5. Liczby zespolone

Wykłady z matematyki
Liczby zespolone
Andrzej Musielak
Rok akademicki 2015/16
UTP Bydgoszcz
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Liczby zespolone
Liczby zespolone
Wstęp
Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na
płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:
(a, b)+(c, d) = (a+c, b+d)
(a, b)⋅(c, d) = (ac−bd, ad +bc)
Takie określenie działań zapewnia nam ”porządne” zachowanie
całej struktury, co ściśle rzecz biorąc oznacza, że zbiór
punktów na płaszczyźnie z tymi dwoma działaniami jest
ciałem, czyli czymś o podobnych własnościach do zbioru liczb
rzeczywistych.
Wygodniej ze względów rachunkowych będzie jednak używać
postaci algebraicznej liczb zespolonych:
(a, b) = a + bi
W szczególności więc (1, 0) = 1 i (0, 1) = i oraz
i 2 = (0, 1) ⋅ (0, 1) = (−1, 0) = −1. Dzięki temu ułatwieniu
można dodawać i mnożyć liczby zespolone jak normalne
Andrzejwystarczy
Musielak
Wykłady
Liczby zespolone
wyrażenia algebraiczne,
tylkoz matematyki
pamiętać,
że i 2 = −1.
Proste równania zespolone
Przykład:
z 2 − 2z + 5 = 0
Takie równanie rozwiązujemy tak samo jak zwykłe równanie
kwadratowe, z tą różnicą, że nie przeszkadza nam ujemna
delta:
∆ = 4 − 20 = −16
Pierwiastki kwadratowe z −16 są dwa: 4i oraz −4i (łatwo
widać, że kwadrat tych liczb to właśnie −16). Możemy wybrać
którykolwiek
z nich i zapisać (umownie!):
√
∆ = 4i
skąd ostatecznie:
z1 = 2+4i
z2 = 2−4i
2 = 1 + 2i
2 = 1 − 2i
◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Liczby zespolone
Nie zawsze jednak pierwiastek z delty można po prostu
odgadnąć, czasem koniecznie będzie jego policzenie:
Przykład:
z 2 + (1 − 2i)z + 1 + 5i = 0
∆ = (1 − 2i)2 − 4(1 + 5i) = 1 − 4i − 4 − 4 − 20i = −7 − 24i
Nie widać od razu ile wynosi pierwiastek z tej liczby, wiemy
jednak, że na pewno jest postaci a + bi dla pewnych a, b
rzeczywistych. Mamy więc:
(a + bi)2 = −7 − 24i
a2 − b 2 + 2abi = −7 − 24i
czyli a2 − b 2 = −7 oraz 2abi = −24i. Wyznaczamy z drugiego
równania b = − 12
a , wstawiamy do pierwszego:
a2 − 144
=
−7
a2
(a2 )2 + 7a2 − 144 = 0
a to już łatwo sprowadzić podstawieniem t = a2 do równania
kwadratowego (tym razem już w liczbach rzeczywistych).
Nietrudno się przekonać, że rozwiązaniami równania
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Liczby zespolone
t 2 + 7t − 144 = 0 są t1 = 9 i t2 = −16, czyli a2 = 0 lub a2 = −16.
Oczywiście rzeczywiste rozwiązania ma tylko to pierwsze
równanie, mamy więc a = 3 i b = −4 lub a = −3 i b = 4.
Wybieramy dowolną z dwóch możliwości otrzymując
ostatecznie:
√
∆ = 3 − 4i
=1+i
z2 = −1+2i−3+4i
= −2 + 3i
z1 = −1+2i+3−4i
2
2
◇
Jeśli natomiast równanie nie jest kwadratowe, bo występuje w
nim moduł lub sprzężenie, wówczas radzimy sobie
podstawieniem z = a + bi.
Przykład:
z 2 − 2iz = 1
Podstawiamy z = a + bi:
(a + bi)2 − 2i(a − bi) = 1
a2 − b 2 + 2abi − 2ai − 2b = 1
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Liczby zespolone
a2 − b 2 − 2b + (2ab − 2a)i = 1
Musi być więc a2 − b 2 − 2b = 1 oraz 2ab − 2b = 0. Z drugiego
równania wynika, że a = 0 lub b = 1. Jeśli a = 0, to z
pierwszego wynika, że b = −1, a jeśli b = 1, to z pierwszego
wynika, że a = 2 lub a = −2. Ostatecznie otrzymujemy trzy
rozwiązania: i, 2 + i, −2 + i
◇◇◇
Postać trygonometryczna
Oprócz postaci algebraicznej liczb zespolonych jest jeszcze
postać trygonometryczna, w której korzystamy ze
współrzędnych biegunowych punktu na płaszczyźnie, czyli kąta
φ między półprostą dodatnią OX , a półprostą OZ (gdzie Z to
nasza liczba zespolona; oraz promienia r (czyli długości
odcinka OZ ). Łatwo sprawdzić, że wówczas:
a
b
cos φ = ∣z∣
sin φ = ∣z∣
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Liczby zespolone
skąd dostajemy:
a + bi = ∣z∣(cos φ + i sin φ)
Aby znaleźć postać trygonometryczną liczby zespolonej
wystarczy wyłączyć przed nawias moduł tej liczby, a następnie
znaleźć w tablicach wartość kąta dla którego cosinus i sinus
przyjmują odpowiednie wartości.
