Ekonometria - Cwiczenia nr 3

Transkrypt

KMNK przypomnienie
Autokorelacja składnika losowego
Heteroskedastyczność składnika losowego
Normalność rozkładu składnika losowego
Ekonometria
Ćwiczenia nr 3
Jakub Mućk
Katedra Ekonomii Ilościowej
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 3
Własności składnika losowego
1 / 18
KMNK przypomnienie
Agenda
1
KMNK przypomnienie
2
Istota autokorelacji składnika losowego
Test Durbina-Watsona
Test LM
3
Istota heteroskedastyczności składnika losowego
Test White’a
4
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 3
2 / 18
KMNK przypomnienie
Agenda
1
KMNK przypomnienie
2
Test LM
3
Test White’a
4
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 3
2 / 18
KMNK przypomnienie
Agenda
1
KMNK przypomnienie
2
Test LM
3
Test White’a
4
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 3
2 / 18
KMNK przypomnienie
Agenda
1
KMNK przypomnienie
2
Test LM
3
Test White’a
4
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 3
2 / 18
KMNK przypomnienie
Outline
1
KMNK przypomnienie
2
Test LM
3
Test White’a
4
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 3
3 / 18
KMNK przypomnienie
Twierdzenie Gaussa-Markowa
Załóżmy:
1 rz(X) = k + 1 ≤ n
2
Zmienne xi są nielosowe, a zatem są niezależne od składnika losowego
3
E() = 0
4
D2 (ε) = E(εεT ) = I σ
5
εi ∼ N (0, σ 2 )
Twierdzenie Gaussa - Markowa
Estymator β̂ uzyskany Klasyczną Metodą Najmniejszych Kwadratów jest estymatorem BLUE [best linear unbiased estimator], tj. zgodnym, nieobciążonym i
najefektywniejszy w klasie liniowych estymatorów wektora β.
nieobciążoność, czyli E(β̂) = β
najefektywniejszy, czyli posiadający najmniejszą wariancję w swojej klasie
zgodny, czyli limn→∞ P(|β̂n − β|) < δ
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 3
4 / 18
KMNK przypomnienie
Konsekwencje braku sferyczności macierzy kowariancji składnika
losowego
Przypomnijmy estymator macierzy wariancji-kowariancji oszacowań (β̂ OLS ):
D2 (β̂ OLS ) = E
h
β̂ OLS − β
β̂ OLS − β
T i
(1)
Korzystając z zapisu macierzowego:
D2 (β̂ OLS )
=
E
=
E
=
h
XT ε
−1
XT εεT X XT X
XT X
XT X
−1
XT X
−1
−1
XT X
XT ε
T −1 i
XT E εεT X XT X
−1
Następnie korzystając z założenie o sferyczności macierzy wariancji-kowariancji
składnika losowego, tj. D2 (ε) = E(εεT ) = σ 2 I , można uprościć wzór na estymator wariancji kowariancji oszacowań do:
D2 (β̂ OLS ) = σ 2 XT X
−1
(2)
Autokorelacja oraz heteroskedastyczność implikują obciążoność macierzy
wariancji-kowariancji wektora oszacowań, a zatem spadek efektywnośći
oszacowań wektora β̂ OLS .
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 3
5 / 18
KMNK przypomnienie
Test LM
Outline
1
KMNK przypomnienie
2
Test LM
3
Test White’a
4
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 3
6 / 18
KMNK przypomnienie
Test LM
Autokorelacja składnika losowego jest problemem najczęściej występującym w
przypadku szeregów czasowych i polega na zależności(skorelowaniu) bieżących
wartości składnika losowego od wartości przeszłych.
Indeks t będzie oznaczać czas obserwacji.
Zgodnie z założenia MNK:

σ2



2
D (ε) = 



0
..
.
..
.
0
0
..
.
..
.
..
.
...
...
..
.
σ2
..
.
...
...
..
.
..
.
..
.
0
0
..
.
..
.
0
σ2








co jest równoznaczne:
∀t6=s cov(εt , εs ) = 0
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 3
7 / 18
KMNK przypomnienie
Test LM
Autokorelacja pierwszego rzędu
Autokorelacja pierwszego rzędu
εt = ρεt−1 + ηt
gdzie ηt ∼ N (0, ση2 ), E(η) = 0 oraz D2 (η) = I ση2 .
W przypadku autokorelacji składnika losowego macierz wariancji-kowariancji
składnika losowego nie jest diagonalna:




D2 (ε) = 
1
ρ
ρ2
..
.
ρ
1
ρ
..
.
ρ2
ρ
1
..
.
ρn−1
ρn−2
ρn−3
...
...
...
..
.
...
ρn−1
ρn−2
ρn−3
..
.
1





