1. Zagadnienia teoretyczne. Dodawanie i odejmowanie wyrażeń

Zajęcia nr 45 (TM6). – Działania na wyrażeniach wymiernych.
Robert Malenkowski
1. Zagadnienia teoretyczne.
Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych.
1.1.
Wynikiem dodawania lub odejmowania wyrażeń wymiernych powinno być
także
wyrażenie
wymierne.
Kiedy
obydwa
mają
równe
mianowniki,
postępujemy analogicznie jak w przypadku zwykłych ułamków:
1. Wielomian w mianowniku pozostawiamy bez zmian
2. Dodajemy (odejmujemy) wielomiany w liczniku
Przykład
Tak dodajemy ułamki o jednakowym mianowniku:
3 2 3 2 5
 

7 7
7
7
A tak wyrażenia wymierne o jednakowym mianowniku:
x 2  3x 2 x  5 x 2  3x  2 x  5 x 2  x  5



x4
x4
x4
x4
Odejmujemy analogicznie:
2 x 2  3 x  4 5 x 2  2 x  5 2 x 2  3 x  4  (5 x 2  2 x  5)  3 x 2  x  9



x2
x2
x2
x2
Przy odejmowaniu należy uważać na znaki. Minus przed nawiasem zamienia je
na przeciwne.
Co zrobić, jeżeli wielomiany w mianowniku nie są równe? Sprowadzić
wyrażenia wymierne do jednego mianownika:
Przykład
Wykonamy działanie:
Zajęcia nr 45 (TM6). – Działania na wyrażeniach wymiernych.
Robert Malenkowski
Wspólnym mianownikiem dla obydwu wyrażeń będzie iloczyn ich
mianowników: ( x  1)( x  3) . Aby go uzyskać, odpowiednio rozszerzamy
ułamki:
Teraz możemy liczniki dodać do siebie:
Kolejny przykład:
2
Wspólnym mianownikiem możemy uczynić x  x x  1 , ale zauważmy, że
2
może nim być też wielomian niższego stopnia, x  x  1 :
Wykonując działania na wyrażeniach wymiernych należy bezwzględnie
pamiętać o sformułowaniu założeń, czyli wykluczyć z dziedziny wyrażenia te
wartości zmiennych, które dają zero w mianowniku (tzn. wielomian z
mianownika nie może być wielomianem zerowym).
Zajęcia nr 45 (TM6). – Działania na wyrażeniach wymiernych.
Robert Malenkowski
2. Zadania do samodzielnego rozwiązania:
1. Wykonaj działania:
1 x 3

, wskaż poprawny wynik.
x 3x
x2
a.
3x
x
b.
3x
3x  5
c.
x
4x  2
d.
x
2. Wykonaj działania
2x
1
4


. Wskaż poprawny wynik.
x 2  x x 2 5x
14 x 2  x  5
a.
x 2 ( x  1)
4 x 2  x  15
b.
5 x 2 ( x  1)
14 x 2  x  5
c.
10 x 2 ( x  1)
14 x 2  x  5
d.
5 x 2 ( x  1)
3. Wskaż wspólny mianownik wyrażeń:
a.
b.
c.
d.
1
x 1
i 2
x 1 x  x 1
x3 1
x 2 1
x3  1
x2  x 1
x 1
2x  3

4. Założenia dla działań: 3
jest zbiór:
x  9x x  2
Zajęcia nr 45 (TM6). – Działania na wyrażeniach wymiernych.
Robert Malenkowski
a. R \  2,3,3
b. R \  3,2
c. R \ 0,3,2
d. R \  3,0,2,3
1
5. Wartość wyrażenia
1
1
1
1
x 1
a. 1
b. 0
c.  2
d. nie da się obliczyć wartości
dla x  2 wynosi: