Lista zadań 6

Zadania z fizyki
Wydział PPT
6
Praca, moc, energia
Uwaga: Zadania oznaczone przez ‘(c)’ należy w pierwszej kolejności rozwiązać na ćwiczeniach.
Zadania (lub ich części) opatrzone gwiazdką są (zdaniem wykładowcy) nieco ambitniejsze, ale
również obowiązkowe.
Zad. 1(c). Pracownik magazynu przesuwa skrzynię o masie 30 kg ze stałą szybkością po poziomej
podłodze na odległość 4,5 m, popychając ją ze stałą siłą skierowaną poziomo w kierunku ruchu.
Współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy skrzynią a podłogą wynosi 0,25. (a) Jaka musi być
wartość siły, z jaką pracownik popycha skrzynię? (b) Jaką pracę wykonuje na skrzyni ta siła? (c)
Jaką pracę wykonuje na skrzyni siła tarcia? (d) Jaką pracę wykonuje na skrzyni siła ciężkości? (e)
Jaka jest całkowita praca wykonana na skrzyni?
Zad. 2. Rozwiąż poprzednie zadanie w przypadku, gdy pracownik popycha skrzynię siłą skierowaną ukośnie w dół, pod kątem 30◦ do poziomu.
Zad. 3(c). Oblicz pracę wykonaną przez siłę F = −î − ĵ + k̂ N przy przemieszczeniu obiektu z
punktu (0, 0, 0) do punktu o współrzędnych (1, 1, 0) m (a) po bokach kwadratu: najpierw o 1 m
wzdłuż osi y, a następnie o 1 m równolegle do osi x; (b) po odcinku prostej.
Zad. 4. Dwie skrzynie o ciężarach 20 N i 12 N połączono bardzo
lekką liną przerzuconą przez nieważki i obracający się bez tarcia bloczek jak na rysunku. Skrzynie przemieszczają się ze stałą
prędkością o 75 cm (skrzynia na stole w prawo, a wisząca skrzynia w dół). Jaką pracę wykonuje w tym ruchu na lżejszej skrzyni
siła ciężkości, a jaką siła naprężenia liny łączącej skrzynie? Jaką
pracę wykonuje na cięższej skrzyni każda z sił: ciężkości, naprężenia liny, tarcia, reakcji podłoża? Jaka jest całkowita praca
wykonana przez wszystkie siły na każdej ze skrzyń?
Zad. 5. Sanki o masie m zsuwają się z górki o kącie nachylenia α i wysokości h. Współczynnik
tarcia sanek o śnieg wynosi µ. Oblicz pracę siły ciężkości oraz pracę siły tarcia do momentu
osiągnięcia przez sanki podstawy stoku. Jaka jest energia kinetyczna sanek w tym punkcie?
Zad. 6(c). Dziecko działa siłą F skierowaną równolegle do
osi x na 10-kilogramowe sanki poruszające się po zamarzniętej
powierzchni stawu. Podczas gdy dziecko kontroluje prędkość
sanek, wartość siły zmienia się w zależności od położenia, jak
pokazano na rysunku. Oblicz pracę, jaką wykonuje siła F przy
przemieszczeniu sanek (a) od x = 0 do x = 8 m; (b) od
x = 8 m do x = 12 m; (c) od x = 0 do x = 12 m.
1
Zad. 7. Na zdalnie sterowany model samochodu poruszający się
po prostej działa siła F , której składowa w kierunku ruchu (niech
będzie to kierunek x) zmienia się w zależności od położenia samochodu jak pokazano na wykresie obok. Znajdź pracę wykonaną
przez siłę F podczas gdy model samochodu przemieszcza się (a)
od x = 0 do x = 3 m; (b) od x = 3 m do x = 4 m; (c) od
x = 4 m do x = 7 m; (d) od x = 0 do x = 7 m; (e) od x = 7 m
do x = 2 m.
Zad. 8. Pudło ślizgające się po poziomej powierzchni z prędkością 4,5 m/s wjeżdża w obszar
szorstkiej nawierzchni. Współczynnik tarcia w punkcie P , w którym nawierzchnia stała się szorstka, wynosi 0,1, a następnie rośnie liniowo z odległością od punktu P , osiągając wartość 0,6 w
odległości 12,5 m od tego punktu. (a) Korzystając ze związku pracy z energią kinetyczną, znajdź
odległość, na jaką przemieści się to pudło, zanim się zatrzyma. (b) Jaki jest współczynnik tarcia
w puncie zatrzymania? (c) Jak daleko przemieściłoby się pudło, gdyby współczynnik tarcia był
stały i wynosił 0,1?