−4
−2
−2
−1
0
0
2
1
4
2
6
Przykład idiosynkratycznego zaburzenia losowego(L) oraz AR(1) (P)
0
Jakub Mućk
50
Ekonometria
100
150
Ćwiczenia 3
200
0
50
100
150
200
8 / 18
KMNK przypomnienie
Test LM
Konsekwencje autokorelacji składnika losowego:
Spadek efektywności estymatora parametrów β̂ OLS . Obciążenie macierzy wariancjikowariancji wektora β̂ OLS , a więc obciążenie błędów szacunku. Ponadto, obciążone
są wyniki testów statystycznych opartych na błędach szacunku, jak np. test istotnotności zmiennych t-studenta.
Problem autokorelacji może sygnalizować bardzo poważne problem, jak np. problem
pominiętych zmiennych (omitted variables bias).
Przyczyny autokorelacji składnika losowego:
Problem pominięcia ważnej zmiennej.
Niepoprawna postać funkcyjna; wadliwa struktura dynamiczna, brak uwzględnienie
czynników cyklicznych/sezonowych.
Wysoka inercja zjawisk gospodarczych; psychologia podejmowanych zjawisk.
Przekształcenia statystyczne.
Rozwiązania problemu autokorelacji składnika losowego:
Zmiana postaci funkcyjnej/ dynamicznej modelu ekonometrycznego.
Uwzględnienie brakujących zmiennych objaśniających.
UMNK - ugólniona metoda najmniejszych kwadratów (GLS -Generalized Least Squares oraz FGLS Feasible GLS). Metody Cohrane’a-Orcutta oraz Praisa-Wintensa.
Odporne błędu standardowe; w przypadku szeregów czasowych stosuje się procedurę
Neweya-Westa (1987).
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 3
9 / 18
KMNK przypomnienie
Test LM
Test Durbina-Watsona umożliwia sprawdzenie jedynie autokorelacji pierwszego rzędu.
Statystyka testu DW opiera się na oszacowaniu współczynnika korelacji pomiędzy et a
et−1 :
n
X
d =
2
(et − et−1 )
t=2
n
X
(3)
2
et−1
t=1
Łatwo zauważyć, że d ≈ 2(1 − ρ̂). Hipotezą zerową jest brak autokorelacji, tj.:
H0 :
ρ=0
(4)
Natomiast hipoteza alternatywna testu DW zależy od wartości statystyki testowej:, tj.
H1 :
ρ>0
gdy d ∈ (0, 2)
(5)
H1 :
ρ<0
gdy
d ∈ (2, 4)
(6)
Wartości krytyczne dU i dL są stablicowane.
H1 : ρ > 0
Statystyka d Decyzja
(0, dL )
(dL , dU )
(dU , 2)
Jakub Mućk
Statystyka d
H1 : ρ < 0
Decyzja
są podstawy do odrzucenia (4 − dL , 4)
H0 na rzecz H1 o dodatniej
autokorelacji
brak decyzji
(4 − dL , 4 − dU )
nie ma podstaw do odrzu- (4 − dU , 2)
cenia H0
Ekonometria
Ćwiczenia 3
są podstawy do odrzucenia
H0 na rzecz H1 o ujemnej
autokorelacji
brak decyzji
nie ma podstaw do odrzucenia H0
10 / 18
KMNK przypomnienie
Test LM
Ograniczenia testu Durbina-Watsona
Test DW posiada obszary niekonkluzywności.
Test Durbina-Watsona umożliwia weryfikację autokorelacji jedynie pierwszego rzędu.
W specyfikacji modelu ekonometrycznego nie może zostać uwzględniona część
autoregresyjna zmiennej objaśnianej, tj. opóźnione wartości zmiennej objaśnianej.
Test Durbina-Watsona można stostować w przypadku modeli z wyrazem wolnym.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 3
11 / 18
KMNK przypomnienie
Test LM
Test mnożnika Lagrange’a (LM) zaproponowany przez Breuscha i Godfreya pozwala
na testowanie autokorelacji zarówno pierwszego jak i wyższych rzędów.
W pierwszym kroku szacowane są parametry modelu:
yt = β0 + β1 x1,t + . . . + βk xk,t + εt
(7)
W drugim kroku szacowane są parametry modelu, w którym wyjąśniany jest składnik resztowy z modelu (7). Dodatkowo, uwzględniane są opóźnienia do rzędu Q
włącznie:
et = β0 + β1 x1,t + β2 x2,t + . . . + βk xk,t + βk+1 et−1 + . . . + βk+Q,t et−Q +ηt
|
{z
} |
zmienne objaśniające z modelu (7)
{z
opóżnione reszty z modelu (7)
(8)
}
Hipoteza zerowa testu LM jest równoznaczna braku autokorelacji do rzędu Q włącznie:
H0 : βk+1 = ... = βk+Q
=
0
(9)
H1 : ∃l∈(1,..,Q) βk+l
6=
0
(10)
Statystyka testowa:
LM = nR2
(11)
posiada rozkład χ2 z Q stopniami swobody (rząd weryfikowanej autokorelacji składnika losowego). Są podstawy do odrzucenia H0 , jeżeli LM jest większa od wartości
krytycznej χ2 .
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 3
12 / 18
KMNK przypomnienie
Test White’a
Outline
1
KMNK przypomnienie
2
Test LM
3
Test White’a
4
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 3
13 / 18
KMNK przypomnienie
Test White’a
Heteroskedastyczność składnika losowegojest drugą formą niespełnienia założenia o sferyczności macierzy wariancji-kowariancji składnika losowego. Zjawisko heteroskedastyczności składnika losowego charakteryzuje przede wszystkim modele oparte o dane przekrojowe.
Ogólny zapis hetereoskedastyczności składnika losowego:

