Test numer xXx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA
Transkrypt
Test numer xXx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA
Test numer xXx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA KANDYDATÓW NA KIERUNKI MATEMATYKA I INFORMATYKA 2 LIPCA 2003 ROKU Czas trwania egzaminu: 180 min. Liczba zadań: 30 Każde zadanie sklada sie, z trzech cześci. Odpowiedź do każdego zadania sklada , sie, z trzech odpowiedzi czastkowych do poszczególnych cześci tego zadania. Wśród , , odpowiedzi czastkowych odpowiedź TAK (i podobnie odpowiedź NIE) może wystapić , , 0, 1, 2 lub 3 razy. Za trzy poprawne odpowiedzi czastkowe do jednego zadania , otrzymuje sie, 1 punkt. Za każda, poprawna, odpowiedź czastkow a, otrzymuje sie, 1/10 , punktu. Odpowiedzi podajemy na dolaczonej do testu kartce z tabelka. , , Jest tam wyjaśniony sposób ich wpisywania. (1) Dane sa, cztery liczby rzeczywiste a, b, c, d spelniajace warunek a < b < c < , d < 0. Niech u = (a + b)(c + d), v = (a + c)(b + d), w = (a + d)(c + b). Miedzy , liczbami u, v, w zachodzi relacja (a) u < w < v. (b) w < v < u. (c) u < v < w. (2) Niech Zk oznacza zbiór wszystkich liczb calkowitych podzielnych przez k. Wówczas (a) Z2 ∪ Z3 = Z1 . (b) Z2 ∩ Z3 = Z6 . (c) Z2 ∩ Z4 = Z8 . (3) W referendum glosowalo 65% uprawnionych. Odpowiedź NIE wybralo 25% glosujacych, a 10% glosów bylo nieważnych. Odpowiedzi TAK udzielil naste, , pujacy odsetek ogó lu wyborców , (a) mniej niż 43%. (b) 65%. (c) ponad 40%. (4) Na jeden dzban wchodza, dwie szklanki i trzy kufle. Gasior to cztery dzbany , bez jednego kufla albo trzy dzbany i trzy kufle. Wynika stad, że , (a) dzban ma pojemność czterech kufli. (b) gasior ma pojemność szesnastu kufli. , (c) kufel ma pojemność trzech szklanek. (5) Funkcja kwadratowa f (x) = x2 +bx+c o dodatnim wyróżniku ma oba miejsca zerowe mniejsze od 1 wtedy i tylko wtedy, gdy (a) b > −2 i c < 1. (b) b > −2 i c + b > −1. (c) − 2b < 1 i f (1) > 0. (6) Równanie x4 + 4px + q = 0 może mieć w zależności od prametrów p, q ∈ R (a) 3 różne rozwiazania. , (b) 4 różne rozwiazania. , 1 2 (c) 5 różnych rozwiazań. , (7) Reszta z dzielenia wielomianu x20 + x19 + . . . + x11 przez wielomian x2 − 1 wynosi (a) 5x + 5. (b) 10. (c) −10. 2x x (8) Zbiorem wszystkich rozwiazań nierówności 21 < 12 + 2 jest przedzial , (a) (−1, 2). (b) (−∞, −1). (c) (−1, +∞). (9) Uklad równań ( y = ax2 + b x2 + y 2 = r2 może mieć w zależności od parametrów a, b, r ∈ R (a) dokladnie jedno rozwiazanie. , (b) dokladnie cztery rozwiazania. , (c) nieskończenie wiele rozwiazań. , √ √ √ 4 5 3 (10) Prawid lowe uporz adkowanie liczb 3, 4, 5 to , √ √ √ 5 3 4 (a) √ 5<√ 3<√ 4. 5 4 3 (b) √ 5<√ 4<√ 3. 4 5 3 (c) 3 < 4 < 5. (11) Liczby log1 10 , log1 10 , 2 4 (a) rosnacy. , (b) arytmetyczny. (c) geometryczny. 1 log8 10 tworza, w podanej kolejności ciag , (12) Ilość różnych rozwiazań równania log2 sin x = −1 w przedziale [0, 2003π] wy, nosi (a) 4006. (b) 2004. (c) 2003. (13) Wyrażenie sin 4α jest dla każdego α ∈ R równe (a) 4 cos3 α sin α − 4 cos α sin3 α. (b) 8 cos3 α sin α − 4 cos α sin α. (c) 4 cos α sin α − 8 cos α sin3 α. (14) Funkcja różniczkowalna f : R → R osiaga maksimum lokalne w punkcie x = 1. , Funkcja h : R → R dana wzorem h(x) = f (x3 ) spelnia warunek (a) h0 (0) = 0. (b) h0 (1) = 0. (c) h osiaga maksimum lokalne w punkcie x = 0. , (15) Skladanie dwóch funkcji liniowych f (x) = ax + b, g(x) = cx + d, x ∈ R, jest przemienne (a) tylko wtedy, gdy a = c. (b) przy ustalonych a, b tylko dla skończonej liczby par (c, d). (c) dla dowolnych a, b, c, d. 3 (16) Wykres funkcji f (x) = sin(−2x + π) + 3, x ∈ R, można uzyskać z wykresu