Przykład:
√
Przedstawmy w postaci
trygonometrycznej
liczbę
−
3 + i. Jej
√ √
moduł to oczywiście (− 3)2 + 12 = 2, mamy zatem:
√
√
− 3 + i = 2 ⋅ (− 23 + 12 i)
√
Szukamy więc takiego kąta, którego cosinus jest równy − 23 , a
sinus jest równy 12 . Nietrudno sprawdzić w tablicach, że takim
kątem jest φ = 56 π, mamy więc ostatecznie:
√
5π
)
− 3 + i = 2 ⋅ (cos 5π
6 + i sin 6
Postać trygonometryczna jest szczególnie przydatna z uwagi
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Liczby zespolone
na wzór de Moivre’a, który przydaje się do potęgowania i
pierwiastkowania liczb zespolonych:
n
(∣z∣(cosφ + i sin φ)) = ∣z∣n (cos nφ + i sin nφ)
Zobaczmy jak wygląda potęgowanie liczby z poprzedniego
przykładu:
√
11
5π
)) =
(− 3 + i)11 = (2 ⋅ (cos 5π
6 + i sin 6
5π
)=
211 ⋅ (cos 11 ⋅ 5π
6 + i sin 11 ⋅ 6
55π
7π
55π
11
)=
= 2 ⋅ (cos 6 + i sin 6 ) = 211 ⋅ (cos 7π
6 + i sin 6
√
2048 ⋅ (− 23 − 12 i)
Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej w nazywamy
dowolne rozwiązanie równania z n = w . Zasadnicze Twierdzenie
Algebry mówi, że każdy wielomian (niezerowego stopnia) ma
zespolone miejsce zerowe. Łatwo stąd wywnioskować, że każdy
wielomian zespolony n-tego stopnia ma dokładnie n miejsc
zerowych (licząc z krotnościami). W szczególności więc
również pierwiastków n-tego stopnia z w musi być dokładnie
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Liczby zespolone
n. Wystarczy zatem wskazać n rozwiązań powyższego
równania, żeby znaleźć wszystkie pierwiastki z w . Jeśli
w = ∣w
∣(cos α + i sin α), to te rozwiązania są postaci:
√
n
) dla k = 0, 1, . . . , n − 1
zk = ∣w ∣ (cos α+2kπ
+ i sin α+2kπ
n
n
W szczególności jeśli w = 1, to pierwiastki n-tego stopnia z
jedynki są postaci:
2kπ
zk = cos 2kπ
dla k = 0, 1, . . . , n − 1
n + i sin n
Warto zwrócić uwagę, że pierwiastki n-tego stopnia z dowolnej
liczby zespolonej na płaszczyźnie są wierzchołkami n-kąta
foremnego.
Policzmy dla przykładu pierwiastki czwartego stopnia z −1
czyli rozwiązania równania z 4 = −1. Mamy: −1 = cos π + i sin π,
czyli α = π i n = 4. Tak
więc
szukane pierwiastki to:
√
√
2
z0 = cos π4 + i sin π4 = 22 + i 2√
√
2
2
π+2π
z1 = cos π+2π
+
i
sin
=
−
+
i
4
4
√2
√2
2
π+4π
z2 = cos π+4π
− √i 22
4 + i sin 4 = −
√ 2
2
2
π+6π
z3 = cos π+6π
4 + i sin 4 = 2 − i 2
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Liczby zespolone
Ćwiczenia Przedstaw liczbę zespoloną w najprostszej
postaci:
a) (1 + 3i)(2 − i) b) (1 − 2i)(2 − i) − (2 + i)(3 − i)
2 −(1−i)(2−i)
2−i
d) (1+2i)
c) 1+i
(1+i)(3+2i)
Rozwiąż równania:
a) z 2 + 6z + 13 = 0
b) 4z 2 + 4z + 17 = 0
c) z 2 − z + i + 1 = 0
d) z 2 − (i + 1)z + i = 0
Oblicz:
e) z 2 + (i − 5)z + 8 − i = 0 f) z 2 − 3iz − 3 + i = 0
g) ∣z∣2 + 2z = 1 + 2i
h) z 2 − 2z = −1
√
√
√
Znajdź:
a) (1 + i)2013 b) (1 + i 3)44 c) ( 6 − i 2)81
a) pierwiastki zespolone ósmego stopnia z 1
b) pierwiastki zespolone trzeciego stopnia z i
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Liczby zespolone