n an - TECH.EDU.GORZOW.PL :: Strona Główna
Transkrypt
n an - TECH.EDU.GORZOW.PL :: Strona Główna
Zajęcia nr 51 (TM5). – Ciąg arytmetyczny. Robert Malenkowski 1. Zagadnienia teoretyczne. 1.1. Ciąg arytmetyczny. Definicja i przykłady. Definicja Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg o co najmniej trzech wyrazach, w którym różnica między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu jest stała. Przykład 1. Ciąg kolejnych liczb naturalnych 1, 2, 3, 4, ... różnica między kolejnymi wyrazami wynosi 1 Przykład 2. Ciąg kolejnych liczb nieparzystych 1, 3, 5, 7, ... różnica wynosi 2. Definicję ciągu można użyć do sprawdzenia, czy dany ciąg jest arytmetyczny czy nie. Przykład 1. Sprawdź, czy ciąg an=5n - 2 jest arytmetyczny. Obliczamy an+1 = 5(n + 1) - 2 = 5n + 5 - 2 = 5n + 3 Zajęcia nr 51 (TM5). – Ciąg arytmetyczny. Robert Malenkowski Teraz liczymy różnicę r = an+1 - a n = 5n + 3 - (5n - 2) = 5n + 3 - 5n + 2 = 5 Widzimy, że r = 5 nie zależy od wartości indeksu n. Jest stałą liczbą 5, więc nasz ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym. Przykład 2. Sprawdź, czy ciąg an = n2 jest arytmetyczny. an+1 = (n + 1)2 = n2 + 2n + 1 Sprawdzamy teraz różnicę r = an+1 - an = (n + 1)2 - n2 = n2 + 2n + 1 - n2 = 2n + 1 I teraz r = 2n+1. Różnica r zależy od wartości n. Dla n = 1 r= 2 ∙ 1 + 1 = 3 dla n = 2 r= 2 ∙ 2 +1 = 5 Zatem różnica nie jest stała dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów ciągu a n = n 2. Czyli ciąg ten nie jest ciągiem arytmetycznym. 1.2. Wzór ogólny ciągu arytmetycznego Łatwo jest zauważyć, że w ciągu arytmetycznym wyrazy ciągu powstają przez dodawanie różnicy r do poprzedniego wyrazu. Zatem a1 = a 1 a 2 = a 1+ r a3 = a2+ r = a1+ r + r = a1 + 2r a4 = a3+ r = a1 + 2r + r = a1 + 3r Zajęcia nr 51 (TM5). – Ciąg arytmetyczny. Robert Malenkowski aby dostać czwarty wyraz dodajemy 3r, czyli o jedną różnicę mniej niż numer wyrazu. Zatem ogólnie an = a1 + (n - 1)r. Aby uzyskać wyraz an musimy do wyrazu a1 dodać n - 1 różnic r. Otrzymujemy w ten sposób wzór ogólny ciągu arytmetycznego an = a1 + (n - 1)r Widzimy, że aby obliczyć dowolny wyraz potrzebuję znać tylko dwie wielkości: a1 i r. Oznacza to tylko dwie zmienne i w konkretnych zadaniach będzie oznaczało, że potrzebujemy ułożyć dwa równania. Zajęcia nr 51 (TM5). – Ciąg arytmetyczny. Robert Malenkowski Zadania do samodzielnego rozwiązania: 1. Jakie liczby należy wstawić między 5 i 17, aby wraz z danymi liczbami tworzyły ciąg arytmetyczny? a. b. c. d. 3i4 10 i 13 9 i 13 11 i13 2. Liczby 2,6,10,14 są kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego a n . Wyrazem tego ciągu nie jest liczba: a. b. c. d. 90 150 160 170 3. Ciągiem arytmetycznym an jest ciąg, którego kolejnymi wyrazami są liczby: 1 a. 3,1,2 5 b. log 2 4, log 2 2 ,8 c. 3,6,12 d. log 5 5,5,8 4. Ciąg arytmetyczny ciągu jest równa: 3 a. 2 b. 2 c. 3 d. 4 3 an jest określony wzorem an 4n 1 . Różnica r tego 3 Zajęcia nr 51 (TM5). – Ciąg arytmetyczny. Robert Malenkowski 5. Piłka, odbijając się od ziemi osiągała za każdym razem wysokość o 12 cm mniejszą od poprzedniej. Jak wysoko wzniosła się piłka po drugim uderzeniu, jeśli po czwartym odbiła się na wysokość 27 cm? a. 15 cm b. 39 cm c. 73 cm d. 51 cm