Zad. 9. Blok o masie m = 5 kg porusza się z prędkością
v0 = 6 m/s po poziomej idealnie gładkiej płaszczyźnie w kierunku zamocowanej do ściany sprężyny (rysunek). Sprężyna ma
zaniedbywalną masę. (a) Korzystając z twierdzenia o pracy i
energii kinetycznej, znajdź największą długość, o jaką skróci
się sprężyna. (b) Jeśli sprężyna ma się skrócić nie więcej niż
o lmax = 0,15 m, to jaka może być największa wartość v0 ?
Zad. 10(c). Podnosimy huśtawkę z dzieckiem o łącznej masie m, zawieszoną na lekkim sznurze,
od pionu do kąta θ0 względem pionu, działając siłą F o kierunku poziomym i wartości dobranej
tak, by huśtawka przemieszczała się bardzo wolno. (a) Znajdź pracę siły F parametryzując tor
ruchu huśtawki wysokością nad położeniem wyjściowym (przy innym wyborze parametryzacji
może się pojawić całka, która nie jest elementarna). (b) Znajdź pracę siły ciężkości przy tym
samym przemieszczeniu.
Zad. 11*. Przemieszczamy koralik o masie m z bardzo małą prędkością po drucie o dowolnym
kształcie, leżącym w płaszczyźnie pionowej, działając na niego poziomą siłą o odpowiedniej wartości. Stosując metodę z poprzedniego zadania pokazać, że praca tej siły zawsze równa jest mgh,
gdzie h jest wysokością, na jaką podniesie się koralik ponad swoje początkowe położenie. W układzie nie występuje tarcie, a drut w żadnym punkcie nie jest pionowy.
Zad. 12(c). Krater meteorytowy. Krater w pobliżu miejscowości Flagstaff (Arizona, USA – zdjęcie obok) powstał ok. 50 000
lat temu w wyniku uderzenia meteorytu żelazowo-niklowego o
promieniu ok. 50 m i masie ok. 1,4 · 108 kg, który uderzył w
Ziemię z prędkością ok. 12 km/s. (a) Jaką ilość energii kinetycznej dostarczył ten meteor? (b) Jak się ma ta wartość do energii
wyzwalanej w wyniku wybuchu 1-megatonowej bomby atomowej
(1-megatonowa bomba wyzwala taką energię, jak 106 ton trotylu; 1 tona trotylu dostarcza 4,184 · 109 J energii).
Zdjęcie: Wikipedia – ”Meteorcrater” by Shane.torgerson, CC BY 3.0
2
Zad. 13. Typowe energie kinetyczne. (a) Jaką energię kinetyczną (w dżulach) ma 75-kilogramowa
osoba idąca, a jaką biegnąca? (b) W modelu Bohra atomu wodoru elektron na orbicie o najniższej
energii ma prędkość 2190 km/s. Jaka jest jego energia kinetyczna? (c) Jeśli upuścisz kilogramowy
ciężar z wysokości ramion, to jaką będzie on miał energię kinetyczną w momencie uderzenia o
ziemię? (d) Czy rozsądne jest założenie, że 30-kilogramowe dziecko może biec na tyle szybko, by
mieć energię kinetyczną 100 J?
Zad. 14. Załóżmy, że model samochodu z zadania 7 znajduje się początkowo w spoczynku w
x = 0, a siła F jest wypadkową działających na niego sił. Korzystając z twierdzenia o pracy i
energii kinetycznej znajdź prędkość tego pojazdu w (a) x = 3,0 m, (b) x = 4,0 m, (c) x = 7,0 m.
Zad. 15(c). W tabeli poniżej podano wyniki komputerowej symulacji lotu piłki baseballowej o
masie 143 g, w której uwzględniono opór powietrza. (a) Jaką pracę wykonała siła oporu powietrza
w czasie ruchu piłki z początkowego położenia do punktu o maksymalnej wysokości? (b) Jaką
pracę wykonała siła oporu powietrza w czasie ruchu piłki z punktu o maksymalnej wysokości do
punktu leżącego na poziomie punktu początkowego? (c) Wyjaśnij, dlaczego ta druga wielkość jest
mniejsza od pierwszej.