σ12

 0
 ..
D2 (ε) = 
.
0
0
σ22
..
.
...
...
..
.
..
.
0
0
..
.
..
.
σn2





gdzie
σ12 6= σ22 6= . . . σk2
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 3
14 / 18
KMNK przypomnienie
Test White’a
Konsekwencje heteroskedastyczności składnika losowego:
Spadek efektywności estymatora parametrów β̂ OLS . Obciążenie macierzy wariancjikowariancji wektora β̂ OLS , a więc obciążenie błędów szacunku. Ponadto, obciążone
są wyniki testów statystycznych opartych na błędach szacunku, jak np. test istotnotności zmiennych t-studenta.
Problem hetereoskedastyczności może sygnalizować poważne problem, jak np. problem pominiętych zmiennych (omitted variables bias).
Przyczyny heteroskedsatyczności składnika losowego:
Znaczne różnice heterogeniczności jednostek w próbie.
Rozwiązania problemu heteroskedastyczności składnika losowego:
Ważona MNK.
Transformacja zmiennych do postaci logarytmicznej.
Odporne błędy standardowe; dla danych przekrojowych – procedura zaproponowana
przez White’a.
Identyfikacja:
Wykresy.
Test White’a.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 3
15 / 18
KMNK przypomnienie
Test White’a
Test White’a jest bardzo zbliżony do testu mnożnika LM zaproponowanego przez
Breuscha Godfreya. W pierwszym kroku szacowane są parametry modelu:
yi = β0 + β1 x1,i + . . . + βk xk,i + εi
(12)
W drugim kroku, zmienną objaśnianą są kwadraty reszt z oszacowanego modelu
(12). Ponadto uwzględniane są kwadraty oraz interacje zmiennych objaśniających
z modelu (12), tj.:
ei2
=
2
2
+
+ . . . + βk+k xk,i
β0 + β1 x1,i + . . . + βk xk,i + βk+1 x1,i
+βk+k+1 x1,i x2,i + . . . + βk+k+S xk−1,i xk,i + ηi
Hipotezą zerową jest homoskedastyczność składnika losowego:
H0 :
σi2 = σ 2
H1 :
σi2 6= σ 2
(13)
Statystyka testowa:
LM = nR2
(14)
posiada rozkład
z M stopniami swobody (liczba wszystkich wszystkich zmiennych objaśniających w regresji testowej, tj. M = 2k +s). Są podstawy do odrzucenia
H0 , jeżeli LM jest większa od wartości krytycznej χ2 .
χ2
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 3
16 / 18
KMNK przypomnienie
Outline
1
KMNK przypomnienie
2
Test LM
3
Test White’a
4
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 3
17 / 18
KMNK przypomnienie
Normalność rozkładu składnika losowego nie jest wymaganą właśnością składnika losowego, ale umożliwia korzystanie z testów statystycznych weryfikujących
pozostałe własności składnika losowego.
Test Jarque’a-Berry jest najpopularniejszą metodą w weryfikacji normalności
składnika losowego. Statystyka teo testu opiera się na kurtozie i skośności reszt:
n
1
JB = (S 2 + (K − 3)2 )
(15)
6
4
gdzie S i K to odpowiednio estymatory skośności oraz kurtozy składnika losowego:
1
n
n
X
1
n
(ei − ē)3
i=1
S=
1
(
n
n
X
oraz
2
(ei − ē) )
3
2
n
X
(ei − ē)4
i=1
K =
1
(
n
i=1
n
X
−3
(16)
2 2
ei − ē)
i=1
Hipotezą zerową jest normalność składnika losowego:
H0 : ε ∼ N (0, σ)
Wartość statystyki testowej ma rozkład χ2 z dwoma stopniami swobody. Jeżeli
wartość JB jest większa od wartości krytycznej z rozkładu χ2 to są podstawy do
odrzucenia H0 .
Odrzucenie hipotezy zerowej uniemożliwia korzystanie z testów statystycznych. Ale
w przypadku dużej próby, własności asymptotyczne testów nadal są pożadane.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 3
18 / 18

Ekonometria - Cwiczenia nr 3

Transkrypt

Podobne dokumenty

Imię, nazwisko i numer indeksu - E-SGH

PROTOKÓŁ ZWROTU/NIEWYKORZYSTANIA SKŁADNIKA KRWI

Oferta na zakup samochodu wzór

TEMAT: Problem podziału zbioru

WNIOSEK O PRZYZNANIE DOFINANSOWANIA NA ZAKUP

Regionalne Centrum Krwiodawstwa i Krwiolecznictwa w Kielcach

Zadania optymalizacyjne

„nowej” matury