Wykład 1

Wykład 2.
Wprowadzenie do opisu ruchu.
Kinematyka jest to dział fizyki opisujący ruch obiektów (bez zajmowania się jego
przyczyną).
Uwaga:
W tekście tym obowiązuje umowa pisania wektorów pogrubioną czcionką. Ja na tablicy będę
pisał i Wy w zeszytach także oznaczajcie wektory jako symbole ze strzałkami.
Problem:
Jak opisać ruch? Trzeba wprowadzić układ odniesienia. Co to jest?
Układem odniesienia może być dość dowolnie określony zespół punktów, względem których
można opisać położenie interesującego nas obiektu. Musi on spełniać jednak warunek
jednoznaczności określenia tego położenia.
Najbardziej powszechnym układem odniesienia jest układ
kartezjański. Zdefiniowany jest przez trzy wzajemnie
prostopadłe wektory jednostkowe i, j, k odpowiednio wzdłuż
osi x, y oraz z. Wektory i, j, k mają długość równą 1.
Nazywamy je wersorami osi x, y oraz z.
• Przypomnienie. Co to jest wektor?
Dowolny wektor A można przedstawić w postaci sumy
iloczynów jego składowych: Ax , Ay i Az przez odpowiednie
wektory jednostkowe i, j, k.
A = Ax i + Ay j + Az k .
Zauważ, że: Ax i jest rzutem wektora A na kierunek osi x,
czyli iloczyn skalarny wektora A i wersora i daje w wyniku składową wektora Ax.
Ax = A  i ,
analogicznie
Ay = A  j
oraz
Az = A  k
Układ współrzędnych kartezjańskich jest najbardziej znanym, ale nie jedynym układem
odniesienia. Potrzeba użycia innego typu układu współrzędnych wynika z wewnętrznej
symetrii opisywanego problemu.
• Problem: Czy droga jest wektorem?
• Problem: Czy prędkość jest wektorem?
• Problem: Jak zbudować wielkość wektorową: v z wielkości, która nie jest wektorem czyli
drogi?
• Podstawowe wielkości opisujące ruch.
Tor punktu materialnego z zaznaczeniem wektora
wodzącego r(t), i wektora przemieszczenia ∆ r .
Pojęcie toru - Tor ruchu punktu otrzymamy
rejestrując
kolejne
położenia
punktu
w
następujących po sobie chwilach czasu. Jest to linia
ciągła ponieważ możemy rejestrować te położenia w
dowolnie małym odstępie czasu.
• Wektor wodzący - wektor "śledzący" swoim
końcem położenie przemieszczającego się punktu.
• Droga przebyta przez przemieszczający się punkt wynosi ∆ s .
Definicja prędkości chwilowej punktu materialnego
W skończonym czasie ∆ t = t 2 − t1
cząstka przemieściła się z punktu P1
do P2 . Wektor przemieszczenia
zaczyna się w P1 a kończy w P2.
Prędkość definiujemy jako iloraz
wektora przemieszczenia do czasu, w
którym to przemieszczenie nastąpiło.
Jest
to
oczywiście
wielkość
wektorowa. W miarę skracania
przedziału czasu tak zdefiniowana
prędkość zaczyna być coraz bliższa
stycznej do toru w punkcie P1.
Graniczna
wartość
ilorazu
nieskończenie
małego
przemieszczenia dr, które nastąpiło w
nieskończenie krótkim czasie dt jest prędkością chwilową w czasie t.
∆ r dr
v (t) = lim
=
. Definicja prędkości chwilowej.
dt
∆ t→ 0 ∆ t
Ponieważ wektor wodzący r(t)=x(t) i + y(t)j + z(t)k, to wektor przemieszczenia:
∆r = r(t+∆t) - r(t) =[x(t+∆t)-x(t)] i + [y(t+∆t) - y(t)]j + [z(t+∆t) - z(t)]k.