t (s) x (m) y (m) vx (m/s) vy (m/s)
0
0
0
30,0
40,0
3,05 70,2
53,6
18,6
0
6,59 124,4
0
11,9
−28,7
Zad. 16. Profesor fizyki siedzi na biurowym krześle na kółkach, poruszającym się bez tarcia, i
wciągany jest (nie wiadomo po co) po pochylni o długości 2,50 m i nachyleniu 30◦ przez grupę
studentów. Łączna masa profesora i krzesła wynosi 85,0 kg. Studenci przemieszczają profesora w
górę pochylni, działając łączną siłą o stałej wartości 600 N, skierowaną poziomo. Prędkość profesora u podnóża pochylni wynosi 2,00 m/s. Korzystając z twierdzenia o pracy i energii kinetycznej
znajdź jego prędkość na szczycie pochylni.
Zad. 17(c). Student podjął pracę zarobkową polegającą na ładowaniu 30-kilogramowych paczek
na samochód, co wymaga podniesienia każdej z nich na wysokość 90 cm nad ziemię. (a) Ile paczek
ładowałby student w ciągu minuty, gdyby średnia moc, z jaką wykonuje tę pracę, wynosiła 0,5 KM?
(b) Ile paczek ładowałby, gdyby wykonywał pracę ze średnią mocą 100 W?
Uwaga: 1 koń mechaniczny to ok. 745,7 W, podobno faktycznie odpowiada to mocy konia (tak
twierdził James Watt i wydaje się to dobrym oszacowaniem1 , choć inni twierdzą, że jest to wartość
zawyżona – https://en.wikipedia.org/wiki/Horsepower). Zdrowy człowiek potrafi wygenerować ok.
1,2 KM przez krótki czas, ale w dłuższych okresach czasu jest w stanie utrzymać zaledwie 0,1 KM
generowanej mocy. W przypadku sportowców wielkości te są 2–3 razy wyższe.
Zad. 18. Ludzkie serce jest bardzo wydajną i niezawodną pompą. Każdego dnia rozprowadza ono
ok. 7500 l krwi. Załóżmy, że praca wykonywana przez serce odpowiada podniesieniu tej ilości krwi
na wysokość równą przeciętnemu wzrostowi kobiety (165 cm). Gęstość krwi wynosi 1,05·163 kg/m3 .
(a) Jaką pracę wykonuje serce w ciągu jednego dnia? (b) Jaka jest moc serca?
Zad. 19(c). Gdy ciężarówka o masie 10 ton przemieszcza się po poziomej drodze z prędkością
60 km/h, jej silnik przekazuje kołom moc 28 kW. (a) Jaka całkowita siła oporu działa na tę
ciężarówkę? (b) Załóżmy, że 65% siły oporu związane jest z toczeniem kół po asfalcie, a reszta
1
R. D. Stevenson and R. J. Wassersug, Nature 364, s. 195 (15 July 1993)
3
pochodzi od oporu powietrza. Jeśli opór toczenia jest stały, a opór powietrza rośnie proporcjonalnie
do kwadratu prędkości, to jaka moc będzie napędzać ten pojazd przy prędkości 30 km/h? A przy
120 km/h? (c) Jaka moc jest potrzebna, by ciężarówka wjechała z prędkością 60 km/h pod górę
przy nachyleniu 10% (10 m różnicy wysokości na 100 m przemieszczenia w poziomie)?
Zad. 20*. Sześć połączonych lokomotyw spalinowych2 zapewnia 13,4 MW mocy dostarczanej
pierwszemu wagonowi składu towarowego. Łączna masa lokomotyw wynosi 1,10 · 106 kg. Typowy
wagon ma masę 8,2 · 104 kg i wymaga poziomej siły o wartości 2,8 kN, by poruszał się ze stałą
prędkością 27 m/s po poziomym torze. (a) Ile wagonów może liczyć pociąg w tych warunkach?
(b) W tej sytuacji nie ma dodatkowej mocy niezbędnej do przyspieszenia lub pokonania wzniesienia. Wykaż, że dodatkowa siła niezbędna do nadania pociągowi przyspieszenia 0,10 m/s2 jest
w przybliżeniu taka sama, jak siła potrzebna do pokonania wzniesienia o nachyleniu 1,0% (1 m
różnicy wyskości na 100 m odległości w poziomie). (c) Pokaż, że przy nachyleniu 1,0% do utrzymania prędkości 27 m/s potrzebne jest dodatkowe 2,9 MW mocy. (d) Ile wagonów byłyby w stanie
uciągnąć lokomotywy z prędkością 27 m/s na podjeździe o nachyleniu 1,0% bez tej dodatkowej
mocy?
