Pobierz - mikroekonomia.net

Transkrypt

SPIS TREŚCI
Spis treści (Contents)
1
Wprowadzenie
3
Monopolizacja rynku, strata bogactwa społeczeństwa, pomiar
5
pustej straty monopolistycznej
Tomasz Bernat
Zastosowanie
filtra
Hodrica
Precotta
w
badaniach
17
makroekonomicznych
Jakub Gazda
Elastyczność popytu i podaży (ujęcie algebraiczne i graficzne)
27
Michał Krusza
Wykorzystanie technik multimedialnych do interaktywnej
49
prezentacji zagadnień ekonomicznych (na przykładzie teorii
wyboru firmy)
Marek Kunasz
Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka
Elżbieta Pankau
1
57
2
Wprowadzenie
Niniejsza publikacja powstała na bazie materiałów dostarczonych na
II Międzynarodowe Warsztaty Ekonomiczne które odbywały się w Zespole
Dworsko-Pałacowym Uniwersytetu Szczecińskiego w Kulicach. Spotkanie
odbyło się w dniach 27-29 września 2004 roku.
Głównymi celami warsztatów były:
Integracja środowiska młodych pracowników naukowych,
doktorantów i studentów zainteresowanych ekonomią oraz
funkcjonowaniem gospodarki w różnych jej płaszczyznach.
Prezentacja wyników badań naukowych i dyskusja nad nimi.
Wymiana informacji na temat prądów badawczych, działalności
katedr i studenckich kół naukowych.
Dyskusja nad aktualnymi zagadnieniami mikro- i makroekonomicznymi w Polsce oraz ich implikacjami politycznymi.
Dyskusja dotycząca nauczania przedmiotów ekonomicznych.
W spotkaniu wzięło udział 35 młodych naukowców z uczelni wyższych
z całej polski oraz goście z zagranicy.
Zapraszam do udziału w kolejnych edycjach warsztatów, które odbywać będą się
cyklicznie w kolejnych latach. Wszelkie informacje oraz zgłoszenia na stronie
internetowej: http://ekonomia.glt.pl/workshop
Serdecznie zachęcam do lektury.
Tomasz Bernat
3
4
Dr Tomasz Bernat
Katedra Mikroekonomii
Uniwersytet Szczeciński
Monopolizacja rynku,
strata bogactwa społeczeństwa,
pomiar pustej straty monopolistycznej
Monopole rynkowe
Rynki we współczesnych gospodarkach charakteryzują się dużą
złożonością i skomplikowaniem. Produkty na nich oferowane, to skomplikowane
połączenia techniki, informacji, marketingu i wielu innych czynników. Sprzedaż
wyrobów konsumentom nie jest prostym zadaniem, które każdemu
przedsiębiorstwu przychodzi z łatwością. Firmy próbują radzić sobie z tym
problemem w różny sposób, wykorzystując dostępne środki i możliwości. Jedną z
takich metod jest uzyskanie i utrzymanie dominującej pozycji na swoim rynku.
Monopolizacja, może (i powinna) być, więc znakomitym celem działalności dla
wszystkich podmiotów rynkowych.
Czym są monopole i jakie ich formy można spotkać w gospodarce?
Monopol rynkowy to sytuacja, w której pojedyncze przedsiębiorstwo uzyskuje i
utrzymuje dominującą pozycję na rynku, sprzedając całą lub znaczną część
swojej produkcji jako rynkowej. Zwykle jest to jednocześnie największa firma na
danym rynku. Sytuacja taka oznacza, iż podmiot ten, posiada znaczny udział
rynkowy, mierzony na przykład wielkością jego sprzedaży w stosunku do
sprzedaży rynku1. Można to opisać jako:
MS i =
TRi
× 100%
TRM
gdzie:
MSi – udział w rynku i-tej (badanej) firmy,
TRi – wielkość sprzedaży i-tej firmy,
TRM – wielkość sprzedaży rynkowej.
Udział rynkowy (MSi) w bezpośredni sposób pokazuje, jak duża jest
skala „zawładnięcia” rynkiem przez pojedyncze przedsiębiorstwo. Teoretycznie,
przedsiębiorstwa mogą posiadać udziały rynkowe w granicach od 0 % do 100 %.
W ujęciu tym rynek, na którym największe przedsiębiorstwo posiada zerowy
udział w rynku to konkurencja doskonała. Jest to jednak teoretyczny model
1
Pomiar ten może być dokonywany nie tylko w oparciu o wielkość sprzedaży (TR – przychód firmy),
może być to również udział w aktywach rynkowych, zebranych funduszach, itp.
5
ekonomiczny, nie mający swojego odzwierciedlenia w rzeczywistości. W
praktycznym ujęciu, najczęściej spotykane wielkości przekraczają 0 % i twierdzi
się wówczas, iż jest to konkurencja niedoskonała. O ile oczywiście twierdzenie to
jest prawdziwe w stosunku do rynków, na których działają, co najmniej 2
podmioty, to w stosunku do sytuacji 100% udziałów rynkowych, a więc czystego
monopolu, trudno jest mówić o jakiejkolwiek formie konkurencji. Jest to jednak
niewątpliwie sytuacja, w której występuje monopolizacja rynku. W teoretycznym
ujęciu wyróżnia się ponadto dwie formy konkurencji niedoskonałej: oligopol i
konkurencję monopolistyczną. Ich wyróżnienie oparte jest zarówno na
udziałach w rynku, które posiadają dominujące podmioty jak i na bazie innych
kryteriów. Ogólnie charakteryzując je należy stwierdzić, iż oligopoliści, (czyli
firmy dominujące w oligopolu) posiadają większe udziały rynkowe i są silniejsze,
niż największe z podmiotów, które działają w konkurencji monopolistycznej2.
Mogą one, zatem w większym stopniu oddziaływać na rynek i konsumentów.
Powstanie siły monopolistycznej i dominacji na rynku związane jest z
kilkoma istotnymi czynnikami, których działanie może spowodować zjawisko
dominacji rynkowej. Zaliczyć do nich można:
•
działanie państwa, przejawiające się na przykład w
konieczności uzyskania licencji, pozwolenia na prowadzenie określonego
zakresu działalności (np. koncesje - PKP, telefonia komórkowa, telefonia
stacjonarna).
•
Dostęp do źródeł surowców które nie mogą być wydobywane
w innych rejonach, miejscach, i z tego powodu podmioty je wydobywające
mogą uzyskiwać znaczną siłę rynkową (np. przemysł wydobywczy kopalnie
węgla, diamentów, rud metali).
•
Rozbudowana sieć sprzedaży to kolejna przyczyna
monopolizacji. Jest ona szczególnie widoczna w krajach posocjalistycznych.
Dominujące dawniej na rynku podmioty gospodarcze po przekształceniach
gospodarki nadal zachowały dominująca pozycję ze względu na bardzo
dobrze rozbudowana sieć dystrybucji swoich produktów czy usług (np. PZU,
Telekomunikacja Polska S.A.).
•
Przewaga kosztowa wynika z efektu skali produkcji, jaki
osiąga dominujący podmiot. Znaczna wielkość produkcji powoduje
zmniejszanie się kosztów jednostkowych a co za tym następuje, wpływa na
możliwość obniżania cen poniżej konkurencji. Stąd niedaleka droga do
uzyskania przewagi na rynku (np. telekomunikacja, energetyka).
•
Patenty, licencje, itp. są kolejnym sposobem na uzyskanie
dominacji rynkowej. Uzyskanie statusu przedstawiciela generalnego na kraj
lub region zapewnia ochronę przez konkurencją i możliwość wpływania na
2
Szerzej na temat kryteriów podziału tych struktur rynkowych można znaleźć min. w:
Mikroekonomia, red. D. Kopycińska, KaDruk, Szczecin 2002.
6
ceny. Drugim aspektem jest sprzedaż licencjonowanego na świecie produktu.
Prawo te zakazuje naśladownictwa - wytwarzania produktów będących
bliskimi substytutami i w związku z tym daje przedsiębiorstwu wyłączność
(monopol) na jego sprzedaż (np. leki nowej generacji).
Działanie monopoli rynkowych może i powinno być rozpatrywane
również w aspekcie ich zasięgu geograficznego. Przeważnie przyjmuje się, iż
dominacja podmiotu związana jest z obszarem geograficznym kraju, na terenie
którego działa. Działanie takich podmiotów można jednak zaobserwować w
znacznie szerszej perspektywie. Skala działania podmiotów monopolistycznych
może być rozpatrywana jako:
- świat (np. leki nowej generacji),
- kraj (branże państwowe, np. PKP),
- województwo (przedstawicielstwa generalne),
- miasto (komunikacja miejska, wodociągi, kanalizacja)
- wieś (jedyny sklep w okolicy).
Wniosek jest jeden: podmioty dominujące na rynku są wszędzie. Można je
spotkać w praktycznie każdym aspekcie naszego życia.
Strata konsumenta
Ważną kwestią, związaną z funkcjonowaniem monopoli na rynku, jest
odpowiedź na pytanie: czy i w jaki sposób najczęściej objawia się siła monopoli?
Pominąwszy wiele aspektów związanych z produkcją, inwestycjami, organizacją
firmy, sprzedażą czy marketingiem należałoby skupić się na problemie wielkości
ceny i poziomu sprzedaży monopoli.
Jako punkt wyjścia teoria ekonomii bierze doskonale konkurencyjną
strukturę rynku. Twierdzi się, iż w jej ramach konsument otrzymuje najniższe
ceny na produkty oraz jednocześnie największą ilość dostarczanych produktów.
Wydaje on w tym przypadku najmniej pieniędzy na dobra, których potrzebuje w
odniesieniu do firm znajdujących się w strukturach konkurencji niedoskonałej,
(które produkują właśnie takie wyroby). Wniosek z tych rozważań jest prosty:
jeżeli konsument wydaje więcej pieniędzy na określone dobra w strukturach
niedoskonałych, to ponosi on z tego tytułu stratę, którą można by oszacować jako
różnicę pomiędzy kwotą jaką wydaje na określony produkt sprzedawany przez
monopolistę a tym, co zapłaciłby gdyby był to produkt w konkurencji doskonałej.
Można by to zapisać jako:
Wi=PAM-PAP
gdzie:
Wi – strata i-tego konsumenta z tytułu zakupu dobra A,
PAM – cena dobra A sprzedawanego przez firmę monopolistę,
PAP – cena dobra A sprzedawanego przez firmę w konkurencji
doskonałej.
7
Oczywiście w sytuacji, gdyby konsument kupował więcej takich dóbr,
lub inne produkty sprzedawane przez monopolistów jego strata będzie większa.
Można to ująć jako:
n
Wi = ∑ ( PAM − PAp )
A=1
gdzie A, oznacza dobra kupowane przez konsumenta w określonym czasie a
dostarczane przez firmy monopolistyczne.
Wielkość Wi, liczona w skali miesiąca lub roku, pozwalałaby
odpowiedzieć na pytanie, jak dużo przepłaca konsument w związku z
nabywaniem przez niego produktów firm monopolistycznych lub też, inaczej
interpretując otrzymany wynik, jak duża jest strata konsumencka z tytułu
monopolizacji. Mnożąc Wi przez liczbę konsumentów uzyskać można wynik,
obrazujący łączne straty jakie ponosi dane społeczeństwo z tytułu działalności
monopolu:
WL=WixN
Gdzie:
WL łączna społeczeństwa z tytyu monopolizacji rynku (branży),
N to liczba członków społeczeństwa korzystająca z produktów
monopolu.
Problem, jaki nasuwa się w tych obliczeniach dotyczy głównie kwestii
ustalenia cen wolnokonkurencyjnych, stanowiących podstawę obliczeń3. Ich
uzyskanie, związane jest z analizą poszczególnych rynków i próbą oszacowania
cen (i różnic) dla poszczególnych produktów. Należy, zatem zwrócić uwagę na
poziom monopolizacji rynku, i określić stopień jego nieefektywności.
Drugim podejściem do tego problemu jest ustalenia całkowitej straty
monopolistycznej, jaka wynika z działania podmiotów monopolistycznych.
Zakłada się, iż przedsiębiorstwa dominujące na rynku mogą ustalić cenę powyżej
tej, jaka ustalona byłaby w konkurencji doskonałej, w wyniku działania
mechanizmu rynkowego. Nadwyżka ceny monopolowej w stosunku do tej z
konkurencji
doskonałej
daje
możliwość
wypracowania
zysków
monopolistycznych i tym samym, obciążenia konsumentów wyższą kwotą za
produkt, jaki dostępny jest w sprzedaży. Zjawisko to można zaobserwować
posługując się prostym wykresem obrazującym optymalizację wielkość zysku w
działaniach monopolu (lub podmiotu w konkurencji niedoskonałej). Przedstawia
to wykres 1.
3
Pomijając oczywiście całą problematykę związaną z samym wyborem dokonywanym przez
konsumentów, a więc co kupić, od kogo, w jakiej ilości, kiedy, ile za to zapłacić, jaki przeznaczyć na
to budżet itp.
8
P
PM
A
B
MC
PPC
MR
QM
QPC
D
Q
Wykres 1. Optymalizacja działań przedsiębiorstwa niedoskonale
konkurencyjnego.
Źródło: opracowanie własne.
Wykres 1 przedstawia podmiot gospodarczy w strukturze konkurencji
niedoskonałej (a więc czysty monopol, oligopol lub konkurenta
monopolistycznego), maksymalizującego swoje zyski zgodnie z klasyczną zasadą
MC=MR. Przedstawiony schemat jest przy tym prosty gdyż zakłada liniowość
wszystkich występujących tam parametrów a więc kosztu krańcowego (MC),
utargu krańcowego (MR) i popytu (D). W pierwszej kolejności przedsiębiorstwo
ustala poziom produkcji i sprzedaży (QM) przy którym będzie następowała
maksymalizacja zysku. Następnie dla tej wielkości odczytywany jest popyt i
ustalana cena monopolistyczna (PM). Dla porównania zaprezentowane jest
jednocześnie na wykresie 1 rozwiązanie dla konkurencji doskonałej. Przy
założeniu, że w strukturze tej koszt krańcowy zrównuje się z cena sprzedaży w
optimum (MC=PPC), ustala się zarówno wielkość sprzedaży (QPC) jak i cena
(PPC).
Porównanie cen i ilości, jakie będą oferowane w dwóch strukturach
rynku pokazuje teoretyczną różnicę w skali działania monopoli rynkowych.
Firmy posiadające dominującą pozycję na rynku ustalają wyższą cenę i produkują
mniej, niż w konkurencji doskonałej. Dowodzi to prawdziwości wzorów
zaprezentowanych wyżej dla potrzeb ustalania Wi - straty konsumenta.
Jednocześnie na wykresie zaprezentowano dwa pola, określające
9
możliwe starty wynikające dla społeczeństwa z działania firm posiadających
pozycję monopolistyczną. Pole A jest to zysk monopolistyczny, jaki osiąga
przedsiębiorstwo dzięki posiadaniu dominacji rynkowej. Zysk ten jest tym
większy, im wyższy jest stopień monopolizacji. W literaturze ekonomicznej z
zakresu działań antymonopolowej przyjmuje się, iż pole to jest wynikiem działań
związanych z poszukiwaniem zysku (rent seeking) przez podmioty dominujące
na rynku. Działania te polegają między innymi na zatrudnianiu prawników i
lobbystów, których zadaniem jest albo ochrona pozycji przedsiębiorstwa albo
umożliwienie jego dalszego rozwoju i zwiększenie stopnia monopolizacji4. Pole
te nie powinno być jednak traktowane jako czysta strata wynikająca z działania
monopolu. Za taką bowiem uważane jest bowiem pole B5. Ustalając jego
wielkość można określić jak duża jest pusta strata monopolistyczna. Powinna być
ona traktowana jako miara pogorszenia się sytuacji konsumentów z powodu
opłacania cen monopolistycznych w porównaniu z cenami doskonale
konkurencyjnymi. Wyraża ona wartość straconej produkcji w cenach, jakie
skłonni są zapłacić ludzie za każdą straconą jej jednostkę6. Pole to przy tym
składa się z dwóch obszarów reprezentujących dodatkowe zyski monopolisty
otrzymywane ze sprzedaży oraz straty nadwyżki konsumentów z tytułu zakupu
po cenach monopolistycznych7.