funkcji g(x) = sin(−2x), x ∈ R, przesuwajac , ten ostatni o wektor (a) [−π, 3]. (b) [ π2 , 3]. (c) [− π2 , 3]. (17) Prawdziwa jest równość (a) limn→∞ sinn n = 1. (b) limn→∞ nn!n = 0. n (c) limn→∞ π3 = 0. π π (18) Dany jest ciag , an = tg 4 − n 2 , n ∈ N. Wtedy (a) (an ) jest ciagiem ograniczonym. , an 2 (b) limn→∞ 3 + n2 = 9. (c) −a1 + 2 a2 − 3 a3 + . . . + 2002 a2002 − 2003 a2003 = 1002 · 2003. (19) Ciag aco: a1 = 1, a2 = 2, an+1 = , (an ) jest dany nastepuj , , Wówczas a2003 wynosi (a) 22002 . (b) 22001 . (c) 12 . an an−1 dla n ≥ 2. (20) Sześcian o krawedzi dlugości a podzielono na n3 jednakowych sześcianów. , Niech sn oznacza sume, powierzchni wszystkich ścian tych sześcianów, a vn ich laczn a, objetość. Wówczas , , (a) ciag i ograniczony. , (sn ) jest rosnacy , (b) ciagi (s ) i (v ) s a ci agami stalymi. n n , , , (c) ciag (s ) jest rozbieżny do nieskończoności. n , (21) O kwadracie wiemy, że jego dwa wierzcholki leża, na prostej o równaniu y = 1 (7, −3). Czwarty wierzcholek może mieć , 6 x + 2, a trzeci ma wspólrzedne wspólrzedne , (a) (13, −2). (b) (2, −4). (c) (1, −4). (22) Iloczyn skalarny wektorów v i w wynosi 5. Różnica kwadratów dlugości wektorów v + w i v − w jest równa (a) 20. (b) 5. (c) 0. (23) Ostroslup prawidlowy trójkatny wpisany w kule, o promieniu R ma najwieksz a, , , możliwa, objetość, gdy , (a) ma wysokość R. (b) ma wysokość 34 R. (c) jest czworościanem foremnym. (24) Na okregu o środku O i promieniu r dane sa, punkty A i B takie, że kat , AOB , ma miare, 120◦ . Wówczas (a) obwód wypuklego wycinka AOB jest wiekszy niż 4r. , (b) pole wypuklego wycinka AOB jest wieksze niż potrojone pole trójkata , , AOB. 4 (c) styczne do okregu przechodzace przez punkty A i B przecinaja, sie, w , , odleglości 2r od punktu O. (25) W trapezie równoramiennym opisanym na okregu o promieniu 1 przekatne , , dziela, sie, w stosunku 3 : 1. Wynika stad, że , (a) na tym trapezie można opisać okrag. , √ 8 3 (b) trapez ma pole 3 . (c) ramie, trapezu ma dlugość √ 4 3 3 . (26) Romb o boku dlugości 1 ma wlasność: (a) jego pole nie przekracza 1. √ (b) suma dlugości jego przekatnych nie przekracza 2 2. , (c) suma kwadratów dlugości jego przekatnych wynosi 4. , √ (27) Dlugość jednego boku trójkata wynosi 3 3, a promień okregu opisanego na , , tym trójkacie ma d lugość 3. D lugości dwóch pozosta lych boków maja, sie, do , siebie jak 1 : 2. Wynika stad, że , √ (a) cosinus kata leż acego naprzeciw boku o dlugości 3 3 wynosi 12 . , , (b) dlugość krótszego z niewiadomych boków może wynosić 3.q (c) dlugość dluższego z niewiadomych boków może wynosić 6 3 7. (28) Grupe, sześciu osób dzielimy na trzy dwuosobowe drużyny. Można to zrobić na (a) 62 42 22 sposobów. (b) 51 31 sposobów. (c) 12 62 42 sposobów. (29) Rzucamy jednocześnie piecioma kośćmi do gry. Pokerem nazywamy wyrzu, cenie jednakowej ilości oczek na wszystkich kościach, a kareta, — jednakowej ilości oczek na czterech kościach i innej na pozostalej. Prawdopodobieństwo uzyskania (a) pokera wynosi 615 . (b) karety jest 5 razy wieksze niż prawdopodobieństwo uzyskania pokera. , 1 (c) różnej ilości oczek na każdej kości jest wieksze od 10 . , (30) Jedna trzecia procesorów trafiajacych do sklepów pochodzi z firmy Alfa, zaś , pozostale z firmy Beta. Co dwudziesty procesor z firmy Alfa oraz 2, 5% procesorów z firmy Beta jest wadliwych. Zatem 1 (a) prawdopodobieństwo zakupu wadliwego procesora wynosi 30 . (b) prawdopodobieństwo tego, że wśród dziesieciu zakupionych procesorów , 1 29 28 dokladnie dwa bed a wadliwe wynosi . , , 20 30 (c) na rynku jest wiecej wadliwych procesorów pochodzacych z firmy Beta. , ,