files/I N niestacjonarne/websitelearning-1-05

Rok I
Temat 5
RACHUNEK WEKTOROWY
1. Iloczyn skalarny
2. Iloczyn wektorowy
3. Iloczyn mieszany
Iloczyn skalarny
→
[
→
]
a = a x ,a y ,a z ,
Dane są wektory:
[
]
→
[
]
b = bx ,b y ,bz , c = c x ,c y ,c z .
→
→
Długość wektora a dana jest wzorem a = a x2 + a 2y + a z2 .
→
→
→ →
→
→
( ( ))
Iloczyn skalarny wektorów a i b : a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos k a, b .
→ →
Postać kartezjańska iloczynu skalarnego: a ⋅ b = a x bx + a y b y + a z bz .
Warunek prostopadłości (ortogonalności) wektorów
→
→
→ →
a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 ⇔ a x bx + a y b y + a z bz = 0
Iloczyn wektorowy
→
→
Iloczynem wektorowym wektorów a i b
→
→
→
 → →
 a b  nazywamy wektor c = a × b


spełniający warunki:
→
→
→
→
1. c ⊥ a , c ⊥ b
→
→
→
→
 →
 
→
→


2. c = a × b = a ⋅ b sin  k  a , b  
→ → →
→
3. Zwrot wektora c jest taki, że trójka wektorów a , b , c jest zgodnie zorientowana z trójką
→ → →
wersorów i , j , k .
→ →
→
→
→
Jeżeli a b to a × b = 0 = [0, 0, 0] .
Własności iloczynu wektorowego
→
→
→
→
1. a × b = − b × a
→
→

→


→
→
→
→
2. a ×  b + c  = a × b + a × c


 
 
→


→
→

→


3.  λ a  ×  µ b  = λµ a × b  ,
λ, µ ∈ R
Współrzędne iloczynu wektorowego obliczamy ze wzoru
→
→
→
i
→
→
→
c = a × b = ax
bx
j
ay
by
k
→
→
→
a z = i a y bz − a z b y + j ( a z bx − a x bz ) + k a x b y − a y bx
bz
(
)
Warunek równoległości wektorów:
(
)
ax a y a z
=
=
bx b y bz
Iloczyn mieszany wektorów
→ → →
Iloczynem mieszanym wektorów a , b , c nazywamy wyrażenie (skalar)
 → → →  → → →
 a, b, c  =  a × b c

 

ax
 → → →
Iloczyn mieszany obliczamy ze wzoru:  a , b , c  = bx


cx
ay
by
cy
az
bz .
cz
→ → →
Objętość V równoległościanu rozpiętego (zbudowanego) na wektorach a , b , c (rysunek)
(
)
V = a xb c.
Rys.
→ → →
Wektory a , b , c są komplanarne (równoległe do jednej płaszczyzny) wtedy i tylko wtedy,
gdy
 → → →  → → →
 a, b, c  =  a × b c = 0 .

 

Przykłady
→ →
Postać kartezjańska iloczynu skalarnego: a ⋅ b = a x bx + a y b y + a z bz .
1. Dane są punkty A(1,2,0), B(−3,0,5), C (0,4,1) . Znaleźć kąt między wektorami AB i AC .
Rozwiązanie
Znajdujemy współrzędne wektorów AB i BC . AB = [− 4,−2,5] , AC = [− 1,2,1] .
(
(
Obliczamy cosinus kąta między wektorami AB i AC . ϕ = K AB, AC
cosϕ =
− 4 ⋅ (−1) + (−2) ⋅ 2 + 5 ⋅1
2
2
2
2
2
2
4 + 2 + 5 ⋅ 1 + 2 +1
=
))
cosϕ =
AB ⋅ AC
AB ⋅ AC
5
1
1
= , ϕ = arccos .
3
45 ⋅ 5 3
2. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A(2,3,−1) , B(4,−2,3) , C (−1,4,2) .
Rozwiązanie
Z określenia iloczynu wektorowego wynika,
że pole trójkąta ABC jest równe połowie
długości iloczynu wektorowego wektorów
AB i AC (rys.)
[WI 7]
Rys.
Wyznaczamy współrzędne wektorów AB i AC .
AB = [4 − 2,−2 − 3,3 − (−1)] = [2,−5,4] ,
AC = [− 1 − 2,4 − 3,2 − (−1)] = [−3,1,3] .
3. Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach A(3,4,5) , B(2,1,−3) , C (4,−2,1) , D (1,2,6) .
Rozwiązanie
Objętość V równoległościanu zbudowanego na wektorach a, b, c o wspólnym początku równa
się wartości bezwzględnej iloczynu mieszanego tych wektorów.
(
)
V = axb c
Objętość V1 czworościanu zbudowanego na wektorach a, b, c jest równa
1
objętości
6
1
a x b c . Niech a = AB , b = AC , c = AD .
6
Wyznaczamy współrzędne wektorów a, b, c .
równoległościanu czyli V1 =
( )
a = [− 1, − 3, − 8] , b = [1, − 6, − 4] , c = [− 2, − 2, 1] .
Iloczyn mieszany wektorów a, b, c obliczamy ze wzoru:
−1 − 3 − 8
1
1
1
35 3
V1 = a x b c = | 1 − 6 − 4 |= ⋅105 =
[j ].
6
6
6
2
−2 −2 1
( )
Zadania
1. Znaleźć wektor x prostopadły do wektorów a = [1, − 2, 3] i b = [2, 3, − 1] taki, że a ⋅ d = −6 ,
gdzie d = [2, − 1,1].
2. Dane są punkty P1 (1, 2, 4 ) , P2 (5,1, 2 ) i P3 (3, 4,1).
Znaleźć wersor wektora a = P1 P2 x P1 P3 .
3. Wykazać, że wektory a = [3, 4, − 2], b = [6, − 4, − 1], c = [− 14, − 1, 5] nie są komplanarne.
Odpowiedzi
8 10 
 7
1. x = [− 3, 3, 3] ; 2. 
,
,
.
 213 213 213 
Lp.
1
2
3
Literatura
Zbiór zadań z matematyki pod red. R. Krupińskiego. Skrypt
dla studentów AM w Szczecinie
Winnicki K., Landowski M.; Wykłady z matematyki. Skrypt
dla studentów AM w Szczecinie
Lassak. M. Matematyka dla studiów technicznych.
Supremum, 2006.
Rozdział
II § 3
XIII