6
SF1
SF2
SF3
GRF1
DDC1
DDC2
DDC3
MTD1
MTD2
EHP1
EHP2
EHP3
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
Data:
Podpis egzaminatora:
................
................................
[LN]
Liczby naturalne. Indukcja.
1. Wyrazy a3 , b5 , a5 i b6 , gdzie:

1
an =
2
b n+1
2 c


· 3 − (−1)

1−(−1)
2

1
bn = ·
2


 ,

b n−1
2 c
1 + (−1)
!
,
(n ∈ N0 )
to:
(a) 1, 2, 2, 1
T[ ]
N[ ]
(b) 2, 1, 2, 1
T[ ]
N[ ]
(c) 1, 1, 2, 2
T[ ]
N[ ]
(d) 1, 1, 2, 1
T[ ]
N[ ]
2. Wzorem analitycznym ciągu
h1 , 1 , 3 , 3 , 1 , 1 , 3 , 3 , . . .i
jest n.p.
(a) 1 − (−1)b
n+1
3
c , n ∈ {0, 1, 2, 3, . . .}
T[ ]
N[ ]
(b) 1 + (−1)b
n+1
2
c , n ∈ {0, 1, 2, 3, . . .}
T[ ]
N[ ]
(c) 2 + (−1)b
n+1
2
c , n ∈ {0, 1, 2, 3, . . .}
T[ ]
N[ ]
(d) 2 − (−1)b
n−1
2
c , n ∈ {0, 1, 2, 3, . . .}
T[ ]
N[ ]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Niech κ : N0 × N0 → N0 będzie funkcją pary Cantora κ(w, k) = w+k+1
+
w,
w,
k
∈
N
i niech
0
2
κ(3) (a, b, c) = κ(a, κ(b, c)),
dla a , b , c ∈ N0
3. Wartość κ(19, 64) wynosi:
(a) 3505
T[ ]
N[ ]
(b) 3055
T[ ]
N[ ]
(c) 5035
T[ ]
N[ ]
(d) 5305
T[ ]
N[ ]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
4. Wartościami w i k, dla których κ(w, k) = 1964 są
(a) w = 11, k = 51
T[ ]
N[ ]
(b) w = 51, k = 11
T[ ]
N[ ]
(c) w = 33, k = 69
T[ ]
N[ ]
(d) w = 69, k = 33
T[ ]
N[ ]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
5. Wartościami a, b i c, dla których κ(3) (a, b, c) = 2154 są
(a) 3 , 3 , 3
T[ ]
N[ ]
(b) 9 , 1 , 7
T[ ]
N[ ]
(c) 9 , 1 , 9
T[ ]
N[ ]
(d) 1 , 1 , 0
T[ ]
N[ ]
–1–
[FR]
Rekursja. Funkcje rekurencyjne.
1. Niech
f(n, a, c) =
ca ,
cn · f(n − 1, a, c) ,
n=0
n>0.
Wartość f(2, 1, 3) wynosi:
(a) 34
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
(c) 27
T[ ]
N[ ]
(d) 81
T[ ]
N[ ]
3
(b) 3
2
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
2. Niech h = Rec(∆2 , f× [π33 , π32 ]). Wartość h(x, y) to
yx
(a) x
x·y
(b) 2
(c) y
yx
yx
(d) 2
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
3. Niech h = Rec(S[Z], f↑ [π32 , π33 ]). Wartość h(3, 2) to:
(a) 24
T[ ]
N[ ]
(b) 2
T[ ]
N[ ]
(c) 16
T[ ]
N[ ]
(d) 8
T[ ]
N[ ]
22
[AM]
Arytmetyka modularna
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
1. Znaleźć (odpowiedź umieścić w arkuszu wyników)
(a) Najmniejsze x ∈ {0, . . . , 99}, dla którego 11x ≡ 35 mod(45)
[
]
(b) Jakiekolwiek x ∈ {−50, . . . , 60} spełniające x ≡3 1 ∧ x ≡5 2 ∧ x ≡7 3
[
]
[
]
[
]
1991
(c) Wartość 1964
mod 50
(d) Klucz prywatny w systemie RSA dla klucza (55, 17)
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
2. Korzystając m.in. z twierdzenia Eulera obliczyć 19641991 mod 17. Otrzymana wartość to:
(a) 5
T[ ]
N[ ]
(b) 6
T[ ]
N[ ]
(c) 2
T[ ]
N[ ]
(d) 7
T[ ]
N[ ]
–2–
[TPF]
Testowanie pierwszości. Faktoryzacja. Kryptologia.
1. Wartość symbolu Jacobiego
1964
1991
wynosi
(a) +2
T[ ]
N[ ]
(b) −1
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