Pomiar pustej straty monopolistycznej (WL)
Pomiar strat, jakie ponoszą konsumenci z tytułu działania monopoli
teoretycznie wydaje się rzeczą prostą. Znając podstawowe dane jak poziom cen w
monopolu i konkurencji doskonałej oraz wielkości sprzedaży poszczególnych
podmiotów można ustalić stratę. Jej pomiaru można dokonać obliczając pole
trójkąta obrazującego tę stratę, czyli obszaru B. Używając prostego wzoru na to
pole oblicza się jak duża mierząc ją w wartości pieniężnej będzie pusta strata.
W praktyce uwidacznia się jednak kilka podstawowych problemów. Są
to choćby takie jak niemożliwość przyjęcia liniowego modelu kosztów
przychodów czy popytu. Trudność w oszacowaniu wielkości kosztu krańcowego,
poziomu cen doskonale konkurencyjnych czy wreszcie ustaleniu popytu na dobra.
Teoretycznie można jednak podjąć próbę ustalenia tej wielkości.
Podstawą niech będzie wykres 2.
4
Por. Tollison R. D., (1982) Rent seeking, Survey, Kyklos 575, s. 587, Mithell W, M. Munger,
(1991), Economic Models of Interest Groups: An Introductory Survey, American Journal of Political
Science nr 512, s. 525.
5
Harberger A. C., (1954), Monopoly and Resource Allocation, American Economic Review nr 44, s.
77.
6
Varian H., (1995), Mikroekonomia, PWN, Warszawa, s. 428.
7
Obszary te są widoczne wówczas, gdy zamiast modelu liniowego, jak na wykresie 1, przyjmie się
założenie o rosnącej krzywej kosztu krańcowego. Ibidem, s. 427-428.
10
P
PM
b
PPC
B
MC
c
a
MR
QM
D
QPC
Q
Wykres 2. Pusta starta monopolistyczna
Źródło: opracowanie własne
Ustalenia wielkości pola abc można dokonać posługując się wzorem:
abc=1/2x(b-a)x(c-a)
Urealniając powyższy wzór do sytuacji ekonomicznej należałoby go
określić następująco:
Lub
WL=1/2x(PM-PPC)x(QPC-QM)
WL=1/2x(PM-MC)x∆Q
Wyliczając stąd poziom pustej straty monopolistycznej określa się jej
wielkość dla konkretnego monopolisty lub branży, w zależności, co przedstawiają
sobą dane, czy pojedynczego monopolistę czy globalnie branżę, rynek.
Jak już wcześniej podano, problem uproszczeń teoretycznych
uniemożliwia skuteczne obliczenie w praktyce poziomu straty. Kolejną metodą
próbującą rozwiązać ten problem jest kalkulacja Indeksu Lernera8.
Wykorzystanie tego miernika związane jest z oceną efektywności podmiotów w
sytuacji wolnokonkurencyjnej. Jego wielkość pokazuje siłę monopolizacji rynku.
Im bardziej poziom wartości ustalony Indeksem Lernera odchyla się od sytuacji
dla rynku doskonale konkurencyjnego tym większa jest jego siła
8
Lerner A. P., (1934), The Concept of Monopoly and the Measurement of monopoly Power, Review
of Economic Studies, vol. 1, s. 157-175 – podaję za Scherer F. M., D. Ross, (1990), Industrial Market
Structure and Ecomonic Performance, Houghton Mifflin Company, Boston, s. 70-71.
11
monopolistyczna i tym samym większa nieefektywność rynku. Sam indeks
definiowany jest jako:
M=(P –MC)/P
Gdzie: M - Indeks Lernera, P - cena, MC - koszt krańcowy.
Indeks przyjmuje wartość równą 0 (zero) dla sytuacji
wolnokonkurencyjnej. W tym przypadku cena jest, bowiem równa kosztom
krańcowym, dla poszczególnych producentów. W przypadku natomiast
monopoli, cena odbiega od wartości koszu krańcowego, przewyższając ją,
skutkiem czego, wartość indeksu obliczonego w powyższy sposób będzie rosła
(M>0). Pokazuje to rosnącą siłę monopolistyczną analizowanego podmiotu lub
branży.
Indeks Lernera może być rozszerzony o ujęcie związane z elastycznością
cenową popytu na wyroby firmy lub całej branży. Przyjmuje on wówczas
następującą formułę:
M=
(P − MC ) = 1
P
e
gdzie e – to elastyczność cenowa popytu na wyroby branży.
Formuła ta związana jest z relacją PCM – cena-koszt marginalny, która może
być także związana z oceną efektywności funkcjonowania rynku. W sytuacji gdy
pod uwagę bierze się liczbę firm w danej branży – rynku, powyższa formuła jest
uzupełniana o liczbę firm tam działających (n):
M=
(P − MC ) =
P
1
ne
Ustalenie całkowitej wielkości pustej straty monopolistycznej będzie
możliwe po przemnożeniu wielkości zysku firmy monopolistycznej przez indeks
Lernera:
WL=MxΠM
Indeks Lernera można także zmodyfikować, posługując się wskaźnikiem
koncentracji rynkowej HHI9. Formuła indeksu Lernera jest wówczas następująca:
9
HHI - Herfidahl-Hirschman Index. Wskaźnik ten pokazuje koncentracje całego rynku. Liczy się go
jako sumę kwadratów udziałów rynkowych poszczególnych firm na rynku. Jego wartość może
przedstawiać albo stopień koncentracji całego rynku albo dla kilku wybranych, największych na tym
rynku graczy (np. 3 lub 4 przedsiębiorstw). Por. Hirschman A. O. (1964), The Paternity of an Index,
American Economic Review, vol. 54, s. 761. Podaję za podaję za Scherer F. M., D. Ross, (1990),
Industrial Market Structure…, op. cit., s. 72-73.
12
M =
(P − MC ) = HHI
P
e
gdzie: MC jest średnim ważonym kosztem krańcowym badanych
podmiotów rynkowych.
Analizują powyższe zapisy, należy stwierdzić, iż na bazie elastyczności
cenowej popytu na wyroby dominującego podmiotu, lub całego rynku (branży)
można uzyskać informacje o efektywności lub o stopniu nieefektywności rynku.
W odniesieniu do wolnej konkurencji przyjmuje się, iż liczba firm w niej dąży do
nieskończoności podobnie jak poziom elastyczności. Im zatem rynki są bardziej
zmonopolizowane, i im większa jest siła rynkowa poszczególnych firm, tym
wskaźnik elastyczności będzie mniejszy – bardziej nieelastyczny. Będzie to
jednocześnie wskazywać na poziom nieefektywności rynku. W odniesieniu do
Indeksu Lernera, będzie on wówczas przyjmować wartości coraz większe.
Jak już wcześniej wspomniano, istnieje kilka problemów praktycznych
związanych z ustalaniem wielkości WL. W odniesieniu do kalkulacji indeksu
Lernera są być to zagadnienia dotyczące:
kalkulacji kosztu krańcowego:
poziom kosztu dla podmiotu dominującego,
poziom MC dla sytuacji doskonale
konkurencyjnej,
ustalenia poziomu ceny, ze względu na:
wielość produktów monopolisty,
zmiany poziomu ceny w czasie,
stosowanie dyskryminacji cenowej,
stosowanie promocji
szacowania elastyczności cenowej popytu (e) na wyroby monopolisty w
związku z:
szacowaniem funkcji popytu rynkowego,
różnym
stopniem
monopolizacji
poszczególnych produktów.
Problemy te są możliwe w mniejszym lub większym stopniu głównie
poprzez przyjęcie odpowiednich założeń, dotyczących uproszczeń w kalkulacji.
Na przykład przyjęciu założenia o stałości cen lub kosztu marginalnego.
13
Case study
Rynek ubezpieczeń w Polsce
Rynek ubezpieczeń w Polsce ewoluował w okresie przemian
transformacyjnych wywołanych zmianami gospodarczymi. Jego aktualna historia
obejmująca ostatnie 14 lat funkcjonowania, nie może opisana być w prosty i
krótki sposób. Ubezpieczenia w roku 1990 to system z ogromnymi
naleciałościami dawnego systemu10. W roku tym funkcjonowało zaledwie 5
podmiotów. Proces zmian, zapoczątkowany wprowadzeniem w życie ustawy o
działalności ubezpieczeniowej11, której jednym ze skutków było pełne otwarcie
rynku na nowe podmioty, zaowocował szybkim wzrostem liczby nowych
podmiotów wykonujących działalność ubezpieczeniową. Dokonano jednocześnie
podziału rynku na dwie odrębne części: życiową (dział I) i majątkową (dział II).
Przedsiębiorstwa musiały wybrać, w którym dziale ubezpieczeń będą chciały
funkcjonować lub też musiały zakładać własne zależne firmy, które zajmowały
się sprzedażą w drugim segmencie rynku. To także wpłynęło na zwiększone
tempo przyrostu nowych podmiotów gospodarczych na tym rynku. Liczbę firm
na rynku ubezpieczeniowych, posiadających zezwolenie na działalność w latach
1991-2003 przedstawia tabela 1.
Tabela 1. Liczba podmiotów posiadających zezwolenie na prowadzenie
działalności ubezpieczeniowej w Polsce w latach 1991-2004, wybrane lata
Rok
1991
1994
1997
2000
2002
2003
Dział I
5
10
21
35
37
36
Dział II
19
26
32
33
36
38
Razem
24
36
53
68
73
74
Źródło: opracowanie własne na podstawie Tatulińska I., (2003), Rozwój
rynku ubezpieczeń w Polsce w latach 1990 – 2002, Strona internetowa Rzecznika
Ubezpieczonych: www.rzu.gov.pl oraz strona internetowa Urzędu Nadzoru:
www.knuife.gov.pl, (stan na 01.06.2004)
Rozwój rynku ubezpieczeń w Polsce w omawianym okresie spowodował
jednocześnie przebudowę struktury jego funkcjonowania. Największe podmioty
na początku okresu zmian, to jest PZU S.A. i Warta S.A. straciły panowanie na
rynku. Jak wynika z tabeli 1 na rynek ten weszła znaczna grupa nowych i silnych
firm, które stopniowo zaczęły odbierać dominację tym towarzystwom12. Zaczął
powstawać rynek konkurencyjny. Proces ten przedstawia tabela 2.
10
Vademecum ubezpieczeń gospodarczych, red. Sangowski T., (2000), Saga Print, Poznań, s. 42.
Ustawa z dnia 28.07.1990 r. o działalności ubezpieczeniowej, Dz. U. Nr 59, poz. 344, z
późniejszymi zmianami.
12
Bariery rozwoju polskiego rynku ubezpieczeniowego, red. Sułkowska W,. (2000), Zamykacze,
Kraków, s. 17.
11
14
Tabela 2. Udziały rynkowe dominujących podmiotów branży
ubezpieczeniowej w Polsce w latach 1991-2003, dane w %, wybrane lata
1991 1993 1995 1997 1999 2001 2002 2003
Rok
PZU Życie
98,77 99,71 98,68 96,48 90,68 50,9 49,4 45,9
PZU S.A.
68,46 65,65 60,24 62,68 55,24 57,3 55,8 53,1
WARTA
15,85 18,10 17,55 12,67 13,28
13 13,5 12,8
Źródło: opracowanie własne na podstawie Tatulińska I., (2003), Rozwój
rynku ubezpieczeń w Polsce w latach 1990 – 2002, Strona internetowa Rzecznika
Ubezpieczonych: www.rzu.gov.pl oraz strona internetowa Urzędu Nadzoru:
www.knuife.gov.pl, (stan na 01.06.2004).
Rynek ubezpieczeń w omawianym okresie zmieniał swój stopień
koncentracji. Jego transformacje prezentuje wskaźnik HHI.. Jego wielkość dla
poszczególnych lat badanego okresu przedstawia tabela 3 oraz wykres 1.
12 000
10 000
8 000
6 000
4 000
2 000
0
Dział I
Dział II
19
91
19
92
19
93
19
94
19
95
19
96
19
97
19
98
19
99
20
00
20
01
20
02
20
03
H- indeks
Tabela 3. Wskaźnik koncentracji rynkowej H, dla rynku ubezpieczeń w
Polsce w latach 1991-2003, wybrane lata
Rok
1991
1993
1995
1997
1999
2001
2002
2003
Dział I
8 981 9 768 7 672 5 141 3 769 3 281 3 095 2 635
Dział II
5 088 4 664 3 981 4 138 3 298 3 998 4 129 3 918
Źródło: obliczenia własne na podstawie informacji ze strony internetowej
Urzędu Nadzoru
Wykres 2. Wskaźnik koncentracji rynkowej H, dla rynku ubezpieczeń w
Polsce w latach 1991-2003.
15
Zadania
1.
2.
3.
4.
Na podstawie powyższych danych przeanalizuj zmiany
zachodzące na rynku ubezpieczeń w Polsce w kontekście
zmian konkurencyjnych. Powiedz, w jakim stopniu twoim
zdaniem rynek ten jest konkurencyjny.
Widząc, że w roku 2002 łączny zysk całej branży
ubezpieczeniowej wyniósł 1,5 mld zł, zaś w roku 2003 2 mld
zł. Przyjmując, że wskaźnik elastyczności cenowej popytu na
usługi ubezpieczeniowe wynosił odpowiednio dla działu I:
1,7 zaś działu II: 1,4 ustal wartość indeksu Lernera oraz
wielkość pustej straty monopolistycznej dla obu działów
ubezpieczeniowych.
Powiedz, czy w odniesieniu do rynku ubezpieczeń Urząd
Ochrony Konkurencji i Konsumentów powinien zwracać
szczególną uwagę.
Jak sadzisz, jakie zmiany na tym rynku mogą zajść po
otwarciu go na konkurencję ze strony innych ubezpieczycieli
działających w Unii Europejskiej?
16
Jakub Gazda
Akademia Ekonomiczna w Poznaniu
Zastosowanie filtra
makroekonomicznych
Hodrica
Precotta
w
badaniach
Zdaniem autora, punktem wyjścia badań makroekonomicznych powinno
być ugruntowanie ich w adekwatnej do obszaru studiów teorii. Nie inaczej jest w
przypadku filtra Hodricka-Prescotta (HP). Można potraktować filtr jako narzędzie
ateoretyczne – jednak jest to podejście krótkowzroczne. Specyficzna sytuacja w
polskojęzycznym piśmiennictwie ekonomicznym podsyca pragnienie prezentacji
tego powszechnego w anglojęzycznej literaturze narzędzia. Istotne jest
rozróżnienie pomiędzy analizą ilościową a ekonometrią. Autor postuluje
potraktowanie filtra HP jedynie jako narzędzie, metodę, a nie teorię podlegającą
uczonym dyskusjom. Można przyjąć, że jest to standardowa procedura służąca do
wychwytywania długookresowych tendencji w szeregach makroekonomicznych.
Filtr stosowany jest dla dowolnych historycznie szeregów czasowych
obrazujących zmiany o charakterze makroekonomicznym.
Wprowadzenie teoretyczne
Na szczęcie, dla czytelnika, nie ma mowy o dyskusji, co do korzeni
paradygmatycznych filtra HP. Powstał on na łonie nowej klasycznej ekonomii,
choć bywa używany również przez „pozostałych” badaczy makrozjawisk.
Początek lat 70 XX w. były okresem otwartej negacji keynesowskiego sposobu
tłumaczenia
makroekonomii.
Krytykowano
przymusowe
bezrobocie,
nieefektywność rynków (przynajmniej jako zjawisk powszechnych).
Dezaprobowano również brak podstaw mikroekonomicznych modeli
keynesowskich oraz zarzucano im niesatysfakcjonujące wyniki testów
empirycznych. Naturalną ripostą na wspomniane zarzuty były struktury
teoretyczne osadzone w „świecie” racjonalnych oczekiwań oraz oparte na
nowych metodach ilościowych. W ich klimacie R. E. Lucas jr. w 1977 na
podstawie modeli „wysp” wyjaśnił zmiany aktywności gospodarczej, które
opierały się na twierdzeniu, iż wahania cykliczne to zbiór ruchów wokół trendu
wyznaczonego dla realnego PKB danego kraju. Oczywiście tego rodzaju
określenie będzie zarezerwowane tylko dla oscylacji koniunkturalnych. Jednak
nic nie stoi na przeszkodzie, aby tak samo ujmować istotę fluktuacji cyklicznych
dla odmiennych wielkości, tyle że wtedy trend będzie wyszukiwany w szeregu
innej niż PKB zmiennej, np. chcąc wyizolować komponent cyklicznych zmian
cen możemy wyodrębnić trend dla deflatora13.