Zad. 21*. Przez nieruchomy bloczek, którego masę można zaniedbać, przewieszono pętlę z masywnej liny o masie M . W chwili t = 0 za zwisającą linę pomiędzy dolnym krańcem pętli a bloczkiem
chwyta małpa o masie m i zaczyna się wspinać do góry w taki sposób, żeby utrzymywać się na niezmienionej wysokości. (a) Jaką moc musi przy tym rozwijać małpa? (b) Jeśli najwyższa moc, jaką
jest w stanie rozwinąć małpa wynosi Pmax , to jak długo zdoła ona pozostawać na stałej wysokości?
Zad. 22(c). Podrzucamy piłkę o masie m = 0,145 kg, nadając jej początkową prędkość 20,0 m/s
skierowaną pionowo do góry. Znajdź maksymalną wysokość, na jaką wzniesie się piłka, pomijając
opór powietrza.
Zad. 23(c). Robotnik ładuje do ciężarówki 12-kilogramową skrzynię, przesuwając ją po pochylni
o długości 2,5 m, nachylonej pod kątem 30◦ do poziomu. Popycha on skrzynię w górę pochylni,
nadając jej taką prędkość, że dotarłaby ona dokładnie do szczytu pochylni, gdyby ruch odbywał
się bez tarcia. Tarcie okazuje się jednak istotne i skrzynia zatrzymuje się po przebyciu odległości
1,6 m w górę pochylni, a następnie zaczyna się zsuwać. (a) Znajdź wartość siły tarcia zakładając,
że jest ona stała. (b) Jaka będzie prędkość skrzyni, gdy dotrze ona z powrotem do podstawy równi?
Zad. 24. W ciężarówce zjeżdżającej autostradą ze wzniesienia o kącie nachylenia α wystąpiła
awaria hamulców. W momencie awarii prędkość ciężarówki wynosiła v0 , a opory ruchu w czasie
jazdy autostradą można zaniedbać. Po przejechaniu odległości L kierowca skręcił na pas awaryjnego hamowania, który wznosi się pod kątem β do poziomu, a jego nawierzchnia zapewnia tarcie
toczne o współczynniku µ. Jak długi musi być ten pas, by ciężarówka zdołała wyhamować?
Zad. 25. Głaz o masie 28 kg zbliża się do podstawy wzniesienia z prędkością 15 m/s. Stok
wzniesienia nachylony jest pod stałym kątem 40◦ do poziomu. Współczynniki tarcia statycznego
i kinetycznego pomiędzy powierzchnią stoku a głazem wynoszą, odpowiednio, 0,75 i 0,20. (a)
Korzystając z zasady zachowania energii znajdź największą wysokość ponad podstawą stoku, na
jaką wzniesie się głaz. (b) Czy głaz pozostanie w najwyższym punkcie stoku, do którego dotrze,
czy też zsunie się z powrotem w dół? (c) Jeśli głaz zacznie się znowu zsuwać, to jaką będzie miał
prędkość, gdy dotrze do podstawy stoku?
2
Łączenie lokomotyw jest częstą praktyką w USA, gdzie zestawia się bardzo ciężkie pociągi. W Europie stosuje
się to rzadko.
4
Zad. 26. Sztuczny zbiornik wodny o powierzchni 3 km2 ograniczony jest zaporą. Ściany zbiornika
są pionowe, a jego dno znajduje się na głębokości 150 m. U podstawy tamy (przy dnie zbiornika)
umieszczone są turbiny elektrowni wodnej, która przetwarza energię mechaniczną przepływającej
wody na energię elektryczną ze sprawnością 90%3 . (a) Jeśli przyjmiemy punkt odniesienia dla
energii potencjalnej u podstawy tamy, to jaka energia jest zgromadzona w najwyższej warstwie
wody o grubości 1 m? Gęstość wody wynosi 1000 kg/m3 . (b) Jaka objętość wody musi przepłynąć
przez turbiny, aby wygenerować 1000 kWh energii elektrycznej? (c) O jaką wysokość obniży się
poziom wody w zbiorniku, kiedy ta ilość wody przepłynie przez turbiny? (d) Jaka jest całkowita
energia zgromadzona w wodzie w zbiorniku?