(c) −
5
27
(d) 0
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
2. W systemie Diffiego-Hellmana z g = 5 i p = 17, przechwycono ga ≡ 12(mod p) i gb ≡ 13(mod p).
Uzgodniony klucz, to
(a) 9
T[ ]
N[ ]
(b) −4
T[ ]
N[ ]
(c) 3
T[ ]
N[ ]
(d) 13
T[ ]
N[ ]
[KWP]
Kombinacje, wariacje, permutacje, . . .
1. W pewnym klubie jest 15 osób grających w szachy, 10 grających w brydża i 13 grających w pokera. Spośród nich
7 gra w szachy i brydza, 5 w brydża i pokera, 3 w szachy i pokera, a tylko 2 grają we wszystkie te gry. Liczba osób
w tym klubie jest:
(a) mniejsza niż 30
T[ ]
N[ ]
(b) większa niż 17
T[ ]
N[ ]
(c) równa 24
T[ ]
N[ ]
(d) równa 27
T[ ]
N[ ]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
2. Jedno z rozbić cyklu (8, 3, 6, 4, 7, 1) jako złożenia transpozycji, to
(a) (8, 1)(8, 7)(8, 4)(8, 6)(8, 3)
T[ ]
N[ ]
(b) (3, 8)(4, 6)(3, 6)(4, 7)(1, 7)
T[ ]
N[ ]
(c) (3, 6)(8, 6)(4, 6)(1, 7)(1, 4)
T[ ]
N[ ]
(d) (4, 8)(3, 8)(3, 6)(6, 1)(1, 7)
T[ ]
N[ ]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
3. Wartością wyrażenia
1
2
2 3
3 1
4
5
5
7
6 7 8
6 8 4
−2 1
◦
5
2
7
3
6
4
8
5
4
6
2
7
3
8
1
jest złożenie cykli:
(a) (3, 6)(1, 8, 7)(2, 4)(2, 8, 5)
T[ ]
N[ ]
(b) (3, 6)(4, 5, 7)(7, 1, 8, 2)
T[ ]
N[ ]
(c) (1, 8, 2, 4, 5, 7)(3, 6)
T[ ]
N[ ]
(d) (3, 6)(4, 5, 7, 8, 1, 2)
T[ ]
N[ ]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
–3–
4. Wyznaczyć x5 jako kombinację zwykłych potęg. Współczynnik przy x3 wynosi:
(a)
4
4
·3+
3
3
(b) 35
5
(c)
3
4
4
(d)
·4+
3
2
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
5. Oto wszystkie 3-elementowe rozbicia zbioru {a, b, c, d}:
{
, {d} } , { {a} , {b, c} , {d} } , { {a, d} ,
W miejscach oznaczonych »
, {c} } , { {a, c} , {b} , {d} } , {
, {b, d} , {c} } , { {a} , {b} ,
}.
« brakuje:
(a) »{a, b} , {c}« , »{b}« , »{a}« i »{c, d}«
T[ ]
N[ ]
(b) »{b}« , »{a}« , »{a, c} , {b}« i »{a, d}«
T[ ]
N[ ]
(c) »{a, b} , {c}« , »{b}« , »{a}« i »{c, d}«
T[ ]
N[ ]
(d) »{b, c}« , »{b}« , »{c}« i »{a, c} , {b}«
T[ ]
N[ ]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
6. Przedstawić x5 jako kombinację potęg kroczących. Współczynnik przy x3 wynosi:
3
(a)
5
4
4
(b)
·4+
3
2
(c) 25
4
4
(d)
·3+
3
2
[SF]
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
Szeregi formalne
1. Odwrotność szeregu formalnego 1 − X2 to
(a) 1 + X + X2 + X3 + . . . + Xn + . . .
2
4
6
n
(b) 1 − X + X − X + . . . + (−1) · X
2
3
2n
T[ ]
N[ ]
n
T[ ]
N[ ]
+ ...
T[ ]
N[ ]
n
+ ...
(c) 1 − X + X − X + . . . + (−1) · X + . . .
2
4
6
(d) 1 + X + X + X + . . . + X
2n
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
–4–
2. Pierwsze dwie pochodne wielomianu formalnego α =
1
, to
1 − 2X2
(a)
∂α =
4X
(1 − 2X2 )2
i ∂(2) α =
6X2 + 1
(1 − 2X2 )3
T[ ]
N[ ]
(b)
∂α =
4X
(1 + 2X2 )2
i ∂(2) α =
24X2 + 4)
(1 − 2X2 )3
T[ ]
N[ ]
(c)
∂α =
4X
(1 − 2X2 )2
i ∂(2) α =