13
M. Kruszka. Wyodrębnianie wahań cyklicznych, Warsztaty Makroekonometryczne, AE Poznań 2002, s.2
17
Użycie trendu deterministycznego w sformalizowanej postaci wygląda
następująco:
yˆt = α 0 + α1 * t + ε t ;
(1)
gdzie:
ŷt - teoretyczna wartość trendu dla zmiennej y w okresie t;
α0
α1
εt
- estymator parametru liniowej funkcji trendu, określający poziom
zjawiska w okresie t = 0;
- estymator parametru funkcji trendu, wyrażający średni przyrost wartości
badanego zjawiska;
- składnik resztowy.
Zatem jakikolwiek wstrząs np. wzrost podaży pieniądza powinien
spowodować wzrost poziomu PKB. Jednak będzie to zmiana jedynie
krótkookresowa, ponieważ gospodarka rozwija się zgodnie z trendem liniowym i
po pewnym czasie wróci do swojej długookresowej ścieżki wzrostu. Ilustruje to
rysunek1.
Rysunek 1. Ścieżka wzrostu PKB w przypadku powrotu do trendu
Źródło: B. Snowdon, H. Vane, P. Wynarczyk, Współczesne nurty teorii
makroekonomii, PWN Warszawa 1998, s.254
W początku lat 80 XX w., między innymi, na skutek rozwinięcia
nowych metod ekonometrycznych, szczególnie analizy VAR (wektorowej
autoregresji) i testów przeprowadzonych przy ich pomocy, zaniechano
wyjaśniania fluktuacji ogólnogospodarczych w sposób zaproponowany przez
Lucasa. Nie negowano jednak go całkowicie. Wykazano jednak, że krótkotrwałe
zjawiska pieniężne jedynie w niewielkim stopniu wyjaśniają zmienność
18
produkcji. Odrzucono również założenie o liniowości trendu w zjawiskach
makroekonomicznych. Testy empiryczne przeprowadzone przez Nelsona i
Plossera14 wykazały że w dynamice większości szeregów czasowych występuje
proces błądzenia losowego z dryfem. Co można przedstawić formalnie:
yt = µ + yt −1 + ε t ;
(2)
gdzie:
µ - to stał reprezentująca dryf; µ >0
Zatem jednorazowe zmiany ścieżki wzrostu powodują jej trwałe
odkształcenie. Zmiany mają charakter realny (podażowy), a nie monetarny czy
popytowy. Przedstawia to rysunek 2.
Rysunek 2. Ścieżka wzrostu PKB w przypadku trwałego wpływu wstrząsu
Źródło: B. Snowdon, H. Vane, P.Wynarczyk, Współczesne nurty teorii
makroekonomii, PWN Warszawa 1998, s.255
Wyjaśnienia Lucasa, podbudowane wiarą w sprawczą rolę czynników
monetarnych i(lub) popytowych powodujących fluktuacje ogólnogospodarcze,
zostały zaniechane na rzecz szkoły realnego cyklu koniunkturalnego (RBC).
W przypadku występowania dryfu w badanym szeregu utrudnione staje
opisanie zjawiska przy pomocy trendu liniowego, ponieważ podlega on zmianom
w czasie. Standardowa procedura w prowadzona przez RBC polega na
wyznaczeniu trendu stochastycznego i traktowania odchyleń od niego jako
komponentu cyklicznego. Trend jest „gładką” krzywą, znajdowaną przy pomocy
14
por. C.R. Nelson, C.I. Plosser, Trends and Random Walks in Macroeconomics Time series: Some
Evidence and Implications, Journal of Monetary Economics, September 1982
19
metody będącej formą OLS (klasycznej metody najmniejszych kwadratów).
Minimalizuje się sumę kwadratów odległości od punktów, ale w taki sposób aby
suma drugich różnic wartości trendu nie była zbyt duża. Stosując tę metodę unika
się gwałtownych zmian przebiegu trendu i wyznaczona w ten sposób krzywa jest
relatywnie „gładka”. Procedura ta to filtrowanie HP.
Metoda
Każdy
szereg
danych
obrazujący
przebieg
zjawiska
makroekonomicznego yt jest sumą składników wzrostu g t oraz składnika
cyklicznego ct, gdzie:
yt = g t+ ct,
(3)
t=1,2.......T
Zakłada się, że g t, zmienia się „gładko” w czasie, ct przedstawia odchylenia od g
t, których średnia w długim okresie jest bliska 0. Minimalizacja wyrażenia(4)
pozwala na wyodrębnienie gt.
Min
{ }
g
t
T
t = 1



T
∑
t =1
c
2
t
+ λ
T
∑ [( g
t =1
t
− g
t −1
) − (g
2
t −1
− g
t − 2
)]



(4)
Jedynym elementem powyższego równania, który budzi jakiekolwiek
wątpliwości jest wartości parametru λ . Im wyższą wartość będzie przyjmował
tym „sztywniejszy” będzie trend. Jeśli λ → ∞ rezultaty filtrowania były
identyczne z zastosowaniem trendu liniowego. Dostosowanie jej do
analizowanych szeregów czasowych znacznie podwyższa wartość poznawczą
badania. Autorzy dyskusji dotyczącej wartości λ sugerują, że właściwe
dostosowanie filtra do zmieniającej się częstotliwości obserwacji determinuje
jego skuteczność. Zdecydowana większość badaczy używających filtra HP
korzysta z ustaleń twórców narzędzia sugerujących dla kwartalnych λ =1600.
Argumenty przemawiające taką wartością λ sprowadzają się do następujących
zależności zauważonych przez Hodricka i Prescotta : 5% kwartalne odchylenia od
trendu przekładają się na 8% zmianę (wzrost) trendu. Autorzy filtra pokazali
zatem, że lambda może być interpretowana jako zmiany składnika cyklicznego
podzielone przez wzrost składnika trendu, o ile składnik cykliczny i drugie
różnice trendu są zmiennymi o średniej równej zero i rozkładzie normalnym
zatem: 52/(1/8)2=1600. Jeśli badany szereg ma pierwiastek jednostkowy można
20
skorzystać z sugestii T.C. Millsa15, który proponuje zastosowanie λ z przedziału
(1000 – 1050), jednak niezastosowanie się do tej sugestii nie zmienia istotnie
wyników filtrowania w porównaniu z standardową wartością. Generalnie
ogromną zaletą omawianego narzędzia jest możliwość badania niestacjonarnych
szeregów16.
W przypadku innych częstotliwości obserwacji poglądy wydają się być
znacznie bardziej podzielone. Dla danych rocznych występują następujące
stanowiska co do wartości λ . Po pierwsze należy liniowo dostosować parametr
a co za tym idzie wynosił on będzie dla danych rocznych 400. Jednak najczęściej
stosowanym jest λ = 100, choć wspomniany T.C. Mills sugeruje dobór z
przedziału (5 – 10). Dla szeregów o miesięcznej częstotliwości obserwacji
stosujemy λ =14400. Oczywiście również w tym przypadku występują inne
sugestie, gdzie wartość parametru dochodzi do 160000.
Dlaczego HP?
Autor pragnie przypomnieć, iż tekst ma charakter instruktażowy. Ze
względu na to pozwala sobie na pewne odstępstwa od ogólnie przyjętej formy
artykułu naukowego. Jednym z wyłomów będzie odpowiedź na pytanie
postawione w tytule podpunktu. Mianowicie, w przypadku filtra HP przeważają
zalety. Jest prosty w użyciu, stosowanie sprowadza się do elementarnych operacji
obsługi komputera, nie sprawia problemów w interpretacji, ma wiele, choć
niekiedy krytykowanych, zastosowań. Jednak krytyka skupia się głównie na
nieodpowiednim wykorzystaniu narzędzia a nie na jego generalnej negacji.
Ograniczenia w stosowaniu filtra HP
Najważniejszym podawanym przez autorów ograniczeniem jest długość
szeregu poddawanego filtrowaniu. Ze względu na charakter fluktuacji
makroekonomicznych oraz mechaniki narzędzia minimalna zalecana ilość
obserwacji wynosi 32, co dla danych kwartalnych jest bliskie klasycznemu
podejściu do cyklu koniunkturalnego. Zaleca się również przygotowanie
szeregów do badania poprzez oczyszczenie ich ze składnika sezonowego.
Niezastosowanie się do tej uwagi może dosyć poważnie zakłócić efekty
filtrowania. Nie zaleca się również stosowania filtra jako metody w
prognozowaniu. Literatura prezentuje próby modyfikacji filtra mające na celu
przystosowanie go do zadań prognostycznych. Jednak ogólna konkluzja
wypływająca z tego typu badań wskazuje na zdecydowanie lepsze efekty
15
T.C. Mills, Modelling Trends and Cycles in Economic Time Series, Palgrave Macmillan, 2003, s.95
E.C. Prescott, Theory ahead of business cycle measurement, Federal Reserve Bank of Minneapolis
Quarterly Review, 1986, s.2
16
21
przewidywań w przypadku metod stricte prognostycznych, chociażby ARIMA,
niż filtra HP.
Zastosowania
Oprócz zaproponowanych przez autorów i omówionych w części
teoretycznej w literaturze można odnaleźć inne zastosowania omawianego
narzędzia. Autor użył filtr HP w szacowaniu potencjalnego PKB. W badaniu tym
zakłada się, że linia trendu HP pokazuje potencjalny poziom PKB. Odchylenia
powyżej linii trendu reprezentują pozytywną lukę, natomiast te poniżej linii
trendu przedstawiają negatywną lukę w PKB. Efekty znajdują się na rysunku 3,
gdzie przedstawiono szereg PKB Polski w latach 1995 –2003. Szereg został
oczyszczony z sezonowości metodą Census II / X – 11 oraz urealniono CPI.
11,2
11,15
11,1
11,05
Y
11
Yhp
10,95
I
II
III IV I
1995
II
III IV
1996
I
II
III IV
1997
I
II III IV
1998
I
II III IV
1999
I
II III IV
2000
I
II
III IV
2001
I
II
III IV I
2002
II
III IV
2003
Rysunek 3. Luka PKB wyznaczona przy pomocy filtra HP
Źródło: J. Gazda, B. Godziszewski, OUTPUT GAP IN POLISH ECONOMY, (w
druku)
Ćwiczenie 1
1. Kwartalne obserwacje urealnionego (2000=100) i oczyszczonego
sezonowo produktu krajowego brutto Stanów Zjednoczonych 1955:I – 2004:I
należy odnaleźć na stronie http://www.stlouisfed.org/. Niezbędne do korzystania
z bazy danych jest zalogowanie. Procedura logowania opisana jest na powyższej
stronie.
22
2. Plik zapisany jest w formacie *.xls, zatem może zostać otwarty w
każdym pakiecie biurowym (w ćwiczeniu opisany jest sposób postępowania dla
Word 2000). Po otwarciu pliku proszę zaznaczyć, ze względu na ograniczenia
wersji niekomercyjnej, do 200 obserwacji, przekopiować tak zaznaczony szereg
w ramach jednego dokumentu. W menu edycja wybrać opcję zamień a następnie
wszystkie przecinki zamienić na kropki - jest to wymóg programu PC-GIVE. W
ćwiczeniu zaznaczono szereg 1975:1 - 1984:1
3. Kolejnym krokiem jest otwarcie programu PC-GIVE. W górnym
pasku należy wybrać file – new – database. W okienku frequency w zależności od
częstotliwości posiadanych danych wybieramy odpowiednią opcję.
4. Po wykonaniu kroków z pkt.3 pojawią się kolumny, w które należy
wkleić wcześniej przygotowane dane. Następnie na pasku ikon wybieramy
kalkulator – funkcje – smooth_hp. W górnej części kalkulatora pojawi się:
smooth_hp (VAR,LAMBDA,VAR_DEST), gdzie: VAR – oznacza zmienną
poddawaną filtrowaniu, LAMBDA – to wartość parametru λ , VAR_DEST –
reprezentuje docelowy szereg, w którym zapisane będą dane reprezentujące trend
HP. Po naciśnięciu klawisza ENTER pojawi się okienko Destination name, gdzie
ponownie wpisujemy nazwę, którą użyliśmy dla VAR_DEST. Należy zwrócić
szczególną uwagę na zapis oraz wielkość liter. Jakiekolwiek błędy mogą
uniemożliwić przeprowadzenie badania. W badaniu przyjęto λ - 1600. Efekt
powyższego ćwiczenia widoczne są na rysunku 4.
23
67
62
57
52
47
PKB
PKB_HP
42
83
19
82
19
81
19
80
19
79
19
78
19
77
19
76
19
75
19
19
75
37
Rysunek 4. Kwartalne PKB realne (2000=100), oraz trend HP, Stany
Zjednoczone 1975:1 – 1984:1
Źródło: Opracowanie własne
Ćwiczenie 2
Ze względu na charakter szeregu użytego w ćwiczeniu 1, trend HP w
dużych fragmentach przebiegu pokrywa się z danymi oryginalnych. Dla
porównania rysunek 5 przedstawia wahania stopy bezrobocia w Stanach
zjednoczonych w okresie od 1948:1 do 1963:12. Posługując się wskazówkami z
ćwiczenia 1 proszę wykonać powyższe badanie.
24
7,3
6,3
5,3
4,3
St. Bez.
St. Bez_HP
Liniowy (St. Bez.)
3,3
1957
1948
2,3
Rysunek 5.Miesięczne wahania stopy bezrobocia w Stanach
Zjednoczonych 1948:1 - 1963:12
Źródło: Opracowanie własne
Pomimo usunięcia składnika sezonowego szereg ten wykazuje znaczne
wahania. Dla porównania uzupełniono wykres o trend liniowy. Bezdyskusyjnie
widoczne jest lepsze dopasowanie trendu HP, niż liniowego do danych
rzeczywistych.
Literatura:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Gazda J., Godziszewsk B., OUTPUT GAP IN POLISH ECONOMY, (w
druku)
Hodrick R. J, Prescott E.C., Postwar US business cycles: An empirical
investigation, Journal of Money, Credit and Banking 29(1), February,
1997
Kruszka M., Wyodrębnianie wahań cyklicznych, Warsztaty
Makroekonometryczne, AE Poznań 2002
Kydland F.E., Prescott E.C., Time to Build and Aggregate Fluctuations,
Econometrica, 50(6),November, 1982
Kydland F.E., Prescott E.C., Business Cycle: Real Facts and Monethary
Myth, Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review, Spring
1990.
Nelson C.R., Plosser C.I., Trends and Random Walks in
Macroeconomics Time series: Some Evidence and Implications, Journal
25
of Monetary Economics, September 1982
Prescott E.C., Theory ahead of business cycle measurement, Federal
Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review, 1986
8. Ravn M.O, Uhlig H., On Adjusting the HP – filter for the frequency of
Observations,
9. Room M., Potential Output Estimates for Central and East European
Countries Using Production Function Method, Eesti Pank, Tallinn 2001
10. Snowdon B., Vane H., Wynarczyk P., Współczesne nurty teorii
makroekonomii, PWN Warszawa 1998
7.
26
Dr Michał Kruszka
Akademia Ekonomiczna w Poznaniu
Elastyczność popytu i podaży
(ujęcie algebraiczne i graficzne)
Uwagi wstępne
Analiza elastyczności popytu i podaży stanowi obowiązkowy element
podstawowego kursu mikroekonomii. Niestety, często sprawia ona studentom
znaczną trudność, a niemal powszechne jest niedostrzeganie związków pomiędzy
poszczególnymi rodzajami elastyczności popytu. W niniejszej pracy
przedstawiono proste narzędzia, zarówno algebraiczne, jak i graficzne, które
mogą pomóc w dokładniejszym zrozumieniu i interpretacji elastyczności. Autor
ma nadzieję, że ich zastosowanie znacznie ułatwi przyswajanie zagadnień
mikroekonomicznych.
