Matematyka Dyskretna (niestacjonarne) Karta odpowiedzi

Matematyka Dyskretna (niestacjonarne)
PWSZ Nowy Sącz, Instytut Techniczny
Informatyka Stosowana
Imię i nazwisko: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
Grupa: . . .
AB . . .
UWAGA 1: Można korzystać ze wszelkich notatek.
NIE WOLNO w żaden sposób kontaktować z innymi osobami zarówno w sali, jak i na zewnątrz.
NIE WOLNO także pokazywać swoich rozwiązań innym osobom pod rygorem oceny niedostatecznej ze sprawdzianu
zarówno dla pokazującego, jak i odbiorcy.
UWAGA 2: Test jest testem wielokrotnego wyboru. W szczególności może się zarówno zdarzyć, że wszystkie podpunkty mają
prawidłową odpowiedź brzmiącą NIE, jak i może się zdarzyć, że wszystkie podpunkty mają prawidłową odpowiedź
brzmiącą TAK !!
ODPOWIEDZI NALEŻY TAKŻE WPISAĆ W ZAŁĄCZONEJ KARCIE ODPOWIEDZI !!!
Karta odpowiedzi
LN1
LN2
LN3
LN4
LN5
FR1
FR2
FR3
AM1
AM2
AM3
TPF1
TPF2
TPF3
KWP1
KWP2
KWP3
KWP4
KWP5
KWP6
a
b
c
d
a
b
c
d
Data:
Podpis:
................
................................
[LN]
Liczby naturalne. Indukcja.
1. Wyrazy a3 , b5 , a5 i b6 , gdzie:

1
an =
2
b n+1
2 c


· 3 + (−1)

