ciąg arytmetyczny

C IĄG ARYTMETYCZNY TO CIĄG LICZBOWY, W KTÓRYM POMIĘDZY DOWOLNYM
WYRAZEM CIĄGU A WYRAZEM BEZPOŚREDNIO GO POPRZEDZAJĄCYM WYSTĘPUJE
STAŁA RÓŻNICA r
WZORY:
Wyraz ogólny:
Suma n początkowych wyrazów ciągu:
n – liczba wyrazów ciągu
Jeżeli trzy liczby
warunek:
lub
w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, to zachodzi
Przykłady zadań
Zad.1 Wyznacz ciąg arytmetyczny mając dane:
i
Aby wyznaczyć ciąg arytmetyczny należy znaleźć jego pierwszy wyraz oraz różnicę albo podać wzór na
ogólny wyraz ciągu.
I sposób:
II sposób:
dodaję stronami
, stąd
, stąd
Teraz podstawiam wyliczone r do pierwszego równania
. Mamy więc
, stąd
Odp.
Chcąc podać wzór na wyraz ogólny:
i ostatecznie
stąd
Zad.2 Wyznacz ciąg arytmetyczny, dla którego suma czwartego i szóstego wyrazu jest
równa 4 oraz suma piątego, siódmego i ósmego wyrazu jest równa 16.
Odp.
Chcąc podać wzór na wyraz ogólny:
i ostatecznie :
stąd
Zad.3 Sprawdź, czy podany ciąg jest arytmetyczny
Aby ciąg był arytmetyczny, musi występować stała różnica r
a) a)
b)
r=
Odp. Ciąg
nie jest arytmetyczny (ponieważ r nie jest stałe - jest zależne od n)
c) b)
d)
=
e) Odp. Ciąg
r=
jest arytmetyczny (ponieważ r jest stałe – nie jest zależne od n)
f) Zad.4 Ciąg arytmetyczny określony jest Zad.5 Oblicz:
wzorem
. Oblicz sumę
piętnastu początkowych wyrazów tego Zauważ, że dodawane są kolejne wyrazy ciągu
arytmetycznego, w którym:
;
i
ciągu.
. Aby wyliczyć liczbę dodawanych wyrazów
g)
h)
i)
j)
(n):
stąd
k) Odp. Suma piętnastu początkowych wyrazów
ciągu
wynosi 465
Odp. Wartość podanej sumy wynosi „-0,5”.
l) Zad.6 Między liczby 5 i 11 wstaw trzy Zad.7 Wyznacz te wartości x, dla których liczby:
liczby
tak,
aby
otrzymać
ciąg
w podanej kolejności
arytmetyczny.
utworzą ciąg arytmetyczny.
Zauważ, że:
Szukasz więc Korzystam ze związku:
wyrazów
/
Aby znaleźć różnicę r korzystasz ze związku:
(wzory powyżej)
stąd
Odp. Pomiędzy podane liczby należy wstawić w
podanej kolejności: 6,5; 8 i 9,5
Odp.
Zad.8 Boki trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Wyznacz długości
boków tego trójkąta, wiedząc, że jego obwód jest równy 39.
- kolejne boki trójkąta (
to przyprostokątne, zaś
to przeciwprostokątna - jest
najdłuższa
- długości przyprostokątnych
- długość przeciwprostokątnej
Zał.
(bo długość boku nie może być ujemna ani zerowa)
Obwód = 39, więc:
stąd
,
Odp. Długości boków trójkąta wynoszą: 10, 13 i 16.
Zad.9 Rozwiąż równanie:
Zauważ, że lewa strona równania jest sumą wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym
. Suma n początkowych wyrazów tego ciągu
/
sprzeczne bo
Odp. Rozwiązaniem równania jest liczba