Wyrażenia wymierne

Wyrażenia wymierne
I.
Wyrażenia wymierne to ułamki które mają w liczniku i mianowniku wielomiany.
Ponadto w mianowniku musi być wielomian stopnia co najmniej równego 1.
Przykłady
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
II.
Tutaj mamy w liczniku wielomian 1, a w mianowniku 2.
W tym przykładzie w liczniku jest wielomian stopnia 0.
మ మ య మ మ Skracanie wyrażeń wymiernych
Jeśli wyrażenie wymierne ma w liczniku i mianowniku wielomiany dane w postaci iloczynu
nawiasów, to często można dokonać skrócenia tego wyrażenia. Skracanie można wykonać wówczas
gdy zarówno w liczniku jak i w mianowniku znajduje się taki sam nawias. Samo skracanie polega
wówczas na usunięciu tych samych nawiasów (czynników) z licznika i mianownika.
Przykłady
1)
ł: 2 0
Uwaga! Tak naprawdę skracanie jest dzieleniem licznika i mianownika przez ten sam czynnik
(w tym przykładzie przez 2), a ponieważ nie wolno dzielić przez 0, zatem zawsze po
skróceniu musimy napisać odpowiednie założenie (ponieważ skrócona wersja jest poprawna
tylko dla x spełniających te założenia).
Dlatego warto zawsze na początku określić dziedzinę (o tym dokładniej będzie za chwilę).
W pierwszym przykładzie pełne założenia są następujące: 2 0 0
2)
ł: 0 3 0
Materiały pochodzą ze strony www.matemaks.pl
3)
√
√
ł: 0 34 0 34 0 √5 0
0 34 34 √5
4)
మ ł: 0 1 0
W tym przykładzie nie możemy od razu przystąpić do skracania, bo wielomian w liczniku nie
jest dany w formie iloczynu czynników. Używając jednak trików takich jak wyciąganie
wspólnego czynnika przed nawias, czy też np. wzorów skróconego mnożenia można często
przerobić taki wielomian na formę iloczynową (patrz rozdział o wielomianach). Zatem:
1 1 1
ଶ 1
1
1
5)
6)
య మ య III.
మ మ య 1
మ
య ł: 0 1 0
మ
మ ł: 3 1 0 9 3 1 0
మ Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych
Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych wykonujemy tak samo jak dla zwykłych ułamków.
Jeżeli dwa wyrażenia wymierne mają taki sam wielomian w mianowniku to po prostu dodajemy lub
odejmujemy liczniki. Jeśli natomiast nie mają wspólnego mianownika, to trzeba je do niego
sprowadzić.
Przykłady
1)
2)
3)
4)
మ మ 1
మ ł: 3
మ మ మ మ Materiały pochodzą ze strony www.matemaks.pl
5)
6)
7)
మ మ మ మ మ ఱ య
ఱ య మ మ W tym przykładzie nie mamy wspólnego mianownika, więc trzeba go zrobić przez
odpowiednie pomnożenie licznika i mianownika.
2·2 5
4
5
9
2 5
2
2 2 2 2
2
8)
9)
10)
మ మ మ
మ
మ
మ
మ మ √ య మ
మ √ య
మ
య మ మ √ ఱ √ య
మ
మ మ √ య మ య మ మ √ య మ మ
√ య
మ
√ ఱ √ య మ
మ
W tym przykładzie na początku zauważyliśmy, że pierwsze dwa ułamki mają wspólny
mianownik, a następnie wszystkie trzy wyrażenia sprowadziliśmy do wspólnego
mianownika.
11)
12)
2 1 ·
·
మ Materiały pochodzą ze strony www.matemaks.pl
IV.
Mnożenie wyrażeń wymiernych
Mnożenie wyrażeń wymiernych wykonuje się tak samo jak mnożenie zwykłych ułamków,
tzn. licznik · licznik i mianownik · mianownik.
Przykłady
1)
2)
V.
·
·
·
మ
·
·
ల ··
· ల Dzielenie wyrażeń wymiernych
Dzielenie wyrażeń wymiernych wykonuje się tak samo jak dzielenie zwykłych ułamków, tzn.
zamieniamy je na mnożenie biorąc odwrotność dzielnika.