Elastyczność cenowa popytu
Prawo popytu jest tak kardynalną prawidłowością, iż nawet
początkujący studenci ekonomii potrafią je intuicyjnie zrozumieć. Oczywiście
studencką intuicję należy wzbogacić o wiedzę dotyczącą choćby istoty warunku
ceteris paribus, a w dalszej kolejności pojawia się problem znalezienia związku
między malejącą użytecznością krańcową, a zachowaniem się konsumenta
postępującego zgodnie z prawem popytu.
Jeśli jednak trzymać się literalnie brzmienia tego prawa i zadać pytanie:
co stanie się z ilością kupowanych paczek papierosów, rowerów górskich i
telewizorów w przypadku wzrostu ich ceny o 20 złotych (ceteris paribus), to
odpowiedź nasuwa się sama – ilość kupowanych dóbr spadnie. W tym miejscu
pojawia się jednak następne pytanie: czy w każdym przypadku spadek ilości
będzie taki sam? Oczywiście, że nie, choć bezwzględna zmiana ceny była taka
sama – zawsze 20 złotych. Ten przykład wyjaśnia znaczenie umiejętności analizy
elastyczności jako miary reakcji ilości popytu na zmiany ceny lub innej
determinanty, o ile zmiany te dają się kwantyfikować. W związku z tym definicję
elastyczności cenowej (Ep)stanowi wyrażenie:
% ∆QDX
Ep =
(1)
;
% ∆PX
– ilość popytu na dobro X;
gdzie: QDX
PX
– cena dobra X.
Wzór (1) można zapisać w inny sposób:
27
∆QDX
Q
∆QDX PX 1 ∆QDX PX 1
=
;
(2)
E p = DX 1 =
∆PX
QDX 1 ∆PX
∆PX QDX 1
PX 1
– początkowa ilość popytu na dobro X;
gdzie: QDX1
PX1
– początkowa cena dobra X.
Stosując podstawy rachunku różniczkowego można wreszcie uzyskać postać:
dQDX PX 1
P
(3)
= QDX ' ( PX ) X 1 ;
Ep =
dPX QDX 1
QDX 1
gdzie: QDX’(PX) – wartość pochodnej z funkcji popytu17, w której cena dobra
X jest argumentem.
Ostatnie wyrażenie jest uniwersalnym narzędziem algebraicznego
pomiaru elastyczności cenowej popytu, jednakże warunkiem jego zastosowania
jest dysponowanie matematycznym zapisem równania popytu. Dla przykładu
można posłużyć się funkcją liniową. Utrzymując w mocy ekonomiczną
konwencję zapisu ceny na osi rzędnych, a ilości popytu na osi odciętych, funkcja
ma postać:
(4)
PX = aQDX + b.
Relacja (3) wymaga jednak, by argumentem była cena, zatem funkcję (4)
należy zapisać jako:
QDX =
(5)
Wówczas QDX’(PX) =
1
b
PX – .
a
a
1
, natomiast elastyczność cenowa to:
a
PX 1
1 PX 1
=
.
a QDX 1 PX 1 − b
Współczynnik b informuje o miejscu zaczepienia linii popytu na osi
rzędnych, jest więc miarą wskazującą na maksymalny poziom ceny. W związku z
tym wyrażenie PX1 – b jest mniejsze od zera, a zatem EP < 0. Szczególne wypadki
zachodzą w sytuacji, gdy PX1 = 0, a wówczas EP = 0 oraz, gdy PX1 = b, a wtedy
EP = – ∞. Formułę (6) można z powodzeniem stosować również do badania
łukowej elastyczności cenowej, tyle że wówczas zamiast początkowej ceny PX1
należy podstawić średnią arytmetyczną z początkowej i końcowej ceny.
(6)
Ep =
17
W literaturze przedmiotu można spotkać opinie, iż tylko funkcja o ogólnej postaci QDX = f (PX)
może być nazywana funkcją popytu, natomiast zależność PX = f1 (QDX) należy określić mianem
odwróconej funkcji popytu. Zob. H. L. Varian, Mikroekonomia. Kurs średni. Ujęcie nowoczesne,
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 129.
28
ĆWICZENIE 1
Odwrócona funkcja popytu ma postać PX = -4QDX + 100.
a) Określ elastyczność cenową popytu przy cenie równej 80
b) Określ elastyczność cenową popytu przy ilości równej 10
c) Określ łukową elastyczność cenową popytu przy zmianie ceny z 40 do
50.
ROZWIĄZANIE
Ad a) Chcąc zastosować wzór (3) trzeba wyjściową funkcję doprowadzić do
1
postaci QDX = - PX + 25. Jeśli PX1= 80, to QDX1= 5. Zatem
4
P
1 80
E p = QDX ' ( PX ) X 1 = − ×
= −4 .
QDX 1
4 5
Znacznie łatwiej jest jednak wykorzystać formułę (6). Wyraz wolny wyjściowej
PX 1
80
80
funkcji, czyli b, wynosi 100. Zatem: E p =
=
=
= −4 .
PX 1 − b 80 − 100 − 20
Otrzymany wynik należy odpowiednio zinterpretować. Ponieważ bezwzględna
wartość współczynnika elastyczności cenowej popytu jest większa od jeden, to
popyt okazuje się być względnie elastyczny. Interpretacja uzyskanej wartości
−4
( E p = −4 ) będzie prostsza, gdy zapisze się ją jako E p =
i skorzysta z
1
definicji (1). Wówczas widoczne staje się, iż wzrost ceny o 1 % wiązał się ze
spadkiem ilości popytu o 4 %. Tym samym ujawnia się relatywnie silna reakcja
konsumentów na zmiany ceny badanego dobra. Wystarczyła bowiem podwyżka
wynosząca zaledwie 1 %, a ilość nabywanych dóbr spadła o 4 %. Jeśli
utrzymamy w mocy wartość Ep, natomiast przyjmiemy, że cena wzrasta o 10 %,
to wówczas jeszcze łatwiej zauważyć jak mocno „czuli” na ceny są nabywcy,
gdyż tym razem spadek ilości popytu wyniesie aż 40 %.
Pamiętając o tym, że przychód całkowity (TR) jest iloczynem ceny i
ilości popytu, zrozumiałe staje się, iż w przypadku popytu elastycznego
podwyższanie ceny doprowadzi do spadku wartości utargu. O ile bowiem wyższa
cena zapewnia większy jednostkowy wpływ ze sprzedaży, o tyle silnie spadająca
ilość powoduje utratę korzyści ze wzrostu P, jak również pojawienie się
dodatkowego spadku TR. Stwierdzenie to bazuje na wartości Ep, która dowodzi,
iż zmiany QDX i PX mają się jak – 4:1. Oczywiście rozumowanie można odwrócić
i spojrzeć na problem TR od strony obniżki ceny. Wówczas jednostkowy utarg
jest mniejszy, ale z nawiązką rekompensuje to wzrost ilości sprzedaży.
Zatem pomiar Ep pozwala na podejmowanie decyzji w sprawie polityki
29
cenowej, o ile kryterium decyzji jest maksymalizacji przychodów całkowitych18.
Przypadek omawiany w tym zadaniu wskazuje na to, że popyt jest względnie
elastyczny, a zatem drogą do zwiększania TR jest obniżanie ceny.
Ad
b) Jeśli QDX1= 10, to PX1= 60. W związku z tym
PX 1
60
60
3
=
=
=− .
Ep =
PX 1 − b 60 − 100 − 40
2
I tym razem popyt jest elastyczny, gdyż (pomijając znak) Ep jest większa od
jeden. Jednakże teraz wzrost ceny o 2 % wywoła tylko 3 % spadek ilości popytu,
zatem popyt jest już mniej elastyczny niż w przypadku z poprzedniego podpunktu
ćwiczenia. Oznacza to wyczerpywanie się możliwości zwiększania przychodów
całkowitych poprzez obniżki ceny.
Ad c) Jeśli PX1= 40, a PX2= 50, to średnia cena PX = 45. Wówczas łukowa
PX
45
45
9
=
=
=− .
PX − b 45 − 100 − 55
11
W tym przypadku bezwzględna wartość Ep jest mniejsza od jeden, a
więc popyt jest względnie nieelastyczny lub względnie sztywny. Wzrost ceny o
11 % skojarzony będzie ze spadkiem ilości popytu tylko o 9 %. Oznacza to
względną „nieczułość” nabywców na zmiany ceny, a więc możliwość wzrostu TR
poprzez podwyższanie ceny.
elastyczność popytu wynosi E p =
Wzór (6) daje podstawę do błyskawicznego porównywania wartości
elastyczności cenowej popytu przy danej wysokości ceny. Okazuje się bowiem,
że krzywa wyżej zaczepiona na osi rzędnych (a więc z większym
współczynnikiem b) charakteryzuje się mniejszą, co do bezwzględnej wartości,
elastycznością cenową popytu.
18
Elastyczność cenowa jest też bardzo pomocna w podejmowaniu decyzji o maksymalizacji zysku.
Racjonalnie działające przedsiębiorstwo powinno wówczas prowadzić politykę cenową bazującą na
optymalnym narzucie na koszt krańcowy. Narzut ten jest odwrotnie proporcjonalny do bezwzględnej
wartości z Ep. Tego rodzaju tematyka wymaga jednak wyjaśnienia zagadnień związanych z
warunkiem maksymalizacji zysku i zależnością między przebiegiem krzywej popytu a stopniem
konkurencyjności rynku. W związku z tym pominięto ją w niniejszym opracowaniu, gdyż znacząco
wykracza poza zakreślone pole badawcze. Czytelnik może zapoznać się z regułą narzutu na koszt
krańcowy w :W. F. Samuelason, S. G. Marks, ekonomia menedżerska, PWE, Warszawa 1998, s. 123
– 126.
30
ĆWICZENIE 219
Uszereguj krzywe z rysunku 1 według elastyczności cenowej popytu określanej
dla ceny P1.
ROZWIĄZANIE
Stosując wzór (6) można natychmiast zauważyć, że w tym przypadku
PX1=P1, a więc jest to wielkość stała dla wszystkich krzywych. W związku z tym
o wartości elastyczności cenowej decyduje parametr b, czyli miara wskazująca na
miejsce zaczepienia krzywej popytu na osi rzędnych. Najniżej na tej osi jest
umieszczona krzywa D1, a więc charakteryzuje się ona największą bezwzględną
wartością elastyczności cenowej liczonej dla P1. Mniej elastyczny jest popyt
zilustrowany krzywą D2, a jeszcze mniejsza wartość Epprzypada na krzywą D3,
choć ma ona takie same nachylenie co linia D1. Dzięki temu jasne się staje, że
elastyczność nie jest tożsama z nachyleniem krzywej. Linia D4 ma z kolei ten sam
poziom elastyczności cenowej, to krzywa D3, co wynika z faktu wspólnego
zaczepienia na osi ceny.
P
D2
P1
D3
D4
D1
Q
Rysunek 1. Elastyczność cenowa dla różnych krzywych popytu
Źródło: opracowanie własne na podstawie M. Nieswiadomy, A Note of
Comparing the Elasticities of Demand Curves, Journal of Economic Education,
Spring 1986, s. 126
Stosując rozumowanie zawarte w rozwiązaniu ćwiczenia 2 można
dokonać korekty często spotykanego uchybienia logicznego w prezentacji
dyskryminacji cenowej trzeciego stopnia. Maksymalizacja zysku przez
monopolistę stosującego tego rodzaju politykę cenową wymaga zrównania
wartości kosztu krańcowego z wartością przychodu krańcowego każdego z
segmentów rynkowych. Ponieważ wartość przychodu ze sprzedaży dodatkowej
19
Ćwiczenie oparto na uwagach zamieszczonych w: M. Nieswiadomy, A Note of Comparing the
Elasticities of Demand Curves, Journal of Economic Education, Spring 1986, s. 125 – 126.
31
jednostki produktu można wyrazić jako:
1
);
(7)
MR = P(1+
Ep
gdzie:
MR
– przychód krańcowy,
zrównanie wartości tych przychodów wymaga, aby:
(8)
P1(1+
1
1
) = P2(1+
).
E p1
E p2
Jeżeli P1 ma być większe od P2, to równanie (8) będzie spełnione tylko
wówczas, gdy Ep1< Ep2, czyli monopolista sprzedaje swoje produkty drożej,
na tym z segmentów, który charakteryzuje się mniejszą elastycznością cenową
popytu20.
Takie postawienie sprawy oznacza traktowanie elastyczności jako
parametru, podczas gdy jest to wielkość podlegająca zmianom. Stwierdzenie, że
Ep1< Ep2niczego nie wyjaśnia, gdyż z założenia chodziło o zróżnicowanie
cen, a jeśli elastyczność zależy od wysokości ceny, a tak jest, to zróżnicowanie
elastyczności jest tautologią.
Pomocne jest jednak sięgnięcie do wzoru (6), przy założeniu, że
segmentowe odwrócone funkcje popytu są liniowe, tj. P1 = a1Q1 + b1 i P2=a2Q2
+ b2. Dodatkowo zastrzegamy, że b2 > b1, a więc dla każdego poziomu ceny
popyt drugiego segmentu jest mniej elastyczny w porównaniu z popytem
pierwszego segmentu. Przemnażając funkcje ceny przez ilość popytu uzyskać
można relacje opisujące przychód całkowity, a obliczając ich pochodne
względem ilości otrzymuje się funkcje przychodów krańcowych:
(9)
MR1 = 2a1Q1 + b1;
(10)
MR2 = 2a2Q2 + b2.
Przyjmijmy, że wartość kosztu krańcowego całego rynku zrównana z
wartością przychodu krańcowego całego rynku (będącego sumą MR1 i MR2)
wynosi c. Maksymalizacja zysku wymaga wówczas, by MR1 = c i MR2 = c. W
efekcie:
(11)
(12)
(13)
20
c − b1
;
2a1
c − b2
Q2 =
.
2a2
Podstawiając te ilości do odpowiednich funkcji popytu otrzymujemy:
Q1 =
P1 =
c + b1
;
2
Zob. E. Czarny, E. Nojszewska, Mikroekonomia, PWE, Warszawa 2000, s. 162.
32
c + b2
.
2
Pamiętając o zastrzeżeniu, iż b2 > b1 jednoznacznie otrzymuje się wynik
wskazujący, że P2 > P1. Ponieważ zależność (6) pokazuje, że popyt na drugim
segmencie jest mniej elastyczny, niż na pierwszym, udaje się dowieść, że
monopol stosujący dyskryminację trzeciego stopnia sprzedaje tam swoje
produkty po wyższych cenach. Równocześnie unika się traktowania elastyczności
jako stałego parametru.
Powyższe uwagi o tym, że elastyczność nie jest parametrem odnoszą się
generalnie do liniowej funkcji popytu. Jednakże zależność (6) wiążącą
elastyczność z miejscem zaczepienia krzywej popytu na osi rzędnych można
także stosować do nieliniowych funkcji. Wówczas jednak należy dokonać
pomiaru elastyczności poprzez narysowanie stycznej do krzywej popytu i
poprowadzenie takiej stycznej do osi cenowej. Reszta rozumowania pozostaje bez
zmian.
Wyjątkiem jest funkcja popytu o ogólnej postaci21:
(15)
QDX = aPXα i α < 0.
Stosując wzór (3) okazuje się, że QDX’(PX)= α aPXα -1, a wtedy:
(14)
P2 =
P
αaPX α
PX 1
= αaPX α −1 X α =
=α .
QDX 1
aPX
aPX α
W przypadku takiej funkcji elastyczność cenowa jest więc parametrem α.
(16)
E p = QDX ' ( PX )
Elastyczność cenowa podaży
Ogólna definicja elastyczności cenowej podaży jest niemal taka sama jak
w przypadku elastyczności popytu, oczywiście we wzorze (1) miejsce ilości
popytu zajmuje ilość podaży. Jednakże dosyć często podręczniki do
mikroekonomii poprzestają tylko na przybliżonych metodach graficznego
określenia wartości elastyczności cenowej podaży. Rysunek 2 pokazuje tego
rodzaju podejście.
