zadania 4

Olsztyn, dn. 17.03.2015 r.
Matematyka dyskretna, seria 4
(zasada szuadkowa Dirichleta, zasada wª¡czaniawyª¡czania)
Zad 1.
Wykaza¢, »e w zbiorze
11
liczb naturalnych istniej¡ dwie maj¡ce t¦
sam¡ ostatni¡ cyfr¦ (w zapisie dziesi¦tnym).
Zad 2.
Wykaza¢, »e w zbiorze
ró»nica dzieli si¦ przez
Zad 3.
n+1
liczb naturalnych istniej¡ dwie których
n.
W ka»de pole szachownicy
10 × 10
wpisujemy jedn¡ z liczb:
−1, 0, 1.
Nast¦pnie dodajemy do siebie liczby stoj¡ce w tym samym wierszu, w tej samej
kolumnie i na tej samej przek¡tnej. Pokaza¢, »e w±ród otrzymanych sum co
najmniej dwie s¡ równe.
Zad 4.
Grupa 20 studentów pisaªa kolokwium skªadaj¡ce si¦ z pi¦ciu zada«.
Za ka»de zadanie mo»na byªo otrzyma¢ 0, 1, 2 lub 3 punkty. Pokaza¢ »e co
najmniej dwoje z nich uzyskaªo tak¡ sam¡ sumaryczn¡ liczb¦ punktów.
Zad 5.
Dany jest zbiór zªo»ony z dziesi¦ciu liczb naturalnych, dwucyfrowych w
rozwini¦ciu dziesi¦tnym. Pokaza¢, »e w zbiorze tym istniej¡ takie dwa niepuste
podzbiory, »e sumy liczb obu podzbiorów s¡ równe.
Zad 6.
Grupa
41 studentów zaliczyªa sesj¦ skªadaj¡c¡ si¦ z trzech egzaminów, z
których mo»liwymi ocenami byªy bdb, db, dst. Wykaza¢, »e co najmniej pi¦cioro
studentów zaliczyªo sesj¦ z jednakowym zbiorem ocen.
Zad 7.
Ile jest dodatnich liczb caªkowitych nie wi¦kszych ni» 500, które:
a) nie s¡ podzielne ani przez 3, ani przez 7,
b) nie s¡ podzielne ani przez 4, ani przez 6?
Zad 8.
Do pracy zgªosiªo si¦ 20 tªumaczy.
W±ród nich 11 znaªo rosyjski,
10 znaªo hiszpa«ski i 12 znaªo angielski. Okazaªo si¦, »e 7 z nich znaªo j¦zyk
rosyjski i hiszpa«ski, 5 znaªo hiszpa«ski i angielski, a 6 znaªo rosyjski i angielski.
Wszystkie trzy wymienione j¦zyki znaªo tylko 3 tªumaczy.
a) Ilu z nich nie znaªo »adnego z wymienionych j¦zyków?
b) Ilu znich znaªo tylko j¦zyk angielski z tych trzech wymienionych?
c) Ilu z nich znaªo dokªadnie 2 j¦zyki z tych trzech wymienionych?
Zad 9.
W grupie 500 studentów ka»dy uczy si¦ jednego z trzech j¦zyków ob-
cych, w tym 300 uczy si¦ francuskiego, 200 uczy si¦ niemieckiego, 50 uczy si¦
angielskiego, 20 uczy si¦ francuskiego i angielskiego, 30 uczy si¦ niemieckiego i
angielskiego, 20 uczy si¦ niemieckiego i francuskiego.
a) Ilu studentów uczy si¦ dokªadnie trzech j¦zyków?
b) Ilu studentów uczy si¦ co najmniej dwóch j¦zyków?
c) Ilu studentów uczy si¦ tylko j¦zyka niemieckiego?
d) Ilu studentów uczy si¦ dokªadnie jednego j¦zyka?
Zad 10.
Wypisa¢ nieporz¡dki zbioru 4-elementowego. Porówna¢ ich liczb¦ ze
wzorem ogólnym.
Zad 11.
Wyznaczy¢ ±redni¡ liczb¦ punktów staªych permutacji zbioru
elementowego dla
n = 2, 3, 4.
n-