1. Zasada włączania–wyłączania Z. 1. Ile jest liczb naturalnych od 1

1. Zasada włączania–wyłączania
Z. 1. Ile jest liczb naturalnych od 1 do 100 niepodzielnych ani przez 2, ani przez 3, ani 5 ?
Z. 2. W pewnej klasie 20 uczniów zdaje maturę z matematyki, 16 z geografii i 14 z fizyki. Ilu uczniów
jest w tej klasie, jeżeli każdy z nich zdaje maturę z co najmniej jednego z wymienionych przedmiotów,
nikt nie zdaje matury ze wszystkich trzech przedmiotów, 10 uczniów zdaje matematykę i fizykę, 6
matematykę i geografię, a 4 fizykę i geografię?
Z. 3. W 30-osobowej klasie 20 osób uczy się języka angielskiego, 15 osób języka niemieckiego, a 10
osób języka francuskiego. Spośród nich 5 osób uczy się angielskiego i francuskiego, 6 osób angielskiego
i niemieckiego, a 6 osób niemieckiego i francuskiego. Ile osób uczy się wszystkich trzech języków?
Z. 4. Wśród 30 pracowników, z których każdy jest z matematyki (M), fizyki (F) lub biologii (B), z M
jest 15, z F – 12, tych, którzy nie pracują na B – 15, pracowników M, którzy nie pracują na F – 12,
ludzi z B, którzy nie są na F - 11, a zatrudnionych jednocześnie na B i M – 6. Ilu pracuje na wszystkich
trzech wydziałach jednocześnie ?
Z. 5. W grupie 80 osób każdy biega, pływa lub skacze. Biegaczy jest 50, 45 pływaków, 40 skoczków,
27 osób zarówno pływa jak i biega, 10 trenuje wszystkie 3 dyscypliny, a 32 osób na pewno nie skacze,
ale na pewno biega.
a) Ile uprawia samo bieganie? A samo pływanie ?
b) Ilu ludzi biega lub pływa ?
c) Ilu tylko skacze ?
Z. 6. Na ile sposobów można rozdać n różnych nagród wśród 4 osób A, B, C, D tak, aby
(a) A dostała przynajmniej jedną nagrodę ?
(b) A lub B nie dostała nic ?
(c) Zarówno A jak i B dostała przynajmniej jedną nagrodę ?
(d) Przynajmniej jedna spośród A, B, C nic nie dostała ?
(e) Każda z czterech osób coś dostała ?
Z. 7. Ile jest rozdań w brydżu, przy których każdy gracz ma jakiegoś pika ? Poniżej znajduje się
propozycja rozwiązania. Czy rozwiązanie jest poprawne ? Jeśli nie – uzasadnij, na czym polega błąd i
rozwiąż zadanie poprawnie.
Rozwiązanie: Wybieramy 4 piki na 13
sposobów, dajemy je graczom na 4! sposobów, a pozostałe
4
karty rozdajemy po 12 dla każdego. Czyli rozdań jest
13
48!
.
· 4! ·
12!12!12!12!
4
Z. 8. Wypisać wszystkie nieporządki dla n = 3 i n = 4. Ile ich jest ?
Z. 9. Roztargniona sekretarka napiała 20 listów do 20 różnych firm i odpowiednio zaadresowała 20
kopert, po czym losowo włożyła listy do kopert (po jednym liście do każdej koperty). Ile jest możliwości,
że żaden list nie trafił do właściwej koperty?
Z. 10. Ile jest nieporządków „prawie totalnych” dla n = 4, tzn. takich rozłożeń, w których dokładnie
jeden element (nie wiemy jaki) pozostał na swoim miejscu ?
Ile jest nieporządków „prawie totalnych” dla n ?
Z. 11. Niech Dn oznacza liczbę totalnych nieporządków dla n. Podać zależność rekurencyjną dla Dn .
Z. 12. Grupa s studentów zajmuje miejsca w s-osobowej auli, a w następnym tygodniu siada w tej
samej auli losowo. Ile jest możliwości tego, że przynajmniej jedna osoba usiadła na tym samym miejscu
co poprzednio ?
Z. 13. (∗) Stosując zasadę włączania-wyłączania obliczyć ile jest liczb pierwszych mniejszych
niż 100.
√
Wskazówka: Każda liczba złożona mniejsza niż n ma dzielnik pierwszy mniejszy niż n (dlaczego?).
1