Ponieważ krzywa S1 wychodzi z początku układu współrzędnych, to
charakteryzuje się jednostkową elastycznością cenową podaży. Krzywa S2
rozpoczyna się na osi rzędnych, więc cenowa elastyczność podaży jest większa
niż 1, natomiast krzywa S3 rozpoczyna się na osi odciętych, a wówczas
elastyczność cenowa podaży jest mniejsza od 1. Dociekliwy student powinien
wówczas zadać pytanie: a skąd to wiadomo?
21
H. L. Varian, Mikroekonomia. Kurs średni. Ujęcie nowoczesne, Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa 1995, s. 288.
33
P
S2
S1
S3
P1
Q
Rysunek 2. Elastyczność cenowa dla różnych krzywych podaży
Źródło: opracowanie własne na podstawie T. Kamińska, B. Kubska –
Maciejewicz, J. Laudańska – Trynka, Teoria podejmowania decyzji przez
podmioty rynkowe. Wybrane problemy z mikroekonomii, Wydawnictwo
Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 1995, s. 37.
Odpowiedź tkwi we wzorze (3). Jeśli krzywa podaży wychodzi z
początku układu współrzędnych i jest prostą, to odwrócona funkcja podaży ma
1
1
postać P = aQS i a > 0. Wówczas QS = P , QS’(P)= , a więc:
a
a
P1
1 P1
E s = QS ' ( P )
=
=1;
(17)
QS 1 a 1 P
1
a
– elastyczność cenowa podaży.
gdzie: Es
Jeszcze szybciej do tego wniosku można dojść pamiętając, że zależność
(3) można przeformułować do postaci (6). W przypadku krzywej S1 wyraz wolny
(b) wynosi 0, a więc zgodnie ze wzorem (6):
P
(18)
Es = 1 = 1 .
P1
Funkcja opisująca krzywą S2 ma dodatni wyraz wolny, więc wyrażenie
P1
Es =
musi być większe od 1, gdyż mianownik jest mniejszy od licznika. W
P1 − b
tym miejscu należy pamiętać, że tym razem parametr b opisuje minimalną cenę,
zatem Es jest liczbą dodatnią dla każdej ceny P1 większej od b.
Jeśli linia podaży wychodzi z osi odciętych, to w odwróconej funkcji
P1
podaży parametr b jest ujemny, a więc wyrażenie Es =
jest tym razem
P1 − b
mniejsze od 1, gdyż mianownik jest większy od licznika. I tym razem trzeba
zauważyć, że Es jest dodatnia, gdyż licznik i mianownik są większe od zera.
34
Ponownie można wspomnieć, iż zależność (6) można stosować do
nieliniowych funkcji podaży, tyle, że b odnosi się wówczas do równania stycznej
do wykresu podaży. Także uwagi o funkcji opisanej równaniem (15), ze stałą
elastycznością cenową, pozostają w mocy, o ile α > 0.
Elastyczność krzyżowa (mieszana) popytu
Graficzna analiza elastyczności cenowej popytu wymaga znajomości
przebiegu krzywej popytu. Dokładniejsze poznanie teorii zachowania się
konsumenta i zasad podejmowania optymalnych wyborów pozwalają prześledzić
zmiany położenia punktu optimum w odpowiedzi na zmiany ceny jednego z dóbr.
W efekcie można skonstruować wykres prezentujący indywidualną krzywą
popytu, a dalej wykres krzywej popytu rynku, dającą podstawę do szacunku Ep .
Ilustracją tego rodzaju analizy jest rysunek 3.
QY
II
I
E1
QX1
E2
QX
QX2
PX
D
S3
PX1
PX2
QX
QX1 QX2
Rysunek 3. Wyprowadzenie indywidualnej krzywej popytu na dobro X.
Źródło: opracowanie własne na podstawie T. Kamińska, op.cit., s. 60.
Przesunięcie linii budżetowej z położenia I do II oznacza spadek ceny dobra X,
ceteris paribus, co można poznać do tym, iż rośnie maksymalna ilość zakupów
dobra X. Wówczas punkt optimum konsumenta przesuwa się z E1do E2.
Przenosząc wielkości optymalnych zakupów QX1 i QX2 na nowy układ
współrzędnych wraz z poziomami ceny PX1 i PX2, a następnie łącząc je w
35
odpowiednie punkty, otrzymuje się krzywą D, pozwalającą już na pomiar Ep,
choćby tak jak na rysunku 1.
Jednakże górny panel rysunku 3 stanowi też znakomitą ilustrację analizy
elastyczności krzyżowej (mieszanej) popytu, definiowanej jako:
% ∆QDY
(19)
;
Ec =
% ∆PX
gdzie: Ec
– elastyczność krzyżowa (mieszana) popytu,
QDY
– wielkość popytu na dobro Y.
W celu uchwycenia wartości Ec należy połączyć punkty optimum E1 i E2, tworząc
krzywą cena - konsumpcja22, tak jak to uczyniono na rysunku 4.
QY
QY2
QY1
QY
a)
II
I
E1
I
E2
QX1
QX2
II
c)
QY1=QY2
QX
II
b)
E1
E2
QX1
QX2
QX
QY
I
QY1
QY2
E1
QX1
E2
QX2
QX
Rysunek 4. Przebieg krzywej cena – konsumpcja w zależności od
elastyczności krzyżowej popytu..
Źródło: opracowanie własne na podstawie T. Kamińska, op.cit., s. 58.
Na panelu a) widać, że spadek ceny dobra X nie tylko wywołał wzrost QX, ale też
QY. Z tego względu w ułamku opisanym wzorem (19) mianownik byłby ujemny,
a licznik dodatni. W efekcie Ec < 0, a więc dodatnio nachylona krzywa cena –
konsumpcja charakteryzuje dobra komplementarne. Tym samym wzrost ceny
jednego z dóbr zostaje skojarzony ze spadkiem ilości konsumpcji drugiego dobra.
22
Niemal w każdym z podręczników do mikroekonomii można spotkać inną nazwę tej krzywej, np.
krzywa oferty cenowej, krzywa ekspansji cenowej, cenowa krzywa konsumpcji itd.
36
Przykładowo, spadek cen samochodów powinien wywołać wzrost ilości
nabywanych samochodów, co jest zgodne z działaniem prawa popytu. Ponieważ
korzystanie z samochodu wymaga jednoczesnego korzystania z opon, a więc są to
dobra komplementarne, to wzrost ilości sprzedanych samochodów wywoła
powiększenie się konsumpcji opon, choć ich cena pozostała bez zmian. W
związku z tym Ec jest mniejsza od 0
Panel b) ilustruje brak reakcji konsumpcji dobra Y (QY1=QY2) na zmiany
ceny dobra X. W tym przypadku licznik wyrażenia (19) równa się zero, podobnie
jak Ec. Zatem krzywa cena – konsumpcja równoległa do osi ilustruje dobra
niezależne.
Wreszcie panel c) pokazuje, iż dobra X i Y są substytucyjne, gdyż spadek
PX wywołał zmniejszenie się QY, a wówczas Ec > 0. Przykładowo, spadek ceny
biletów lotniczych na trasie Warszawa – Londyn, wywołany pojawieniem się
„tanich” przewoźników, wiąże się ze wzrostem ilości osób korzystających z ich
usług. Jest to zgodne z prawem popytu. Inną metodą dotarcia z Warszawy do
Londynu jest skorzystanie z przejazdu autokarowego, a więc obie usługi są dla
siebie substytutami. Wyraźny spadek ceny przelotu należy skojarzyć ze spadkiem
zainteresowania przejazdami, choć ich cena pozostała bez zmian. Wówczas Ec
okazuje się być większą od 0.
Elastyczność dochodowa popytu
Ponownie korzystając z górnego panelu rysunku 3 można też
przeanalizować kształtowanie się elastyczności dochodowej popytu. W tym celu
należy jednak odwołać się do graficznego ujęcia efektu dochodowego i
substytucji w interpretacji J. R. Hicksa.
Przejście od punktu E1 do E2 na rysunku 3 ilustruje efekt całkowity
zmiany ceny dobra X. Jak wcześniej wykazano, na tej podstawie można
prześledzić kształtowanie się Ep i Ec. Jednakże efekt całkowity można też rozbić
na składowe, tj. efekt substytucji i dochodowy – patrz rysunek 5.
Pierwotna linia budżetu I zostaje przesunięta do położenia II, a więc
punkt optimum E1 nie jest możliwy do utrzymania. Gdyby jednak konsument
chciał pozostać na tej samej krzywej obojętności U, a zatem nie zależałoby mu na
zmianie użyteczności, to sytuację optymalną zapewniłby mu dochód ilustrowany
krzywą III i punkt E1’. Przejście od E1 do E1’ to efekt substytucji, natomiast
wpływ efektu dochodowego i przejście na wyższą linię budżetu II zależy od
reakcji ilości popytu na zmianę dochodu, czyli elastyczności dochodowej
definiowanej jako:
% ∆Q X
(20)
;
EI =
% ∆I
gdzie: EI
– elastyczność dochodowa popytu,
I
– dochód.
37
QY
I
II
A
B
C
E1
E1’
U
III
QX1
QX
QX1’
Rysunek 5. Efekt substytucji i dochodowy a elastyczność dochodowa
popytu.
Źródło: opracowanie własne na podstawie J. F. Heavey, A Simple
Geometry of Income Elasticities, Journal of Economic Education, Fall 1994, s.
305.
Na rysunku 5 należy poprowadzić pionową linię (A) przechodzącą przez
pierwotny punkt optimum E1, również pionową linię (B) należy poprowadzić
przez punkt E1’. Przez ten punkt trzeba też poprowadzić półprostą łączącą go z
początkiem układu współrzędnych (C). W ten sposób linia budżetowa II została
podzielona na 4 strefy. Jeśli ostateczny punkt optimum, tj. E2 znajdzie się na lewo
od linii A, to dobro X jest dobrem Giffena. Jeśli E2 położone będzie między linią
A i B, to X jest dobrem podrzędnym, ale nie Giffena. Usytuowanie E2 między
liniami B i C oznacza, że X jest dobrem podstawowym, a E2 na prawo od C
wskazuje na to, że X jest dobrem wyższego rzędu (luksusowym).
Prześledźmy dokładniej te związki:
a)
E2 na lewo od prostej A => linia budżetu jest równolegle przesunięta z
położenia III do II=> dochód wzrósł => we wzorze (20) mianownik jest dodatni.
Dodatkowo QX2 jest na lewo od QX1 => we wzorze (20) licznik jest ujemny => EI
< 0 => dobro jest podrzędne.
Równocześnie
próba
wyprowadzenie
indywidualnej krzywej popyty na dobro X, tak jak na rysunku 3, doprowadziłaby
do powstania krzywej o dodatnim nachyleniu = > dobro X łamie działanie prawa
popytu, a więc jest dobrem Giffena.
b)
E2 między prostymi A i B=> linia budżetu jest równolegle przesunięta z
Dodatkowo QX2 jest na lewo od QX1’ => we wzorze (20) licznik jest ujemny => EI
38
< 0 => dobro jest podrzędne. Równocześnie wyprowadzenie indywidualnej
krzywej popyty na dobro X, tak jak na rysunku 3, doprowadzi do powstania
krzywej o negatywnym nachyleniu, gdyż QX2 > QX1 = > dobro X nie łamie
działania prawa popytu, a więc jest dobrem podrzędnym, ale nie Giffena.
c)
E2 między prostymi B i C=> linia budżetu jest równolegle przesunięta z
Dodatkowo QX2 jest na prawo od QX1’ => we wzorze (20) licznik jest dodatni =>
EI > 0 => dobro jest normalne. Równocześnie dobro X będzie dobrem
podstawowym, jeśli część dochodu wydatkowana na X w punkcie E1’ będzie
większa niż w punkcie E2. Gdyba tak było to:
PX × Q X 1' PX × Q X 2 .
(21)
>
I1
I2
Ponieważ konsument wydaje cały swój dochód, zależność (21) można zapisać
jako:
PX × Q X 1'
PX × Q X 2
(22)
.
>
PX × Q X 1' + PY × QY 1 PX × Q X 2 + PY × QY 2
Linia C może zostać opisana funkcją QY = a1QX, natomiast hipotetyczny promień
łączący punkt E2 z początkiem układu współrzędnych miałby funkcję QY = a2QX.
Zatem w punkcie E1’ ilość dobra Y wynosi a1QX1’, natomiast w punkcie E2 ilość
ta równa jest a2QX2. Inaczej rzecz biorąc:
PX × Q X 1'
PX × Q X 2
(23)
,
>
PX × Q X 1' + PY × a1Q X 1' PX × Q X 2 + PY × a2Q X 2
(24)
( PX × Q X 1' ) × ( PX × Q X 2 + PY × a2Q X 2 ) > ( PX × Q X 2 ) × ( PX × Q X 1' + PY × a1Q X 1' )
(25)
PX2 × QX1’ × QX2+PX × QX1’ × PY × a2QX2 > PX2 × QX1’ × QX2+PX × QX2 × PY × a1QX1’
(26)
PX × QX2+PY × a2QX2 > PX × QX2+PY × a1QX2
(27)
PY × a2QX2 > PY × a1QX2
(28)
a2 > a1
Jeśli E2 leży między liniami B i C to faktycznie a2 jest większe od a1, więc dobro
X bez wątpienia jest dobrem podstawowym.
d)
E2 leży na prawo od linii C – dowód jak w podpunkcie c), tyle że
wówczas a2 < a1, co pokazuje, że X jest dobrem wyższego rzędu.
Modyfikacja rysunku 5 pozwala również na analizę EI w oparciu o
krzywą Engla. Dodatkowo trzeba jednak prześledzić kształtowanie się krzywej
dochód – konsumpcja, łączącej punkty optimum powstałe na skutek zmiany
dochodu, czyli w naszym przypadku punkty E1 i E2.
39
QY
b)
QY
QY2 III
90°
II
E1
a)
E2
QY1
I
I
I2
QX
QX1 QX2
I1
I
c)
I2
I1
d)
I2
I1
QY
QX1 QX2
QY1 QY2
QX
Rysunek 6. Wyprowadzenie krzywej Engla dla dóbr normalnych.
Panel a) rysunku 6 pokazuje krzywą dochód konsumpcja. Przenosząc
dane o optymalnych zakupach dobra X, wraz z wielkością dochodów, na nowy
układ współrzędnych (panel d)) konstruuje się krzywą Engla dla dobra X.
Podobnie można postąpić z ilościami zakupów dobra Y, co pokazuje panel b).
Jego obrót w prawo o 90 stopni daje w efekcie obraz krzywej Engla dla dobra Y.
Jeśli przyjąć, że są to linie proste, to ponownie można zastosować wzór (3), tyle
że w postaci:
(29)
EI =
dQ X I1
I
= QX ' ( I ) 1
dI Q X 1
QX 1
Ponieważ obie krzywe Engla mają dodatnie nachylenie, to QX’(I) > 0, a więc EI >
0, co oznacza, że są to dobra normalne.
Sytuację, gdy jedno z dóbr jest podrzędne prezentuje rysunek 7.
40
QY
b)
QY
a)
E2
90°
QY2
E1
QY1
I
I2
I
II
QX1
I1
III
QX2
I
c)
QX
d)
I2
I2
I1
I1
QY
QY1 QY2
QX2 QX1
QX
Rysunek 7. Wyprowadzenie krzywej Engla dla dobra normalnego i dobra
podrzędnego.
Panel a) i d) pokazują, że dobro X jest podrzędne, gdyż wzrost dochodu
związany jest ze spadkiem optymalnej ilości nabywanych dóbr. Krzywa Engla
ma nachylenie ujemne i dlatego QX’(I) < 0, a więc EI < 0, co potwierdza, że X jest
podrzędnym dobrem. Równocześnie Y jest dobrem normalnym, gdyż wzrastający
dochód nie może jednocześnie wywoływać spadku konsumpcji obu dóbr, gdyż
takie rozumowanie prowadziłoby do absurdu stwierdzającego, że najbardziej
zamożny konsument nabywa najmniej produktów.