Wstawiając to do definicji prędkości otrzymamy:
[ x(t + ∆ t) - x(t)] _ i + [y(t + ∆ t) - y(t)]j + [z(t + ∆ t) - z(t)]k
,
∆ t→ 0
∆t
v (t) = lim
oraz po pogrupowaniu wyrazów i skorzystaniu z twierdzenia o granicy sumy funkcji:
v (t) = lim
[ x(t + ∆ t) - x(t)]
[y(t + ∆ t) - y(t)]
[z(t + ∆ t) - z(t)]
i + lim
j + lim
k
,
∆
t
→
0
∆
t
→
0
∆t
∆t
∆t
∆ t→ 0
czyli ostatecznie:
v (t) =
dr
dx
dy
dz
i+
j+ k =
.
dt
dt
dt
dt
Korzystając z wzoru określającego prędkość jako pochodną wektora wodzącego i formalnie
podstawiając ogólne wyrażenie opisujące wektor wodzący r(t)=x(t) i + y(t)j + z(t)k
uzyskamy:
v (t) =
dx(t)
di dy(t)
dj dz(t)
dk
i + x(t) +
j + y(t ) +
k + z(t)
.
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Ponieważ wersory i, j oraz k nie zmieniają kierunku (mają też oczywiście stałą długość) to ich
pochodne po czasie są zerowe. Jak się wkrótce przekonamy w innych układach odniesienia
nie zawsze musi to być prawdą.)
Uwaga:
Spróbuj policzyć samodzielnie składową prędkości w kierunku osi x oraz w kierunku osi y dla
rzutu ukośnego.
Zagadnienia do powtórzenia ze szkoły średniej:
• działania na wektorach czyli algebra wektorów:
• dodawanie wektorów, odejmowanie wektorów
• mnożenie wektora przez liczbę
• Współrzędne wektora w układzie kartezjańskim
• zapis wektorów za pomocą współrzędnych w układzie kartezjańskim oraz opis
dodawania \, odejmowania, mnożenia wektora przez liczbę za pomocą współrzędnych
Elementy algebry wektorów.
Ddodawanie wektorów - Wektor C jest sumą wektorów A i B.
Rysunek pokazuje wektor wypadkowy C, który jest sumą
wektorów A i B.
C = A + B.
Przykład znajdowania przemieszczenia cząstki B jest
pokazany na rysunku obok. Ponieważ
C = A + B,
to: B = C + (-A) = C - A.
Zauważ, że wektor przemieszczenia B zależy tylko od położenia punktu początkowego i
końcowego ruchu nie zależy zaś od toru cząstki.
Mnożenie wektora przez liczbę:
D=aA
W wyniku otrzymujemy wektor D, który jest równoległy do wektora A.
Iloczyn skalarny wektorów oraz iloczyn wektorowy wektorów - [będą omówione na
wykładzie drugim].
• pojęcie pochodnej funkcji jednej zmiennej w punkcie
• pojęcie funkcji pochodnej
Zagadnienia sprawiające z reguły trudność studentom:
• zapis wektorowy wielkości kinematycznych z użyciem wersorów
• działania na wektorach czyli algebra wektorów - zakres ze szkoły średniej
Proszę o przypomnienie sobie tych pojęć w zakresie szkoły średniej (fizyka i matematyka)
albo zapraszam na konsultacje.
Informacje dodatkowe
Ruch po okręgu wygodniej jest opisać w tak zwanym
układzie współrzędnych biegunowych, podając dwie
współrzędne opisujące punkt P na płaszczyźnie: r odległość naszej cząstki w punkcie P od punktu
wyróżnionego O, oraz kąt ϕ jaki tworzy odcinek OP z
wyróżnioną półprostą, która zaczyna się w punkcie O.
Najczęściej przyjmuje się, że wyróżniona półprosta
pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi OX układu
kartezjańskiego XOY. Wrócimy do tego zagadnienia w
wykładzie 2.
Inne popularne układy współrzędnych to: układ walcowy - daje trzy współrzędne: r i φ na
płaszczyźnie oraz współrzędną z podającą "wysokość" punktu P nad lub pod płaszczyzną oraz
układ współrzędnych sferyczny z odległością r od punktu początkowego O do punktu P,
kątem η między osią pionową i odcinkiem OP oraz kątem ϕ, jaki tworzy rzut wektora r na
płaszczyznę XOY z dodatnim kierunkiem osi OX.
Przykład:
Równanie sfery w układzie kartezjańskim: x2 + y2 +z2 = R2.
Równanie sfery w układzie sferycznym: r = R, ( ponieważ kąty ϕ oraz η są dowolne).