Zad. 27*. Niewielkie ciało zaczyna zsuwać się po nachylonym stoku o wysokości h, przechodzącym w pętlę o promieniu
h/2 (rysunek). Zaniedbując tarcie, obliczyć prędkość ciała w
najwyższym punkcie lotu (po oderwaniu się od pętli). Wskazówka: Należy znaleźć punkt, w którym ciało oderwie się od
pętli. Od tego momentu ciało wykonuje ruch w polu grawitacyjnym.
Zad. 28. Kawałek drewna ślizga się w rynnie jak na rysunku.
Zakrzywione boki rynny są idealnie gładkie, ale płaski, poziomy środek jest szorstki. Długość tego szorstkiego odcinka
wynosi 30 m, a współczynnik tarcia równy jest tam 0,2. Początkowo kawałek drewna spoczywa nieruchomo na wysokości
4 m nad dnem rynny. (a) W którym miejscu kawałek drewna
ostatecznie się zatrzyma? (b) Jaką całkowitą pracę wykona
siła tarcia do momentu zatrzymania się kawałka drewna?
Zad. 29(c). Ciało o masie m = 0,200 kg zaczepione jest na nieważkiej poziomej sprężynie o
współczynniku sprężystości k = 5,00 N/m i porusza się bez tarcia po poziomej powierzchni. Ciało
przemieszczono z położenia równowagi o 0,100 m rozciągając sprężynę, a następnie puszczono
z zerową prędkością początkową. Jaka będzie prędkość ciała w punkcie odległym o 0,080 m od
położenia równowagi?
Zad. 30(c). Winda o masie 2000 kg zaprojektowana jest tak, by po zerwaniu liny nośnej w najgorszym możliwym przypadku jej prędkość w momencie pierwszego kontaktu ze sprężyną amortyzującą uderzenie o podłogę szybu nie przekraczała 4,00 m/s. Sprężyna ma wyhamować spadającą
windę na drodze 2,00 m. Dodatkowo, zacisk bezpieczeństwa generuje działającą na windę siłę
tarcia o wartości 17 000 N. Jaki powinien być współczynnik sprężystości sprężyny?
Zad. 31. Na sprężynie zawieszono ciężarek o masie m i powoli obniżono go do położenia równowagi, w którym sprężyna wydłużona była o d. W kolejnym eksperymencie puszczono ciężarek
natychmiast po zawieszeniu i pozwolono mu opadać swobodnie. Jakie będzie maksymalne rozciągnięcie sprężyny w tym drugim przypadku?
3
Tzn. 90% energii przetwarzane jest na użyteczną energię elektryczną, pozostała część jest tracona z powodu oporów, tarcia, lepkości itp. Jest to realistyczna wartość sprawności (http://www.usbr.gov/power/edu/pamphlet.pdf).
5
Zad. 32. Zmienna siła F działa zawsze stycznie do idealnie gładkiej, cylindrycznej powierzchni (rysunek). Poprzez bardzo wolną zmianę tej siły przemieszczamy blok
o ciężarze Q, rozciągając jednocześnie sprężynę o współczynniku sprężystości k. Koniec sprężyny porusza się po
łuku o promieniu a. Znajdź pracę siły F przy przemieszczeniu układu od położenia 1 do położenia 2.
Zad. 33*. Ciężar Q zawieszono na dwóch sprężynach o współczynnikach sprężystości k1 i k2 ,
umieszczonych (a) równolegle – jedna obok drugiej i obie rozciągnięte jednakowo; (b) szeregowo
– jedna zaczepiona do drugiej. Znaleźć stosunek energii potencjalnych sprężyn w tych dwóch
przypadkach (tzn. U1 /U2 dla każdego przypadku). Przedyskutować przypadki graniczne, w których
jedna sprężyna jest dużo sztywniejsza od drugiej.
Zad. 34*. Spalenie litra oleju napędowego dostarcza 36 MJ energii (jest to tzw. wartość opałowa
oleju). Samochód o masie 1500 kg rozpędza się od zera do prędkości 37 m/s w czasie 10 s. Sprawność
nowoczesnego silnika Diesla osiąga 30%. Ile paliwa spali ten samochód w trakcie przyspieszania?
Ile razy można przyspieszyć w taki sposób mając 1 litr oleju napędowego w baku?
Zad. 35(c). Na pewien obiekt działają różne siły. Jedną z nich jest siła F = αxy î, gdzie α =
2 N/m2 . Obiekt ten przemieszcza się z początku układu współrzędnych po kwadracie:
(0, 0) → (0, 1,5) m → (1,5, 1,5) m → (1,5, 0) m → (0, 0).