1+(−1)
2

1
bn = ·
2


 ,

b n+1
2 c
1 − (−1)
!
,
(n ∈ N0 )
to:
(a) 2, 1, 2, 1
T[ ]
N[ ]
(b) 1, 1, 2, 2
T[ ]
N[ ]
(c) 1, 2, 2, 1
T[ ]
N[ ]
(d) 1, 1, 2, 1
T[ ]
N[ ]
2. Wzorem analitycznym ciągu
h1 , 3 , 3 , 1 , 1 , 3i
jest n.p.
(a) 1 + (−1)b
n+1
2
c , n ∈ {0, 1, 2, 3, . . .}
T[ ]
N[ ]
(b) 2 + (−1)b
n+1
2
c , n ∈ {0, 1, 2, 3, . . .}
T[ ]
N[ ]
(c) 1 − (−1)b
n+1
3
c , n ∈ {0, 1, 2, 3, . . .}
T[ ]
N[ ]
(d) 2 − (−1)b
n−1
2
c , n ∈ {0, 1, 2, 3, . . .}
T[ ]
N[ ]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Niech κ : N0 × N0 → N0 będzie funkcją pary Cantora κ(w, k) = w+k+1
+
w,
w,
k
∈
N
i niech
0
2
κ(3) (a, b, c) = κ(a, κ(b, c)),
dla a , b , c ∈ N0
3. Wartość κ(20, 11) wynosi:
(a) 513
T[ ]
N[ ]
(b) 666
T[ ]
N[ ]
(c) 516
T[ ]
N[ ]
(d) 333
T[ ]
N[ ]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
4. Wartościami w i k, dla których κ(w, k) = 2011 są
(a) w = 54, k = 3
T[ ]
N[ ]
(b) w = 58, k = 4
T[ ]
N[ ]
(c) w = 50, k = 6
T[ ]
N[ ]
(d) w = 55, k = 5
T[ ]
N[ ]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
5. Wartościami a, b i c, dla których κ(3) (a, b, c) = 9186 są
(a) 6 , 6 , 6
T[ ]
N[ ]
(b) 9 , 6 , 6
T[ ]
N[ ]
(c) 6 , 9 , 6
T[ ]
N[ ]
(d) 6 , 9 , 9
T[ ]
N[ ]
–1–
[FR]
Rekursja. Funkcje rekurencyjne.
1. Niech
f(n, a, c) =
ac ,
a2 · f(n − 1, a, c) ,
n=0
n>0.
Wartość f(3, 2, 1) wynosi:
(a) 128
T[ ]
N[ ]
(b) 72
T[ ]
N[ ]
7
T[ ]
N[ ]
6
T[ ]
N[ ]
(c) 2
(d) 2
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
2. Niech h = Rec(π11 , f↑ [π33 , π32 ]). Wartość h(2, 3) to
(a) 327
T[ ]
N[ ]
3
(b) 33
T[ ]
N[ ]
(c) 7625597484987
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
33
(d) 3
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
3. Niech h = Rec(S[Z], f× [π32 , π33 ]). Wartość h(x, y) to:
(a) yx
T[ ]
N[ ]
y
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
(a) x = 44, y = 107
T[ ]
N[ ]
(b) x = 5, y = 2
T[ ]
N[ ]
(c) x = 4, y = −42
T[ ]
N[ ]
(d) x = 107, y = 44
T[ ]
N[ ]
(b) x
xy
(c) 2
(d) y · y
x−1
[AM]
Arytmetyka modularna
1. Wartości x, y ∈ Z spełniające 42x − 102y = 6, to
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
2. Znaleźć (odpowiedź umieścić w arkuszu wyników)
(a) Najmniejsze x ∈ {0, . . . , 99}, dla którego 19x ≡ 35 mod(65)
[
]
(b) Jakiekolwiek x ∈ {−50, . . . , 60} spełniające x ≡3 2 ∧ x ≡5 3 ∧ x ≡7 5
[
]
[
]
[
]
1991
(c) Wartość 2015
mod 50
(d) Klucz prywatny w systemie RSA dla klucza (55, 7)
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
–2–
3. Korzystając m.in. z twierdzenia Eulera obliczyć 231964 mod 13. Otrzymana wartość to:
(a) 6
T[ ]
N[ ]
(b) 9
T[ ]
N[ ]
(c) 5
T[ ]
N[ ]
(d) −4
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
[TPF]
Testowanie pierwszości. Faktoryzacja. Kryptologia.
1. Wartość symbolu Jacobiego
2012
333
wynosi
(a) +2
(b) −1
(c) −
4
7
(d) 0
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
2. Wiadomo, że w systemie RSA, n = 84773093 oraz ϕ(n) = 84754668. Rozwiązując równanie kwadratowe p2 + p ·
(ϕ − n − 1) + n = 0 można wyznaczyć p i q = n/p. Otrzymany w ten sposób rozkład to:
(a) 8887 · 9539
T[ ]
N[ ]
(b) 8878 · 9359
T[ ]
N[ ]
(c) 8889 · 9537
T[ ]
N[ ]
(d) 9539 · 8887
T[ ]
N[ ]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
3. W systemie Diffiego-Hellmana z g = 7 i p = 13, przechwycono ga ≡ 11(mod p) i gb ≡ 12(mod p).
Uzgodniony klucz, to
(a) 12
T[ ]
N[ ]
(b) −9
T[ ]
N[ ]
(c) 3
T[ ]
N[ ]
(d) −1
T[ ]
N[ ]
[KWP]
Kombinacje, wariacje, permutacje, . . .
1. W pewnym klubie jest 10 osób grających w szachy, 15 grających w brydża i 12 grających w pokera. Spośród nich
5 gra w szachy i brydza, 4 w brydża i pokera, 3 w szachy i pokera, a tylko 2 grają we wszystkie te gry. Liczba osób
w tym klubie jest:
(a) mniejsza niż 30
T[ ]
N[ ]
(b) większa niż 17
T[ ]
N[ ]
(c) równa 33
T[ ]
N[ ]
(d) równa 27
T[ ]
N[ ]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
–3–
2. Jedno z rozbić cyklu (5, 3, 6, 2, 7, 1) jako złożenia transpozycji, to
(a) (5, 1)(5, 7)(5, 2)(5, 6)(5, 3)
T[ ]
N[ ]
(b) (3, 5)(3, 6)(2, 6)(2, 7)(1, 7)
T[ ]
N[ ]
(c) (3, 6)(5, 6)(2, 6)(1, 7)(1, 2)
T[ ]
N[ ]
(d) (2, 5)(3, 5)(3, 6)(6, 1)(1, 7)
T[ ]
N[ ]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
−2 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
◦
jest złożenie cykli:
3. Wartością wyrażenia
5 7 6 8 4 2 3 1
2 3 1 5 7 6 8 4
(a) (1, 8, 2, 4, 5, 7)(3, 6)
T[ ]
N[ ]
(b) (4, 5, 7, 1, 8, 2)(3, 6)
T[ ]
N[ ]
(c) (3, 6)(1, 8, 7)(2, 8)(2, 4, 5)
T[ ]
N[ ]
(d) (4, 5, 7)(7, 1, 8, 2)(3, 6)
T[ ]
N[ ]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
4. Przedstawić x5 jako kombinację potęg kroczących. Współczynnik przy x3 wynosi:
4
4
·3+
3
2
3
(b)
5
(a)
(c) 25
4
4
(d)
·4+
3
2
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
5. Oto wszystkie 3-elementowe rozbicia zbioru {a, b, c, d}:
{ {a, b} , {c} ,
} , { {a} , {b, c} , {d} } , { {a, c} ,
W miejscach oznaczonych »
} , { {a, d} , {b} , {c} } , { {a} , {b, d} , {c} } , { {a} , {b} ,
}.
« brakuje:
(a) »{d}« , »{b} , {d}« i »{c, d}«
T[ ]
N[ ]
(b) »{a}« , »{c} , {d}« i »{a, b}«
T[ ]
N[ ]
(c) »{b}« , »{b} , {b}« i »{c, b}«
T[ ]
N[ ]
(d) »{d}« , »{a} , {c}« i »{a, c}«
T[ ]
N[ ]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
6. Wyznaczyć x5 jako kombinację zwykłych potęg. Współczynnik przy x3 wynosi:
5
3
4
4
(b)
·4+
3
2
4
4
(c)
·3+
3
3
(a)
(d) 35
Data:
N[ ]
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
T[ ]
N[ ]
Podpis:
................
[Ostatnia kompilacja: 01/25/12, 00:59:36]
T[ ]
................................
4