C:\Users\Seven\Documents\Moje d

Matematyka finansowa - 4
Przepływy pieniężne - 2
Wewnętrzna stopa zwrotu
Definicja
Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR-Internal Rate of Return) dla strumienia przepływów
pieniężnych
P =Pt 0 , Pt 1 , Pt 2 , . . . , Pt N 
w momentach t 0 = 0 < t 1 < t 2 <. . . < t N = T, to efektywna roczna stopa procentowa i P > −1
taka, że liczona przy tej stopie wartość aktualna netto strumienia P jest równa 0, tzn. r = i P
jest rozwiązaniem równania:
F P,r 0 = ∑ Pt n  1  t n = 0
1+r
0≤t n ≤T
(Gdy Pt 0  > 0, Pt 1  > 0, . . . , Pt N  > 0, to przyjmujemy umownie i P = +∞.
Gdy t n = kmn , n = 0, 1, 2, . . . , N, przy ustalonym m (np. m = 365, to wyznaczenie wewnętrznej
stopy zwrotu sprowadza się do wyznaczenia dodatnich pierwiastków wielomianu stopnia k N .
1
1
1
Istotnie, podstawiając t n = kmn , a k n = P kmn , x = v m =  1+r
 m do równania definiującego
stopę zwrotu otrzymujemy równanie
N
∑ ak xk
n
n
= 0.
n=0
Gdy x > 0 jest rozwiązaniem tego równania, to i P =
zwrotu.
1
xm
− 1 > −1 jest wewnętrzną stopą
Uwagi
1. Ponieważ wielomian może mieć wiele różnych pierwiastków, wewnętrzna stopa zwrotu
może być określona niejednoznacznie.
2.Gdy jednostka czasu jest inna niż rok, np. dzień, możemy zrezygnować z ograniczenia
i P > −1 i przyjąć ograniczenie i P > −365 definiując IRR jako roczną stopę spełniającą
równanie
∑ Pt n  1 +1 r  tn = 0
365
0≤t n ≤T
1
Przykłady
Niech:
r - roczna stopa procentowa
r ↦ F P,r 0 - wartość aktualna netto (PV) strumienia P, przy stopie r
1
1
F P,r 0 = P0 + P1 1 + P2
+ P3
1+r
1 + r 2
1 + r 3
20
15
PV 10
5
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
r
0.4
0.5
0.6
-5
Funkcja r ↦ F P,r 0 dla
P = P0; P1; P2; P3 = −12; 3; 3; 15
20
15
PV 10
5
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
r
0.4
0.5
0.6
-5
Funkcja r ↦ F P,r 0 dla
P = P0; P1; P2; P3 = −12; −9; 18; 15
2
-0.1
0.2
0.1
r
0.3
0.2
0.4
0.5
0.6
0
-0.2
-0.4
-0.6
PV-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
Funkcja r ↦ F P,r 0 dla
P = P0; P1; P2; P3 = −12; 15; 12; −15
0.1
0.2
r
0.3
0.4
0.5
0
-0.02
PV
-0.04
-0.06
Funkcja r ↦ F P,r 0 dla
P = P0; P1; P2; P3 = −12; 43; −51; 20
Pewną informację o maksymalnej liczbie dodatnich pierwiastków wielomianu daje
następujące twierdzenie:
Twierdzenie (Kartezjusza - Harriota)
K
Liczba dodatnich pierwiastków (pierwiastek k −krotny liczymy k razy) wielomianu ∑ a k x k nie
k=0
jest większa od liczby zmian znaku w ciągu a 0 , a 1 , . . . , a K i różni się od niej o liczbę parzystą .
3
Zadanie
Udowodnić powyższe twierdzenie.
Wskazówka
Najpierw udowodnić następujące lematy:
1) Jeśli w ciągu b 0 , b 1 , . . . , b n mamy b 0 b n < 0, to liczba zmian znaku w tym ciągu jest
nieparzysta; jeśli b 0 b n > 0, to liczba zmian znaku jest parzysta.
2) Jeśli wielomian Qx pomnożymy przez x − c, gdzie c > 0, to liczba zmian znaku w ciągu
współczynników zmieni się o liczbę nieparzystą (liczba zmian znaku w ciągu współczynników
wielomianu Qxx − c różni się od liczby zmian znaku w ciągu współczynników wielomianu
Qx o liczbę nieparzystą)
następnie skorzystać z rozkładu wielomianu na czynniki liniowe oraz nierozkładalne stopnia
2.
