Działania na macierzach (autor mgr Elzbieta Barczak)
Transkrypt
Działania na macierzach (autor mgr Elzbieta Barczak)
Rachunek macierzowy. Macierzą nazywamy tablicę prostokątną, której elementy (liczby) są uporządkowane w p wierszy i q kolumn, tzn. [ ] A= p Aq = aij = a11 a 21 a12 a 22 ... a1q ... a 2 q ... a p1 ... a p2 ... ... ... a pq Macierz A i B są równe, co zapisujemy symbolicznie A = B, jeżeli odpowiadające sobie elementy są równe, a więc, jeśli aij = bij dla wszystkich i oraz j. Macierz uzyskaną przez usunięcie pewnej liczby wierszy bądź kolumn nazywa się podmacierzą danej macierzy. Macierz, której wszystkie elementy są zerami nazywa się macierzą zerową; oznaczamy ją symbolem 0 lub p0q. Jeżeli macierz ma tę samą liczbę wierszy i kolumn (p=q), nazywa się ją macierzą kwadratową. Elementy macierzy kwadratowej znajdujące się na przekątnej głównej, a więc a11, a22,…, app, nazywa się elementami diagonalnymi, a macierz kwadratową, której wszystkie elementy, poza diagonalnymi, są zerami, nazywa się macierzą diagonalną; czyli A= a11 0 ... 0 0 a 22 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... a nn Macierz diagonalna, której wszystkie elementy diagonalne są równe 1, nazywa się macierzą jednostkową lub macierzą identyczności: oznaczamy ją symbolem I, czyli 1 0 0 0 I= 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Macierz kwadratową symetryczną względem głównej przekątnej, a więc taką której elementy spełniają warunek aij = aji dla wszystkich i oraz j, nazywa się macierzą symetryczną; na przykład 1 5 8 A= 5 3 1 8 3 2 Działania na macierzach. 1. Macierz C jest sumą macierzy A i B, co zapisujemy C=A+B cij = aij + bij 2. Mnożenie macierzy przez liczbę (skalar) polega na pomnożeniu każdego elementu macierzy przez tę liczbę bij = c * aij 3. Aby pomnożyć macierz A przez macierz B, pierwsza z nich musi mieć tyle kolumn ile druga wierszy. Wtedy iloczyn C = AB q cij = ∑ a ik bkj k =1 Mnożenie macierzy nie jest przemienne; wynik zależy od tego, która macierz w iloczynie jest zapisana jako pierwsza, a która jako druga, czyli na ogół AC ≠ CA Wyznacznik Każdej macierzy kwadratowej B odpowiada liczba zwana wyznacznikiem, którą oznaczmy symbolem B Wyznacznik macierzy typu 2 x 2 jest równy: B = b11b12 b21b22 = b11b22 − b21b12 Wyznacznik trzeciego stopnia macierzy: B = +b11b22 b33 + b12 b23 b31 + b13 b21b32 − b31b22 b13 − b32 b23 b11 − b33 b21b12 Macierz odwrotna W rachunku macierzowym występuje mnożenie przez tzw. macierz odwrotną. Macierz A −1 spełniającą warunek A −1 A = AA −1 = I nazywamy macierzą odwrotną macierzy A. Przykłady 2 3 A 3 2 4 5 B 4 5 6 7 1 3 2 C 4 0 1 0 2 1 D 2 3 2 1 0 3 Oblicz: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 2 x A; A + D; A’ – 2D; A x B; B x A; A x D; D x A; B-1; C .