Wykorzystanie EI i klasyfikacja konsumowanych dóbr w podziale na
normalne i podrzędne pozwala na prowadzenie odpowiedniej polityki
produktowej w zależności od wahań koniunkturalnych. Wymaga to jednak
zdefiniowania własnej grupy docelowej i zbadania preferencji reprezentatywnych
dla tej grupy jednostek, gdyż traktowanie pewnych dóbr jako normalnych lub
podrzędnych jest indywidualną decyzją konsumenta, która nie zależy od
„obiektywnych” przesłanek.
W okresie pozytywnej koniunktury powinny wzrastać dochody.
Wówczas w ofercie racjonalnie działającego przedsiębiorstwa należy umieścić
dobra normalne, gdyż dodatkowe dochody zwiększą ich konsumpcję, a tym
41
samym przychody sprzedawców. W okresie dekoniunktury dochody nabywców
zmniejszają się. W takiej sytuacji zaoferowanie dóbr podrzędnych ponownie
powiększy przychód ze sprzedaży.
Trochę bardziej skomplikowane jest objaśnienie kształtowania się
elastyczności dochodowej na podstawie nieliniowej krzywej Engla. W tym celu
można posłużyć się przykładem podziału na dobra wyższego rzędu i dobra
podstawowe. W ich przypadku krzywe Engla wyglądają tak jak na rysunku 8.
I
I
a)
b)
QX
QX
Rysunek 8. Krzywe Engla dla dobra podstawowego i wyższego rzędu a
elastyczność dochodowa.
Ponieważ w obu przypadkach nachylenie krzywej Engla jest dodatnie, to
zgodnie z wcześniejszymi wnioskami EI również jest większa od zera.
Zastosować jednak można rozumowanie analogiczne do sytuacji pomiaru
elastyczności cenowej podaży. Należy zatem poprowadzić styczne do krzywej
Engla. Na panelu a) rysunku 8 widoczne jest to, iż linie styczne rozpoczynają się
na osi odciętych. Prowadzi to do wniosku, że elastyczność dochodowa jest
dodatnia, ale mniejsza od jedności (zob. komentarz przy rysunku 2, który to
uzasadnia). W takim przypadku oznacza to dobro podstawowe. Jeśli jednak
styczne do dodatnio nachylonej krzywej Engla przecinać będą oś rzędnych, tak
jak na panelu b) rysunku 8, to elastyczność dochodowa będzie dodatnia i większa
od jedności. Jednoznacznie wskazuje to na dobro wyższego rzędu.
Tego rodzaju podział pozwala na uszczegółowienie zasad prowadzenia
racjonalnej polityki produktowej. Przykładowo, usługi turystyczne są uznawane
za dobra normalne wyższego rzędu. Ponieważ ostatnie lata dowodzą, iż
przeciętny dochód Polaka wzrasta, to dodatnia elastyczność dochodowa oznacza
wzrost konsumpcji usług turystycznych, co zachęca do rozpoczęcia działalności
w tym sektorze. Jednakże 15 lat transformacji pokazało, że zjawisko wahań
koniunkturalnych dotyka także polskie gospodarstwa domowe, powodując
fluktuacje ich dochodów. Tym samym wywołuje to zmiany ilości nabywanych
42
dób. Wysoka (większa od 1) elastyczność dochodowa popytu na usługi
turystyczne oznacza bardzo silną podatność tej branży na zmiany koniunktury, co
stanowi czynnik zwiększający ryzyko działalności w sektorze tustystycznym.
Inaczej ma się rzecz w przypadku żywności. Też jest to dobro normalne,
lecz o niskiej elastyczności dochodowej (0 < EI < 1). W związku z tym wpływ
koniunkturalnych wahań dochodów na konsumpcję jest znacznie zmniejszony.
ĆWICZENIE 3
Przedsiębiorstwo określiło równie opisujące miesięczną ilość popytu na swoje
produkty: Q = 260 – 10P – 2PK + 0,1 I
gdzie: PK - cena dobra związanego z badanym dobrem;
I - przeciętna miesięczna wysokość dochodu w grupie docelowych
nabywców
a) przyjmując, że cena dobra związanego równa jest 200, a przeciętny dochód
nabywcy wynosi 12000, oszacuj i zinterpretuj Ep dla P wynoszącej obecnie 24
b) jeśli badane przedsiębiorstwo nie zmienni swoich cen, a cena dobra
związanego podniesie się do 210, to jaką wartość przyjmie elastyczność
mieszana ? Zinterpretuj wynik.
c) Jak na sprzedaż dobra wpłynie, ceteris paribus, spadek dochodów o 10 % ?
Zinterpretuj wynik.
Ad a) Podstawiając dane do równania opisującego Q otrzymuje się ilość
wynoszącą Q = 260 – 240 – 400 + 1200, czyli Q = 820. Obliczając Ep można
24
24
12
skorzystać z zależności (3). Q’(P) = – 10, a więc Ep = − 10
=−
=− .
820
82
41
Inną drogą jest zagregowanie wartości stałych i oszacowanie funkcji
popytu: Q = 260 – 10P – 400 + 1200 => Q = – 10P + 1060. Odwracając ją
otrzymuje się P = – 0,1Q + 106. Teraz można wykorzystać formułę (6):
24
24
12
Ep =
=−
=− .
24 − 106
82
41
W takim przypadku popyt jest względnie nieelastyczny, wzrost ceny o 41 %
wywoła spadek ilości popytu o 12 %. Przedsiębiorstwo dążąc do wzrostu
przychodu całkowitego może podnieść cenę.
Ad b) W przypadku tego rodzaju problemu można zastosować modyfikację
zależności (3) i w miejsce związków z ceną badanego dobra (P) wprowadzić
związki z ceną innego dobra (PK). Jednakże pamiętać należy, iż w treści zadania
występują dwie ceny dobra związanego: pierwotna – wynosząca 200 oraz
ostateczna, równa 210. W związku z tym, nie dość, że trzeba zmodyfikować wzór
(3), to jeszcze należy go dopasować do pomiaru elastyczności łukowej.
Ostatecznie okazuje się, iż Q’(PK) = – 2. Początkowa wartość
PK =
200 determinuje Q = 820, natomiast nowa wartość PK = 210 oznacza, iż Q =
43
800. Średni poziom ceny dobra związanego wynosi 205, zaś średnia ilość
205
410
41
1
sprzedanych dóbr to 805. Wówczas Ec= − 2
=−
= − ≈ −0,506 ≈ − .
810
810
81
2
Inną drogą jest bezpośrednie odwołanie się do definicji Ec zawartej w
relacji (19). Wzrost ceny dobra związanego z 200 do 210, przy poziomie
odniesienia równym 205 (średnia cena) oznacza wzrost o 4,88 %. Równocześnie
następuje spadek ilości konsumpcji badanego dobra z 820 do 800, a za poziom
odniesienia należy przyjąć średnią ilość sprzedaży wynoszącą 810. Zatem spadek
ilości konsumpcji wyrażony w procentach równy jest
2,47 %. Podstawiając
1
obie wartości do zależności (19) otrzymuje się wynik Ec ≈ – 0,506 ≈ – .
2
W tym przypadku można stwierdzić, że wzrost ceny dobra związanego o
blisko 2 % wywołuje spadek ilości sprzedaży badanego dobra o około 1 % lub też
wzrost ceny dobra związanego o blisko 5 % powoduje spadek ilości konsumpcji
analizowanego produktu o około 2,5 %. Tego rodzaju wynik wskazuje, że
uwzględniane w przykładzie dobra są komplementarne (Ec < 0), lecz związek
komplementarności jest względnie słaby. Z uwagi na tego typu relacje jasne się
staje, iż dobro związane nie jest produktem konkurencyjnym, gdyż oznaczałoby
to związek substytucyjności. Co więcej, komplementarność wobec badanego
produktu może zachęcić producenta pierwotnego dobra do przejęcia
przedsiębiorstwa oferującego dobra związane. Takie postępowanie umożliwia
bowiem zwiększanie globalnych przychodów za pomocą obniżania ceny tylko
jednego z oferowanych dóbr.
Ad c) Rozwiązanie tego przykładu ponownie pozwala na zastosowanie
modyfikacji relacji (3) lub odwołanie się do definicji (20). W obu przypadkach
należy wcześniej obliczyć Q przy pierwotnym i ostatecznym dochodzie, lecz bez
zmian P i PK, co wymusza użycie warunku ceteris paribus. Wynoszą one
odpowiednio 820 i 700. Zatem średnia wartość dochodu to 11400, zaś przeciętna
ilość konsumpcji to 760.
Wykorzystanie zmienionej zależności (3) wymusza obliczenie
Q’(I)
= 0,1.Wówczas
11400 114 3
=
= .
EI = 0,1
760
76 2
Spadek dochodu z 12000 do 10800, przy poziomie odniesienia równym
11400 (średni dochód) oznacza spadek o 10,526 %. Równocześnie następuje
spadek ilości konsumpcji badanego dobra z 820 do 700, a za poziom odniesienia
należy przyjąć średnią ilość sprzedaży wynoszącą 760. Zatem spadek ilości
konsumpcji wyrażony w procentach równy jest 15,789 %. Podstawiając obie
3
wartości do zależności (20) otrzymuje się wynik EI = .
2
44
Niezależnie od zastosowanej metody uzyskuje się ten sam rezultat, który
wskazuje, że analizowane dobro jest normalne, wyższego rzędu, o czym
informuje dodatnia wartość elastyczności dochodowej, która przekroczyła 1.
Zatem wzrost dochodów nabywców o 1 % wywoła wzrost ilości popytu o 1,5 %
lub też wzrost dochodów o 2 % skojarzony będzie ze wzrostem ilości konsumpcji
o 3 %. Tym samym ujawnia się relatywnie silna „procykliczna” czułość
konsumpcji badanego dobra na koniunkturalne zmiany dochodów konsumentów.
Elastyczność popytu i podaży – zestawienie zbiorcze
Wskazane we wcześniejszych partiach narzędzia i metody pomiaru
elastyczności pokazują, że poszczególne współczynniki mogą przybierać różne
wartości. Poniżej zestawiono najistotniejsze przypadki:
a) elastyczność cenowa popytu
Ep = 0 => popyt doskonale sztywny. Linia popytu może być prostopadła do osi
odciętych lub jeśli jest prostą o negatywnym nachyleniu, to badamy punkt
znajdujący się na osi odciętych. Ilość popytu nie zmienia się w reakcji na zmiany
ceny. Przychód całkowity zależy tylko od ceny.
– 1< Ep < 0 => popyt względnie sztywny (względnie nieelastyczny). W
przypadku liniowego popytu o negatywnym nachyleniu badany punkt znajduje
się poniżej połowy krzywej popytu, czyli jest bliżej osi odciętych. Procentowa
zmiana ilości popytu jest mniejsza od procentowej zmiany ceny. Podniesienie
ceny zwiększa przychód całkowity.
Ep = –1 => popyt o jednostkowej elastyczności cenowej. Badany punkt leży na
środku krzywej popytu (o ile jest ona prostą o negatywnym nachyleniu). Ilość
popytu zmienia się o tyle samo procent co cena. Przychód całkowity jest
maksymalny.
– ∞ < Ep < –1 => popyt względnie elastyczny. W przypadku liniowego popytu o
negatywnym nachyleniu badany punkt znajduje się powyżej połowy krzywej
popytu, czyli jest bliżej osi rzędnych. Procentowa zmiana ilości popytu jest
większa od procentowej zmiany ceny. Obniżenie ceny zwiększa przychód
całkowity.
Ep = – ∞ => popyt doskonale elastyczny. Linia popytu może być równoległa do
osi odciętych lub jeśli jest prostą o negatywnym nachyleniu, to badamy punkt
znajdujący się na osi rzędnych. Ilość popytu może się dowolnie zmienić nawet
przy braku zmiany ceny. Przychód całkowity zależy tylko od ilości popytu.
b) elastyczność krzyżowa (mieszana) popytu
Ec > 0 => dobra substytucyjne. Wzrost (spadek) ceny jednego z dóbr wywołuje
wzrost (spadek) ilości konsumpcji drugiego dobra. Siła związku substytucyjności
zależy od wartości Ec. Im większy współczynnik tym bliższe substytuty. W
większości przypadków wystąpienie substytutu można skojarzyć z pojawieniem
45
się konkurencyjnego przedsiębiorstwa.
Ec = 0 => dobra niezależne. Zmiana ceny jednego z dóbr nie wpływa na ilość
konsumpcji drugiego dobra.
Ec < 0 => dobra komplementarne. Wzrost (spadek) ceny jednego z dóbr
wywołuje spadek (wzrost) ilości konsumpcji drugiego dobra. Siła związku
komplementarności zależy od wartości Ec. Im mniejszy współczynnik tym dobra
są ściślej komplementarne.
c) elastyczność dochodowa popytu
1 > EI > 0 => dobra normalne i podstawowe. Wzrost dochodu wywołuje wzrost
ilości konsumpcji, ale procentowa zmiana ilości jest mniejsza od procentowej
zmiany dochodów. Konsumpcja takich dóbr jest procyklicznie związana z
koniunkturalnymi zmianami dochodów, ale czułość konsumentów na fluktuacje
zarobków jest niewielka.
EI > 1 => dobra normalne i wyższego rzędu (luksusowe). Wzrost dochodu
wywołuje wzrost ilości konsumpcji, a procentowa zmiana ilości jest większa od
procentowej zmiany dochodów. Konsumpcja takich dóbr jest procyklicznie
związana z koniunkturalnymi zmianami dochodów i konsumenci są wysoce czuli
na fluktuacje zarobków.
EI < 0 => dobra podrzędne. Wzrost dochodu wywołuje spadek ilości konsumpcji.
Konsumpcja takich dóbr jest antycyklicznie związana z koniunkturalnymi
zmianami dochodów.
d) elastyczność cenowa podaży
Es > 1 => podaż względnie elastyczna. Prosta podaży zaczyna swój przebieg na
osi rzędnych. Jednoprocentowy wzrost ceny wywołuje ponad jednoprocentowy
wzrost ilości podaży – producenci są czuli na zmiany ceny.
Es = 1 => podaż o jednostkowej elastyczności cenowej. Prosta podaży zaczyna
swój przebieg w początku układu współrzędnych. Jednoprocentowy wzrost ceny
wywołuje jednoprocentowy wzrost ilości podaży.
Es < 1 => podaż względnie nieelastyczna. Prosta podaży zaczyna swój przebieg
na osi odciętych. Jednoprocentowy wzrost ceny wywołuje mniej niż
jednoprocentowy wzrost ilości podaży – producenci są mało czuli na zmiany
ceny.
46
Uwagi końcowe
Znajomość zasad podejmowania optymalnego wyboru przez konsumenta
okazuje się mieć kardynalne znaczenie w zrozumieniu kształtowania się
elastyczności popytu. Operowanie krzywymi obojętności i liniami budżetu
pozwala na wyprowadzenie pomocniczych diagramów uświadamiających jak
ilość popytu zareaguje na zmiany swoich determinant. Równocześnie proste
operacje algebraiczne dają podstawę do precyzyjnego pomiaru elastyczności,
uzupełniając w ten sposób wnioskowanie ekonomiczne.
Przedstawione w niniejszej pracy rozwiązania są w oczach autora skutecznymi
narzędziami pomagającymi w lepszym zrozumieniu istoty elastyczności, tak
popytu, jak i podaży.
47
48
Marek Kunasz
Uniwersytet Szczeciński
Wykorzystanie technik multimedialnych do
interaktywnej prezentacji zagadnień ekonomicznych
(na przykładzie teorii wyboru firmy)
W trakcie zajęć z przedmiotu „Mikroekonomia” podczas studiowania
zagadnień z zakresu teorii wyboru firmy student musi poznać nawet do 16
wskaźników:
• produkt:
• TP – produkt całkowity,
• AP – produkt przeciętny,
• MP – produkt marginalny.
• przychód (utarg):
• TR – przychód całkowity,
• AR – przychód przeciętny,
• MR – przychód marginalny.
• koszt:
•
TC – koszt całkowity,
•
TVC – całkowity koszt zmienny,
•
TFC – całkowity koszt stały,
•
ATC – przeciętny koszt całkowity,
•
AVC – przeciętny koszt zmienny,
•
AFC – przeciętny koszt stały,
•
MC – koszt marginalny.