4(6X2 + 1)
(1 − 2X2 )3
T[ ]
N[ ]
(d)
∂α =
2X
(1 + 2X2 )2
i ∂(2) α =
4(6X2 − 1)
(1 − 2X2 )3
T[ ]
N[ ]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
P
3. Wskazany szereg formalny α = n an Xn spełnia podaną rekurencję:
1
,
1 + 2X
1+X
(b) α =
1 − X + X2
1
(c) α =
,
1 − 2X
1+X
(d) α =
1 + X + X2
a0 = 1 , an+1 = −2an , n ∈ ω
(a) α =
,
a0 = 1 , a1 = 2 , an+2 = an+1 − an , n ∈ ω
a0 = 1 , an+1 = 2an , n ∈ ω
,
a0 = 1 , a1 = 2 , an+2 = an+1 + an , n ∈ ω
[GRF]
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
Grafy
Niech G1 będzie grafem
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
1. W grafe G1 :
(a) Promień i średnica wynoszą
[
]
(b) Spójność wierzchołkowa i krawędziowa jest równa
[
]
(c) centrum składa się z wierzchołków
[
]
(d) Ciąg wstępujący stopni jego wierzchołków jest równy
[
]
[DDC]
Dendryty i cykle
1. Podany zbiór jest dendrytem w grafie G1
(a) {12, 13, 14, 25, 39, 56, 57, 58}
T[ ]
N[ ]
(b) {12, 14, 35, 39, 49, 56, 57, 58}
T[ ]
N[ ]
(c) {12, 13, 14, 25, 39, 57, 58, 67}
T[ ]
N[ ]
(d) {12, 14, 39, 49, 54, 56, 57, 58}
T[ ]
N[ ]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
–5–
2. Cyklami fundamentalnymi dendrytu {14, 16, 26, 36, 56} w grafie G2 :
są między innymi:
(a) h134i, h3456i
T[ ]
N[ ]
(b) h1456i, h126i
T[ ]
N[ ]
(c) h12534i, h136i
T[ ]
N[ ]
(d) h1436i, h4561i
T[ ]
N[ ]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
3. Wyrazić podany cykl C za pomocą cykli fundamentalnych podanego dendrytu D w grafie G2 :
(a) D = {26, 14, 16, 36, 56},
C = h2541i
[
]
(b) D = {13, 26, 56, 36, 14},
C = h3125i
[
]
(c) D = {14, 26, 13, 36, 56},
C = h5412i
[
]
(d) D = {26, 36, 56, 14, 16},
C = h1253i
[
]
[MTD]
Twierdzenie Halla  dopasowania
1. W podanych grafach dwudzielnych:
(a)
(b)
(c)
(d)
wskazać zbiór X ⊆ {1, 2, 3, 4, 5} urągający założeniu twierdzeniu Halla (wybór uzasadnić odpowiednią nierównością).
(a)
[
]
(b)
[
]
(c)
[
]
(d)
[
]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
2. Który z podanych zbiorów krawędzi daje się uzupełnić do pełnego dopasowania w grafie:
(a) {1b , 3a , 5d}
[
]
(b) {1a , 3e , 4c}
[
]
(c) {2e , 3a , 4c}
[
]
(d) {3d , 4c}
[
]
–6–
[EHP]
Drogi Eulera, Hamiltona. Planarność.
1. Uzupełnić w poniższych grafach drogi/cykle Hamiltona:
(a)
(a) 1
(b)
(b)
(c)
(d)
5
2
3
(c)
3
(d)
6
4
6
[
]
[
]
[
]
[
]
2. Uzupełnić w poniższych grafach drogi/cykle Eulera:
(b)
(a)
(a) 5
(b)
(c)
(d)
7
(c)
(d)
4
3
6
6
3
5
7
3
6
7
[
]
[
]
[
]
[
]
3. Wyznaczyć ilość ścian właściwych grafu planarnego o ilościach krawędzi i wierzchołków identycznych jak w grafach poniżej:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
[
]
(b)
[
]
(c)
[
]
(d)
[
]
Data:
Podpis studenta:
................
................................
[Ostatnia kompilacja: 02/10/12, 12:44:28 , skład w systemie TEX - A.Kolany, http://kolany.pl, mailto:[email protected]]
7