Wniosek
Jeśli dla
0 ≤ k 0 < k 1 <. . . < k m−1 < k m <. . . < k N
mamy
a k 0 < 0, a k 1 < 0, . . . , a k m−1 < 0, a k m > 0, . . . , a k N > 0,
N
to wielomian Wx = ∑ a k n x k n ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni.
n=0
Dowód wniosku
Na mocy twierdzenia Kartezjusza - Harriota wielomian Wx ma nie więcej niż jeden
pierwiastek dodatni. Pozostaje wykazać, że istnieje pierwiastek dodatni.
Mamy
lim+
x→0
Wx
= lim+
x→0
x k0
N
∑ a k x k −k
n
n
0
= a k 0 < 0,
n=0
zatem istnieje c > 0 takie, że Wc < 0. Ponadto,
N
lim
Wx = lim
x kN
x→∞
x→∞
∑ ak
n=0
n
1
x k N −k n
zatem istnieje d > c takie, że Wd > 0.
Z własności Darboux, istnieje x 0 ∈ c, d, takie, że Wx 0  = 0.
= ∞,
■
4
Wniosek
Gdy w strumieniu przepływów P ostatni wydatek poprzedza pierwszy wpływ, tzn.
Pt 0  < 0, Pt 1  < 0, . . . , Pt m−1  < 0,
Pt m  > 0, Pt m+1  > 0, . . . , Pt N  > 0,
(albo odwrotnie), to wewnętrzna stopa zwrotu i P jest określona jednoznacznie.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej p oznaczając:
p + = maxp, 0,
p − = max−p, 0
mamy
p = p+ − p−
Niech teraz:
P + = Pt 0  + , Pt 1  + , . . . , Pt N  +  - strumień wpływów (Cash Input Flows),
P − = Pt 0  − , Pt 1  − , . . . , Pt N  −  - strumień wydatków (Cash Output Flows).
Zatem
P = P+ − P−
F P,i P 0 = F P + ,i P 0 − F P − ,i P 0 = 0
i zachodzi równość:
F P + ,i P 0 =
∑
Pt n  + 
1 tn
1 + iP
∑
Pt n  − 
1  t n = F P − ,i 0
P
1 + iP
0≤t n ≤T
=
0≤t n ≤T
tj. wewnętrzna stopa zwrotu jest taką stopą, przy której suma zdyskontowanych wpływów jest
równa sumie zdyskontowanych wydatków.
Uwaga
Dla strumienia P̂ ciągłych płatności z intensywnością t  pt, t ∈ 0, T, przy
kapitale początkowym F0 = P0 , wewnętrzna stopa zwrotu i P jest zdefiniowana jako
rozwiązanie x = i P równania
T
1
P0 + ∫ ps
ds = 0
1 + x s
0
5
Zadanie
Wyznaczyć i P (np. metodą Newtona) przy stałej intensywności pt ≡ 30, T = 5, P0 = −100,
tj. rozwiązać równanie
− 100 + ∫ 301 + x −s ds = 0
5
0
, Solution is: x = 0. 191 060  :
− 100 + 30x 5 + 10x + 10x + 5x 5+ x
ln1 + x1 + x
, Solution is: x = 0. 191 060 
2
3
4
=0
Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu (Modified Internal Rate of Return), dla
strumienia przepływów pieniężnych
P = Pt 0 , Pt 1 , Pt 2 , . . . , Pt N 
w momentach t = t 0 , t 1 , t 2 , . . . , t N ; przy zakładanych stopach:
i f - dla wydatków,
i r - dla wpływów,
to efektywna roczna stopa procentowa m P taka, że:
F P + ,i r T = F P − ,i f 01 + m P  T−0
∑
0≤t n ≤T
Pt n  + 
1  t n 1 + i r  T
1 + ir
=
∑
Pt n  − 
0≤t n ≤T
1 tn
1 + if
1 + m P  T
Stąd
mP =
∑ Pt n  +  1+i1 r  t n
0≤t n ≤T
∑ Pt n  −  1+i1 f  t n
1
T
1 + i r  − 1
0≤t n ≤T
Uwaga. Gdy i r = i f = i P , to m P = i P .
6