• zysk:
• Π – zysk całkowity,
• Πj – zysk jednostkowy,
• MΠ – zysk marginalny.
Wskaźniki te można ująć w dwóch wymiarach:
• kategoria ekonomiczna: produkt, przychód, koszt całkowity, zmienny i stały,
zysk,
• rodzaj: całkowity, przeciętny, marginalny.
Tabela i wykres prezentują wzory wykorzystywane do obliczania
analizowanych wskaźników a także ilustrację graficzną zmian wybranych
wskaźników.
49
Tabela 1. Wzory wykorzystywane do obliczania analizowanych
wskaźników
całkowity
TP – funkcja prod
produkt
TR=p*q
przychód
TC=TVC+TFC
koszt całk.
TVC=TC-TFC
k. zmienny
TFC=TC-TVC
k. stały
zysk
Π = TR-TC
przeciętny
AP=TP/L
AR=TR/Q
ATC=TC/Q
AVC=TVC/Q
AFC=TFC/Q
Πj = Π/Q
1600
140
1400
120
1200
TP
1000
100
800
80
600
60
400
40
200
20
0
TC
TVC
TFC
0
0
2
4
6
8
10
400
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
MC
30
0
-200 0
0
35
AP
200
-400
marginalny
MP=∆TP/∆L
MR=∆TR/∆Q
MC=∆TC/∆Q
MΠ = ∆Π/∆Q
25
2
4
6
8
10
MP
20
ATC
15
-600
10
-800
5
-1000
0
AVC
AFC
0
1
2
3
4
5
6
7
Wykres 1. Ilustracja graficzna zmian wybranych wskaźników
50
8
9
10
Artykuł prezentuje przykład wzbogacenia prezentacji multimedialnej z
omawianego zakresu tematycznego rozwiązaniami aplikacyjnymi. Wykładowcy
zazwyczaj ograniczają się do wykorzystywania rozwiązań oferowanych w
programie MS PowerPoint, jednakże technologia multimedialna stwarza dziś
dużo większe możliwości interakcji, a co za tym idzie aktywizacji a także
zwiększenia współuczestnictwa studentów w procesie transferu wiedzy.
Przedstawiana aplikacja została przygotowana w arkuszu kalkulacyjnym
MSExcel. W ramach prezentacji przygotowanej w MS PowerPoint w
odpowiednich miejscach wbudowano hiperłącza do aplikacji, która stwarza
możliwość jednoczesnej obserwacji danych liczbowych i ich ilustracji w postaci
graficznej (wykresy). Integralnym i zarazem komplementarnym źródłem
przekazu edukacyjnego są przygotowane dla potrzeb projektu materiały w formie
tradycyjnej (papierowej). Istnieje zatem możliwość jednoczesnej prezentacji
danych w materiałach oraz za pośrednictwem projektora multimedialnego. Przy
czym każde medium może prezentować inne treści w zależności od bieżących
potrzeb wykładu. Aplikacja pozwala bowiem na odseparowanie np. wybranych
wykresów czy szeregów danych. Prowadzący zajęcia może dopasowywać
ilustrację do koncepcji, nie jest ograniczony sztywno tym co zostało
zgromadzone na kartce papieru. Może w dowolnym momencie jeden wykres czy
zestaw danych zlikwidować, natomiast inny dołączyć w zależności od bieżącej
koncepcji. Można zatem kreować praktycznie w czasie rzeczywistym przekaz
właściwie „bez ograniczeń” jakie stwarzają metody tradycyjne, choć także i inne
metody elektroniczne (np. prezentacja, która nie może być korygowana i
zmieniana w trakcie wykładu, a przynajmniej taka zmiana „w locie” wygląda
bardzo nieprofesjonalnie).
Proces nie ogranicza się do obliczania kolejnych wskaźników. W trakcie
jego trwania można także prezentować szereg zagadnień powiązanych, które
można zilustrować separując jedynie wykresy tych krzywych, które powiązane ze
sobą ilustrują szereg innych zagadnień. Dysponując danymi algebraicznymi łatwo
można „dopasować” krzywe do danych i na tej podstawie określić, którą krzywą
opisywane są dane wskaźniki. Do wniosków tych student może dojść sam na
bazie danych, co będzie zapewne dla niego źródłem ogromnej satysfakcji
poznawczej.
Przykładami zagadnień powiązanych (wynikających ze współzależności
pomiędzy poszczególnymi wskaźnikami), które można zilustrować za
pośrednictwem opisywanej aplikacji są:
• fazy prawa nieproporcjonalnych przychodów,
• związki pomiędzy produkcyjnością firmy a kosztami produkcji
51
•
•
•
•
(MCmin=MPmax, AVCmin=APmax),
optimum techniczne i ekonomiczne,
korzyści i niekorzyści skali,
analiza progu rentowności,
analiza marginalna.
Proces pracy z aplikacją przebiega według następującego algorytmu:
Wprowadzenie, grupowanie wskaźników
Podział studentów na grupy
Wprowadzenie do analizowanej grupy wskaźników (np. TP,MP,AP)
Analiza poszczególnych wskaźników w grupie według następującego
algorytmu:
Przedstawienie wzoru
Obliczanie wartości wskaźnika
Wyświetlenie przez prowadzącego prawidłowych i porównanie
wyników
Komentarz prowadzącego
(wskazanie prawidłowości np. charakter rosnący krzywej, osiągnięcie
ekstremum)
Przejście do obliczania kolejnego wskaźnika
Przyporządkowanie nazw krzywych do odpowiednich wykresów
Wskazanie współzależności zachodzących pomiędzy krzywymi (np.
fazy prawa nieproporcjonalnych przychodów)
Przejście do następnej grupy wskaźników
Rysunek 1. Algorytm pracy z aplikacją
52
Autor, na bazie własnych doświadczeń, twierdzi, iż metoda ta sprawdza
się również w sytuacji, gdy np. projektor multimedialny jest niedostępny, wtedy
schemat postępowania niewiele się zmienia (kurczy się jedynie zakres możliwych
do wykorzystania środków prezentacji zagadnienia).
Jest to jedynie przykład rozwiązania konkretnego problemu
dydaktycznego z wykorzystaniem techniki multimedialnej (rozwiązanie
aplikacyjne). W teorii ekonomii można odnaleźć szereg obszarów, w których
wykorzystane mogą zostać podobne rozwiązania multimedialne i interakcyjne
wykorzystujące możliwości drzemiące w aplikacjach komputerowych (np. w
arkuszu kalkulacyjnym Microsoft Excel).
Integralnym elementem niniejszej publikacji są materiały do dystrybucji
wśród studentów wraz z prawidłowymi odpowiedziami (jedynie dla
prowadzącego) oraz zrzuty ekranowe prezentujące aplikację.
Załącznik 1. Zrzut ekranowy aplikacji- teoria nieproporcjonalnych przychodów
53
Załącznik 2. Zrzut ekranowy aplikacji – analiza kosztów, przychodów i zysków
54
Załącznik 3. Przykład materiałów dla studentów
Załącznik 4. Odpowiedzi do zadania
55
Tabela 1
L
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabela 2
Q
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TC
20
30
36
40
42
45
51
63
80
100
130
TP
9
32
63
96
125
144
147
128
81
0
AP
9
16
21
24
25
24
21
16
9
0
MP
9
23
31
33
29
19
3
-19
-47
-81
TFC TVC ATC AFC AVC MC
20
0
20
10
30
20
10
10
20
16
18
10
8
6
20
20 13,3 6,7
6,7
4
20
22 10,5
5
5,5
2
20
25
9
4
5
3
20
31
8,5
3,3
5,2
6
20
43
9
2,9
6,1
12
20
60
10
2,5
7,5
17
20
80 11,1 2,2
8,9
20
20
110
13
2
11
30
TR
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
120
MR
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
Pr
-20
-18
-12
-4
6
15
21
21
16
8
-10
Przyporządkowanie nazw i skrótów nazw do krzywych na poszczególnych
diagramach
Diagram 1,2
Diagram 3
Diagram 4
1
TP
TC
MC
2
AP
TVC
ATC
56
3
MP
TFC
AVC
4
AFC
Elżbieta Pankau
Uniwersytet Gdański
Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka
W rzeczywistości gospodarczej trudno jest znaleźć dziedzinę, w której
nie występuje ryzyko. Stąd założenie o pewności i pełnej informacji prędzej czy
później musi zostać uchylone. Współczesna teoria podejmowania decyzji w
warunkach ryzyka została zapoczątkowana w 1944 roku przez J. von Neumanna i
O. Morgensterna w ich słynnej książce Theory of Games and Economic Behavior.
Rozwinęli oni teorię użyteczności oczekiwanej, bazującą na koncepcji Daniela
Bernoulli’ego, który założył, że w warunkach ryzyka agent maksymalizuje
wartość oczekiwaną użyteczności z posiadanego majątku. Teoria ta okazała się
bardzo przydatna do wyjaśniania zjawisk gospodarczych i ma wiele zastosowań
we współczesnych modelach ekonomicznych23.
Wartość oczekiwana (EV)
W XVII w. matematycy Pascal i Fermat porównywali wartości
poszczególnych gier hazardowych, w których z różnymi prawdopodobieństwami
(p1, p2, ..., pn) można wygrać odpowiednie kwoty (x1, x2, ..., xn), za pomocą miary
nazywanej wartością oczekiwaną (EV). Wartość oczekiwana to średni wynik z
gry powtarzanej wielokrotnie. Jest to więc średnia z wyników ważona
prawdopodobieństwami:
n
EV = ∑ pi ⋅ xi
i =1
Prawdopodobieństwa poszczególnych wypłat w ramach jednej gry muszą
n
spełniać warunek
∑p
i =1
1
= 1 . Zakłada się również, że osoba podejmująca
decyzje zna rozkłady prawdopodobieństw poszczególnych gier i ma do nich
obiektywny stosunek. W przeciwnym wypadku byłby to model podejmowania
decyzji w warunkach niepewności a nie ryzyka.
Przykład 1.
Kierując się maksymalizacją wartości oczekiwanej wybierz, którą
23
Zobacz: Machina M. J., Choice Under Uncertainty, “Economic Perspectives” Summer 1987 oraz
Golier C., The Economics of Risk and Time, Massachusetts Institute of Technology 2001.
57
inwestycję - I czy II powinna zrealizować firma, jeżeli prognozowane stopy
zwrotu w zależności od koniunktury gospodarczej kształtują się jak w tabeli.
Stopa zwrotu w %
Koniunktura gospodarcza
Prawdopodobieństwo
I
II
recesja
0,2
-5
0
stagnacja
0,5
8
6
ożywienie
0,3
12
9
EVI = 0,2 ⋅ (− 5) + 0,5 ⋅ 8 + 0,3 ⋅12 = 6,6
EVII = 0,2 ⋅ 0 + 0,5 ⋅ 6 + 0,3 ⋅ 9 = 5,7
Firma maksymalizująca wartość oczekiwaną wybierze inwestycję I.
Paradoks petersburski (gra petersburska)
Model wartości oczekiwanej jest bardzo niedoskonały w wyjaśnianiu
zachowań podmiotów działających w warunkach ryzyka. Jako pierwszy wykazał
to Nicholas Bernoulli w 1728 roku analizując grę zwaną obecnie paradoksem
petersburskim. Gra polega na rzucaniu rzetelną monetą aż do pojawienia się
reszki. Wyrzucającemu wypłaca się następnie 2n dukatów, gdzie n to liczba
rzutów. Czyli jeśli wyrzuci za pierwszym razem reszkę otrzyma 2 dukaty, jeśli za
drugim razem – 4 dukaty, za trzecim – 8 dukatów, itd. W przypadku
jednorazowego rzutu monetą prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki wynosi ½,
prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki za drugim razem wynosi ½·½ = ¼,
natomiast za n-tym razem ½n. Wartość oczekiwana tej gry EV =
∞
n
1
  ⋅ 2n
2
n =1  
∑
jest więc nieskończona.
Wynika z tego, że gracz zgodziłby się zapłacić każdą skończoną stawkę
za udział w tej grze. Jednakże badania empiryczne wskazują, że nikt nie miałby
na to ochoty.
Rozwiązaniem tego problemu zajął się kuzyn Nicholas’a Daniel
Bernoulli. Zaproponował model podejmowania decyzji na podstawie
maksymalizacji użyteczności oczekiwanej z majątku. Założył on przy tym, że
użyteczność krańcowa pieniądza jest malejąca. Rozwiązał problem przyjmując
funkcję użyteczności: U (w) = ln w .
Użyteczność oczekiwana (EU)
Teoria
użyteczności
oczekiwanej
58
za
klasyczną
teorią
wyboru
konsumenta przyjmuje założenie, że każda decyzja ekonomiczna jest odbiciem
preferencji osoby podejmującej decyzję. W związku z tym zakłada się, że przy
znajomości preferencji danej osoby możliwe byłoby przewidywanie jej decyzji.
Jednakże opisanie preferencji indywidualnego decydenta w sposób jednoznaczny
jest wyjątkowo trudne. Przyjmuje się, że zarówno relacja preferencji jak i funkcja
użyteczności ją opisująca musi spełniać warunki gwarantujące racjonalność
wyboru.
Podobnie jak w klasycznej teorii wyboru konsumenta, na bazie
aksjomatów dotyczących relacji preferencji, dowodzi się istnienia funkcji
użyteczności24. Rozważa się tu zbiór wyobrażalnych działań, jakie mogłaby
podjąć jednostka – każde z nich prowadzi do określonych następstw. Jednostka
uzmysławia sobie uporządkowanie tych następstw stwierdzając, że woli jedne
bardziej od drugich lub jest jej obojętnie które z nich wybierze. Różne następstwa
są w wyniku takiego uporządkowania ustawione w ciąg. Uporządkowanie to jest
więc odzwierciedleniem preferencji, czyli względnej atrakcyjności następstw w
sytuacji wyboru między nimi. Możliwe są tu trzy relacje:
a) silnej preferencji
Mówimy wówczas, że jednostka przedkłada następstwo A nad następstwo B,
uważa je za lepsze od następstwa B, co zapisujemy:
A B
b) słabej preferencji
Następstwo A jest co najmniej tak dobre jak następstwo B:
A B
c) obojętności (indyferencji)
Następstwa A i B są tak samo dobre – są jednakowo preferowane:
A ~ B
Aby mogła zostać sformułowana racjonalna relacja preferencji, muszą być
spełnione następujące założenia:
1. Spójność - dla każdych dwóch działań jednostka przedkłada jedno nad
drugie lub uważa je za obojętne
A B albo B A albo A ~ B
2. Przechodniość – dla każdych trzech działań A, B i C, jeżeli A B i
B C to A C.
Przy braku spójności wybór byłby niemożliwy, natomiast przy braku
przechodniości mógłby „kręcić się w kółko”.
24
Więcej na ten temat w: Arrow K. J., Eseje z teorii ryzyka, PWN, Warszawa 1979, s. 19-101 oraz
Lindgren B. W., Elementy teorii decyzji, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1977, s. 3666
59
3.
Niezależność. Jeżeli następstwo A B, to dla dowolnego
prawdopodobieństwa p ∈ [0,1] i dla dowolnego następstwa C spełnione
jest:
p · A + (1-p) · C p · B + (1-p) · C
Oznacza to, że jeżeli dwa rozważane następstwa A i B wymieszamy z
trzecim C, to preferencje w stosunku do otrzymanych mieszanek są niezależne od
użytego następstwa C. Aksjomat niezależności jest tym, co różni klasyczną teorię
wyboru w warunkach pewności od teorii wyboru w warunkach ryzyka.
4.
Dla trzech uporządkowanych następstw ABC istnieją mieszanki
takie, że:
A p1·A+(1-p1)·C B p2·A+(1-p2)·C C
Z powyższych założeń wynikają dwa ważne wnioski. Jeżeli dwa
następstwa A i B spełniają warunek A B, wówczas:
- wszystkie mieszanki tych następstw znajdują się, pod względem
atrakcyjności, między tymi dwoma następstwami
dla każdego p∈[0,1]
A p1·A+(1-p1)·B B
- im większe prawdopodobieństwo wystąpienia następstwa A tym
atrakcyjniejsza jest mieszanka.
