NT. Podstawy działań na wektorach

Podstawy działań na wektorach - odejmowanie
Metody odejmowania wektorów można podzielić na graficzne i analityczne (rachunkowe).
1. Graficzne (rysunkowe) odejmowanie dwóch wektorów.
Założenia:
 dane są dwa wektory i o znanych kierunkach, zwrotach i wartościach (nie są znane współrzędne obu
wektorów). Tym samym jest określony kąt jaki tworzą ich kierunki - niech mniejszy z kątów pomiędzy
nimi wynosi (
 kierunki obu wektorów nie są do siebie równoległe (
).
Szukany jest wektor:

Metoda trójkąta
Na wektorach
i
(łącząc ich początki) należy zbudować trójkąt.
Wektor będący różnicą wektorów wyjściowy jest trzecim bokiem tak powstałego trójkąta. Koniec (grot)
utworzonego wektora znajduje się przy grocie wektora będącego odjemną.
Uwaga: jak widać z obu powyższych rysunków, wektory
i mają te same kierunki, wartości (długości) ale
przeciwne zwroty. Są to tzw. wektory przeciwne:
. Wynika stąd, że odejmowanie wektorów nie jest
przemienne.
Metoda dodawania wektora przeciwnego
Korzysta się tutaj z równości:
. Następnie wykorzystuje się metodę równoległoboku
(dla dwóch wektorów nierównoległych) lub wygodniejszą metodę wieloboku sznurowego.
Metoda równoległoboku
Podstawy działań na wektorach - odejmowanie wektorów
Metoda wieloboku sznurowego
Strona 1
2. Analityczne (rachunkowe) odejmowanie dwóch wektorów.
Założenie:
 dane są dwa wektory
i
o dowolnych znanych kierunkach, zwrotach i wartościach (nie są znane
współrzędne obu wektorów). Tym samym jest określony kąt jaki tworzą ich kierunki - niech mniejszy z
kątów pomiędzy nimi wynosi (
)
Szukaną wartość wektora
można znaleźć z zależności (tzw. twierdzenie cosinusów):
[1]
Uwaga:
a. z wzoru [1] można obliczyć wartość wektora , natomiast nie wynika z niego zwrot, kierunek i punkt
przyłożenia tego wektora.
b. Konieczna jest znajomość wartości funkcji cosinus dla danego kąta .
c. Wartość wektora
jest taka sama jak wektora
.
Przykłady dla szczególnych przypadków:


(cos0 = 1) wektory mają taki sam kierunek i zwrot
Z [1]:
z wzoru skróconego mnożenia
Wniosek: wartość różnicy dwóch wektorów o takich samych kierunkach i zwrotach jest równa wartości
bezwzględnej z różnicy wartości obu wektorów.
Metodą graficzną:


(cos180 = – 1) wektory mają taki sam kierunek i przeciwny
zwrot
Z [1]:
z wzoru skróconego mnożenia
Wniosek: wartość różnicy dwóch wektorów o takich samych kierunkach i przeciwnych zwrotach jest równa
sumie wartości obu wektorów składowych.
Metodą graficzną:
Podstawy działań na wektorach - odejmowanie wektorów
Strona 2


(cos90 = 0) wektory mają kierunki wzajemnie prostopadłe
Z (1):
Wniosek: wartość różnicy dwóch wektorów o kierunkach wzajemnie prostopadłych jest równa pierwiastkowi
kwadratowemu z sumy kwadratów wartości obu wektorów (jak długość przeciwprostokątnej w trójkącie
prostokątnym - co wynika z twierdzenia Pitagorasa).
Metodą graficzną:
lub
metoda wieloboku sznurowego
metoda równoległoboku
3. Analityczne (rachunkowe) odejmowania wektorów o znanych
współrzędnych.
Założenie:
 danych jest
dwuwymiarowych wektorów
o znanych współrzędnych
Problem ogólny:
 jak obliczyć wartość wektora
danego zależnością:
Aby wyznaczyć wartość wektora wystarczy wyznaczyć wartości jego współrzędnych
i
, po czym skorzystać
z zależności:
Każda ze współrzędnych wektora jest sumą odpowiednich współrzędnych wektorów składowych, tzn.:
[2a]
[2b]
Uwaga: analogicznie postępuje się w przypadku wektora trójwymiarowego:
[2c]
Podstawy działań na wektorach - odejmowanie wektorów
Strona 3
Przykład. Dane są wektory:
oraz
.
a. Oblicz wartość każdego z wektorów.
b. Oblicz wartość sumy tych wektorów:
c. Oblicz wartość różnicy wektorów
i .
d. Oblicz współrzędne i wartość wektora:
Podstawy działań na wektorach - odejmowanie wektorów
.
Strona 4