Przykłady
1)
2)
·
·
ల VI.
·
ల · ·
ల ·
ల ·
ల Określanie dziedziny wyrażeń wymiernych
Wyznaczanie dziedziny polega na określeniu tych x-ów dla których wyrażenie ma sens. W przypadku
wyrażeń wymiernych najczęściej polega to na wykluczeniu tych x-ów dla których zeruje się
mianownik. Zabronione jest bowiem dzielenie przez 0.
Przykłady
1)
ł: 3 0
0
Odp.: Dziedziną tego wyrażenia wymiernego jest zbiór /0, czyli zbór wszystkich liczb
rzeczywistych bez zera.
మ 2)
ł: 3 0 2 0
3
2
Materiały pochodzą ze strony www.matemaks.pl
3)
య ł: 0 1 0
0 4)
1
3 5 0
య
మ √ మ మ ł: 0 √3 0
0 √3
0
√3
6 0 1 0
6 1 1 0
1
1
W tym przypadku nic nie
wypada z dziedziny, bo nie
istnieje taki x, że 6
Odp.: Dziedziną tego wyrażenia wymiernego jest zbiór /1, 0, 1, √3.
VII.
Rozwiązywanie równań wymiernych
Równaniem wymiernym nazywamy wyrażenie wymierne przyrównane do zera.
Aby wyznaczyć rozwiązanie równania wymiernego, należy wyznaczyć wszystkie x należące do
dziedziny, które spełniają dane równanie.
Przykłady
1)
0
Krok 1 – wyznaczamy dziedzinę:
ł: 0 1
Krok 2 – znajdujemy rozwiązanie przyrównując licznik do zera.
7 0
7 rozwiązanie należy do dziedziny, więc jest ok.
Odp.: Rozwiązaniem równania jest 7.
2)
మ 0
ł: 0 1
7 1 0
7 1 1 0
7
1
1
Pierwsze dwa rozwiązania należą do dziedziny, więc są ok., natomiast 1 nie należy do
dziedziny, więc nie jest rozwiązaniem naszego równania.
Odp.: Rozwiązaniem równania jest 7
1.
Krok 1:
Krok 2:
Materiały pochodzą ze strony www.matemaks.pl
3)
0
Aby poradzić sobie z tym równaniem wymiernym musimy zamienić lewą jego stronę na
jedno wyrażenie wymierne, tzn. wykonać odejmowanie. Przykład ten liczyliśmy wcześniej i
wyszło tak:
2
3 4
3 7 8
3 2
3 2
Zatem nasze równanie wymierne jest postaci:
3 7 8
0
3 2
Krok 1:
Krok 2:
ł: 3 2
3 7 8 0
Dostaliśmy do rozwiązania równanie kwadratowe.
∆ 7 4 · 3 · 8 49 96 145
√
√
Oba te rozwiązania należą do dziedziny.
Odp.: Rozwiązaniem równania jest √
√
Uwaga Rozwiązanie tego przykładu wymagało umiejętności rozwiązania równania
kwadratowego nierozkładalnego w prosty sposób na iloczyn czynników. Jeśli tego jeszcze nie
umiesz nie przejmuj się.
4)
Gdy równanie jest dane w takiej formie to przenosimy wszystko na jedną stronę
2
3 4
0
3 2
i robimy tak jak poprzednio.
[Można też to rozwiązać mnożąc na krzyż: 2 2 33 4 nie zapominając
oczywiście o dziedzinie.]
5)
Wszystko na jedną stronę:
1
0
2
2
1
0
2
2
1 2
0
2
Materiały pochodzą ze strony www.matemaks.pl
1
0
2
Określamy dziedzinę: ł: 2
Rozwiązujemy: 1 0
10
1 rozwiązanie należy do dziedziny
Odp.: Rozwiązaniem równania jest 1.
6)
మ 0
To równanie nie ma rozwiązania, bo nigdy licznik nie będzie równy 0.
Zadanie1 Określ dziedzinę wyrażenia wymiernego:
a)
b)
c)
ఱ ర √ య ర
య
మ d)
మ e)
మ Zadanie2 Rozwiąż poniższe równania:
a)
b)
c)
మ మ మ 0
Materiały pochodzą ze strony www.matemaks.pl