Naszkicuj tę drogę i znajdź pracę wykonaną przez siłę F w tym ruchu. Czy siła F jest zachowawcza?
Zad. 36. Książka o masie 0,6 kg ślizga się po poziomym stole. Siła tarcia kinetycznego działająca
na książkę wynosi 1,2 N. (a) Jaką pracę wykona tarcie w czasie ruchu książki o 3 m w prawo? (b)
Książkę przesuwamy teraz o 3 m w lewo, do jej pierwotnego położenia. Jaką pracę teraz wykona
tarcie? (c) Jaka jest łączna praca siły tarcia? (d) Czy tarcie jest siłą zachowawczą? Dlaczego?
Zad. 37(c). W pewnym obszarze przestrzeni energia potencjalna cząstki ma postać
U (r) = Ax2 y 2 z.
Znajdź siłę działającą na tę cząstkę w punkcie r = (x, y, z).
Zad. 38(c). Energia potencjalna dwóch atomów w cząsteczce dwuatomowej ma w przybliżeniu
postać
b
a
U (r) = 12 − 6 ,
r
r
gdzie r jest odległością między atomami (można ustalić położenie jednego z atomów; wtedy jest
to energia potencjalna drugiego atomu w polu sił pochodzących od pierwszego). (a) Znajdź siłę
F (r) działającą na jeden z atomów. Naszkicuj U (r) i F (r). (b) Znajdź wartość r0 odpowiadającą
położeniu równowagi układu. Czy jest to równowaga trwała? (c) Załóżmy, że atomy znajdują się w
odległości r0 od siebie (cząsteczka jest w równowadze). Jaką energię trzeba dostarczyć cząsteczce,
aby ją zdysocjować (tzn. rozdzielić atomy na nieskończoną odległość)? Wartość ta nazywana jest
energią dysocjacji cząsteczki. (d) Dla cząsteczki CO, stan równowagi odpowiada odległości r0 =
1,13 · 10−10 m, a energia dysocjacji wynosi Ed = 1,54 · 10−18 J na cząsteczkę. Znajdź wartość
stałych a i b dla cząsteczki CO.
6
Zad. 39. Cząstka porusza się wzdłuż osi x pod działaniem
jednej siły zachowawczej, równoległej do osi x. Energia potencjalna odpowiadająca tej sile naszkicowana jest na wykresie obok. Cząstka rozpoczyna ruch w punkcie A, początkowo
znajdując się w stanie spoczynku. (a) Jaki jest zwrot siły działającej na cząstkę, gdy znajduje się ona w punkcie A? (b) A
w punkcie B? (c) Dla jakiej wartości x energia kinetyczna
cząstki jest największa? (d) Jaka jest wartość siły w punkcie
C? (e) Jaką największą wartość x osiągnie cząstka w swoim ruchu? (f) Jaka wartość lub jakie wartości x odpowiadają
równowadze trwałej? (g) A równowadze nietrwałej?
Zad. 40*. Cząstka porusza się wzdłuż prostej w pewnej jamie potencjału pomiędzy punktami
zwrotnymi x1 i x2 . Wykaż, że czas ruchu od x1 do x2 jest taki sam, jak czas ruchu od x2 do x1 .
Zad. 41*. Proton o masie m porusza się wzdłuż prostej. Jego energia potencjalna ma postać
U (x) = α/x2 − β/x, gdzie α i β są dodatnimi stałymi. Pokaż, że tę energię potencjalną można
zapisać w postaci
#
" α
x0 2 x0
−
,
U (x) = 2
x0
x
x
gdzie x0 = α/β. (a) Naszkicuj wykres U (x). Znajdź U (x0 ) i zlokalizuj punkt x0 na wykresie.
(b) Załóżmy, że w chwili początkowej proton spoczywa w punkcie x0 . Znajdź prędkość protonu
jako funkcję jego położenia, v(x). Naszkicuj wykres v(x) i podaj jakościowy opis ruchu. (c) Dla
jakiej wartości x jest prędkość protonu na największą wartość? Jaka jest wartość tej prędkości
maksymalnej? (d) Jaka jest siła działająca na proton w punkcie określonym w części (c)? (e) Niech
proton początkowo spoczywa w punkcie x1 = 3α/β. Znajdź punkt x1 na wykresie U (x). Oblicz
v(x) i podaj jakościowy opis ruchu. (f) Jakie są maksymalne i minimalne wartości x osiągnięte
podczas ruchu dla każdego z punktów początkowych x0 i x1 ?
7