Na tej podstawie łatwo już skonstruować funkcję użyteczności w
warunkach ryzyka. Zakładając, że znamy funkcję użyteczności danej osoby z
posiadanego majątku w warunkach pewności U(w), gdzie w – wielkość majątku,
możemy wyznaczyć funkcję użyteczności w warunkach ryzyka – funkcję
użyteczności oczekiwanej.
EU = E (U (w), p ) =
n
∑
n
U (wi ) ⋅ pi ,
gdzie
i =1
∑p
1
i =1
60
= 1.
U
B
U(w2)
p1
EU
U(w1)
U(w)
A
w1
p2=1-p1
EV
w2
w
Wykres 1. Funkcja EU dla gry, w której wynikiem gry będzie w1 z
prawdopodobieństwem p1 albo w2 z prawdopodobieństwem p2 =1-p1
Źródło: opracowanie własne na podstawie: Czarny E., Nojszewska E.,
Mikroekonomia, PWE Warszawa 1997, s. 201 – 226
Odcinek łączący punkty A i B to wykres funkcji użyteczności
oczekiwanej w zależności od rozkładów prawdopodobieństwa EU(p1). Ponieważ
punkt
A
oznacza
pewną
wypłatę
w1,
odpowiada
rozkładowi
prawdopodobieństwa: p1=1, p2=0. Analogicznie punkt B oznacza pewność
otrzymania kwoty w2.
Przykład 2.
W dwóch regionach świata jednocześnie odbywają się prestiżowe
zawody pływackie. Otylia staje przed dylematem, w których wziąć udział. W
Pucharze Słonecznego Kontynentu jest bezsprzeczną faworytką. Ma pewność
zdobycia złotego medalu oraz nagrody pieniężnej w wysokości 30 tys. USD. Z
kolei w Pucharze Purpurowego Kontynentu startuje największa konkurentka
Otylii. Zgodnie z osiąganymi ostatnio wynikami obu zawodniczek Otylia ma 60
% szansy na zdobycie złotego medalu. Nagrodą za wygranie zawodów jest kwota
50 tys. USD, a drugie miejsce jest nagradzane kwotą 5 tys. USD.
Które zawody powinna wybrać Otylia kierując się jedynie pobudkami
finansowymi, jeżeli jej funkcja użyteczności pieniądza to: U (w ) =
61
w
2
?
I.
Puchar Słonecznego Kontynentu jest grą pozbawioną ryzyka.
EV = 30tys
EU ≈ 2,74
II.
Puchar Purpurowego Kontynentu:
p1=0,6
p2=0,4
w1=50 tys.
w2=5 tys.
EV = 0,6 ⋅ 50 + 0,4 ⋅ 5 = 32tys
EU = 0,6 ⋅
50
5
+ 0,4 ⋅
≈ 2,57
2
2
Mimo, że wartość oczekiwana wygranej w Pucharze Purpurowego
Kontynentu jest wyższa, Otylia najprawdopodobniej wybierze Puchar
Słonecznego Kontynentu. Będzie ona wolała uniknąć ryzyka zdobywając
gwarantowaną nagrodę. Wynika to z faktu, że funkcja użyteczności U(w) Otylii
odpowiada postawie asekuranta.
Postawy wobec ryzyka
W modelu maksymalizacji użyteczności oczekiwanej von Neumanna –
Morgensterna, w przeciwieństwie do wcześniejszego modelu maksymalizacji
wartości oczekiwanej uwzględnione zostały preferencje osoby względem ryzyka.
Podejmując decyzje na postawie wartości oczekiwanej, milcząco zakładaliśmy,
że każda jednostka pięniądza tracona lub zyskiwana przez grającego jest dla
niego tak samo cenna. Oznacza to, że gracz jest obojętny wobec ryzyka – jego
krzywa użyteczności majątku pokrywa się z krzywą użyteczności oczekiwanej.
Jednakże w rzeczywistości ludzie różnią się między sobą skłonnością do
ponoszenia ryzyka. Początkowo zakładano, że ludzie są z natury niechętni wobec
ryzyka. Za pomocą niechęci do ryzyka udało się zadowalająco wyjaśnić wiele
zjawisk ekonomicznych. Osobą niechętnie podejmującą ryzyko - asekurantem
nazywa się kogoś, kto nie będzie chciał uczestniczyć w grze sprawiedliwej, czyli
takiej której wartość oczekiwana jest równa 0. Konieczność podjęcia gry
obarczonej ryzykiem jest dla asekuranta nieprzyjemna, więc wartość oczekiwana
takiej gry musi być odpowiednio wyższa od kwoty pewnej dającej graczowi tę
samą użyteczność. Kwota taka nazywana jest ekwiwalentem pewności (CE).
Różnica między wartością oczekiwaną a ekwiwalentem pewności, jest nazywana
premią za ryzyko lub w przypadku asekuranta kosztem ryzyka. Gra musi
gwarantować odpowiednio wysoką premię, aby asekurant chciał do niej
62
przystąpić.
Krzywą użyteczności asekuranta w zależności od posiadanego majątku
U(w) przedstawiono na wykresie 2(a). W przypadku asekuranta użyteczność
oczekiwana gry o wartości oczekiwanej EV jest niższa od użyteczności U(EV)
jaką mógłby osiągnąć gracz posiadający kwotę równoważną wartości
oczekiwanej, ale nieobarczoną ryzykiem - punkt na krzywej U(w). Z drugiej
strony niższa kwota CE posiadana na pewno dawałaby asekurantowi tę samą
satysfakcję (EU) co udział w grze o wartości oczekiwanej EV.
Postawa asekuranta jest niewątpliwie dominująca w rzeczywistości
gospodarczej. Świadczy o tym między innym rozwój rynku ubezpieczeń.
Jednakże przeciwko powszechności niechęci do ryzyka przemawia fakt, że ludzie
uprawiają hazard. Friedman i Savage dowiedli, że jednostka okazująca niechęć do
pewnego rodzaju ryzyka, do innych rodzajów tej niechęci nie żywi. Ich zdaniem
niechęć do ryzyka będzie panowała wówczas, gdy ryzykuje się odpowiednio duże
kwoty. Przypadki postawy „ryzykanckiej” są w praktyce rzadkie, zaliczyć można
do nich udział w loteriach, czy obstawianie wyników wyścigów konnych.
(a)
U
(b)
U
U(w)
U(w2)
U(EV)
EU
U(w)
U(w2)
EU
U(EV)
U(w1)
U(w1)
w1
CE EV
Premia za ryzyko
(koszt ryzyka)
w2
w
w1
EV CE w2
w
Premia za ryzyko
Wykres 2. Krzywe użyteczności: asekuranta (a) i ryzykanta (b)
Źródło: opracowanie własne na podstawie: Czarny E., Nojszewska E.,
Mikroekonomia, PWE Warszawa 1997, s. 201 – 226
Ryzykantem nazywa się osobę, którą cechuje rosnąca krańcowa
użyteczność majątku. Osoba taka będzie osiągać wyższą użyteczność z gry
obarczonej ryzykiem niż z pewnego posiadania kwoty równej wartości
63
oczekiwanej tej gry, co oznacza, że czerpie satysfakcję z ryzyka. Niektórzy
dowodzą, że hazardzista wierzy, iż jego szanse są wyższe niż są w istocie.
Zgodnie z postrzeganymi przez niego subiektywnie prawdopodobieństwami zakład jest korzystny, ale z tych lub innych powodów istnieje rozbieżność między
prawdopodobieństwami subiektywnymi i obiektywnymi. Gdyby brał pod uwagę
obiektywny rozkład prawdopodobieństwa w grze, mógłby do tej gry nie
przystąpić. Hazard może więc być zgodny z niechęcią do ryzyka, jeśli tylko
ryzyko jest pojmowane subiektywnie25.
Krzywa użyteczności z majątku w warunkach pewności U(w) w
przypadku ryzykanta leży pod krzywą użyteczności oczekiwanej (wykres 2(b)).
Gdyby ryzykant miał zamiast gry o użyteczności oczekiwanej EU posiadać kwotę
pewną, równą wartości EV gry, to osiągałby niższą użyteczność U(EV).
Dodatkowo ekwiwalent pewności CE w przypadku ryzykanta jest wyższy niż
wartość oczekiwana gry. Dla ryzykanta kwota pewna musi być wyższa od EV gry
aby dawały mu tę samą użyteczność. Premia za ryzyko, równa różnicy (CE-EV),
jest finansowym odpowiednikiem satysfakcji jaką gracz czerpie z ryzyka. Jej
wysokość świadczy więc o skłonności do podejmowania ryzyka. Premia za
ryzyko jest jedną z miar skłonności do ryzyka.
Postawa wobec ryzyka ma swoje odbicie w kształcie krzywej
użyteczności. Ze względu na subiektywny charakter kategorii, jaką jest
użyteczność, tworzenie funkcji użyteczności nastręcza licznych problemów. W
literaturze znaleźć można wiele propozycji funkcji użyteczności, żadna z nich
jednak nie uzyskała powszechnej akceptacji. Ostatecznie zgodzono się na kilka
założeń dotyczących funkcji użyteczności:
1. Jest ona rosnącą funkcją bogactwa: U(w). Wynika stąd, że jej pochodna jest
dodatnia: U’(w) > 0;
2. Tempo wzrostu użyteczności zależy od postawy wobec ryzyka. Stąd:
- prosta (druga pochodna: U’’(w)=0) odzwierciedla postawę neutralną
wobec ryzyka,
- krzywa wklęsła (U’’(w)<0) oznacza asekuranta,
- krzywa wypukła (U’’(w)>0) odpowiada postawie ryzykanta.
Na tych zależnościach oparte są miary względnej i absolutnej niechęci do ryzyka
Arrowa – Pratta:
Absolutna niechęć do ryzyka
U ′′(w)
R A (w) = −
U ′(w)
Względna niechęć do ryzyka
25
K. J. Arrow, Eseje z terorii ryzyka, PWN, Warszawa 1979, s. 102-104.
64
RR ( w) = −
w ⋅ U ′′(w)
U ′(w)
Obie miary są dodatnie, gdy występuje niechęć do ryzyka (asekurant), tj.
gdy U’’(w)<0. Względna niechęć do ryzyka jest elastycznością krańcowej
użyteczności bogactwa. Pozostaje ona niezmieniona zarówno względem zmian
jednostek użyteczności26 jak również względem zmian jednostek bogactwa.
Wskaźniki Arrowa – Pratta pokazują jak stosunek do ryzyka a przez to
decyzje w sytuacjach związanych z ryzykiem zmienia się wraz ze zmianą
wielkości majątku. Służą one również do porównywania skłonności do ryzyka u
różnych decydentów. Jeżeli mamy preferencje dwóch osób opisane funkcjami w
taki sposób, że przy każdym poziomie majątku wskaźnik awersji do ryzyka osoby
A jest większy niż wskaźnik awersji do ryzyka osoby B, to wiadomo, że osoba A
zgodzi się zapłacić za ubezpieczenie majątku co najmniej tyle co osoba B.
Przykład 3.
Pan Borowik kupił nowy samochód za 150 tys. zł. Pozostały majątek
Pana Borowika to mieszkanie wartości 400 tys. zł. Samochód jest atrakcyjnej
marki przez co jest potencjalnym obiektem kradzieży. Pan Borowik z
nieoficjalnych źródeł dowiedział się, że w zeszłym roku na sto samochodów tego
modelu przypadały cztery kradzieże.
I. Oblicz premię za ryzyko.
II. Oblicz ile Pan Borowik jest gotowy zapłacić:
a) za pełne ubezpieczenie samochodu,
b) za ubezpieczenie samochodu do wysokości wartości oczekiwanej,
jeżeli jego użyteczność z majątku została opisana funkcją: U (w) = w .
Przedstaw sytuację graficznie.
Gra przedstawia się następująco:
p1=0,96
p2=0,04
w1 = 400 + 150 = 550 tys
w2 = 400 tys
26
Miara skłonności do ryzyka powinna być niezależna od zmian jednostek użyteczności, gdyż
użyteczność jest kategorią kardynalną. Funkcja użyteczności z założenia może podlegać
przekształceniom liniowym, co nie zmienia uporządkowania preferencji przez nią opisywanych.
Miara skłonności do ryzyka, aby miała wartość informacyjną, musi również posiadać taką własność.
65
Z prawdopodobieństwem 4/100 Pan Borowik straci swój samochód i
zostanie z majątkiem w wysokości 400 tys zł, a z prawdopodobieństwem 0,96
posiada majątek 550 tys. Wartość oczekiwana jego majątku to:
EV = 0,96 ⋅ 550 + 0,04 ⋅ 400 = 544tys
Użyteczność Pana Borowika z majątku posiadanego w warunkach ryzyka:
EU = 0,96 ⋅ 550 + 0,04 ⋅ 400 ≈ 23,31
U (w) = w
U
550 = 23,45
EU = 23,31
Premia
0,64
400 = 20
Stawka za pełne
ubezpieczenie
6,64
400
CE EV 550
543,36 544
w
Ekwiwalentem pewności posiadania majątku w warunkach ryzyka jest
kwota pewna pozbawiona ryzyka, dająca tę samą użyteczność:
U(CE)=23,31
CE = 23,31
CE = 23,312 ≈ 543,36tys
I. Premia za ryzyko: EV − CE = 544 − 543,36 = 0,64tys
II. a) Wartość nominalna majątku, który Pan Borowik może utracić w wyniku
kradzieży to 150 tys. zł. Pełne ubezpieczenie oznacza więc możliwość odzyskania
od ubezpieczalni kwoty 150 tys. w przypadku, gdy samochód zostanie
skradziony.
Oznaczmy przez X maksymalną kwotę, jaką Pan Borowik byłby gotowy zapłacić
za pełne ubezpieczenie. Użyteczność z majątku pewnego 550 tys.,
pomniejszonego o stawkę ubezpieczenia U(550 – X), nie może być niższa niż EU
gry obarczonej ryzykiem. Stąd:
66
U (550 − X ) = EU
550 − X = 23,31
550 − X = 543,36 = CE
X = 550 − 543,36 = 6,64tys. = w1 − CE
Pan Borowik byłby gotowy zapłacić każdą kwotę nie większą niż 6,64
tys. zł za pełne ubezpieczenie samochodu na wypadek kradzieży.
Maksymalną stawkę ubezpieczenia można więc obliczyć odejmując ekwiwalent
pewności od gwarantowanej wielkości majątku (w – CE).
b) Ubezpieczenie do wysokości wartości oczekiwanej 544 tys. oznacza, że Pan
Borowik w przypadku kradzieży samochodu otrzyma od ubezpieczalni kwotę 144
tys. zł. Wówczas maksymalna stawka ubezpieczenia X wynosi:
X = EV − CE = 544 − 543,36 = 0,64
Pan Borowik byłby gotowy zapłacić każdą kwotę nie większą niż 0,64 tys. zł za
ubezpieczenie samochodu do wysokości wartości oczekiwanej gry.
W tym przypadku stawka równa jest premii za ryzyko.
Trójkąt Marschaka – Machina
Funkcja użyteczności oczekiwanej w modelu von Neumanna –
Morgensterna jest funkcją liniową. Liniowość tej funkcji jest wynikiem
zaakceptowania aksjomatu niezależności. W rezultacie otrzymujemy mapę
liniowych, równoległych krzywych obojętności, do prezentacji których używa się
tak zwanych diagramów trójkątnych.
W rozważanej grze mamy możliwość uzyskania jednej z trzech wypłat:
niską x1, średnią x2 i wysoką x3. Diagram przedstawia wszystkie rozkłady
prawdopodobieństwa otrzymania poszczególnych wypłat. Tradycyjnie najniższa
wypłata x1 umieszczana jest w prawym dolnym rogu, wypłata średnia x2 – w
lewym dolnym rogu, natomiast najwyższa x3 w rogu górnym.
Prawdopodobieństwo otrzymania kwoty x1 wynosi p1, kwoty x3 – p3, natomiast
prawdopodobieństwo uzyskania kwoty x2 jest równe (1-p1-p3).
67
p3=1
x3
wzrost użyteczności
A
0
p2=1
p1=1
x1
Wykres 3. Krzywe obojętności użyteczności oczekiwanej w diagramie
trójkątnym Marschaka – Machina
Źródło: Opracowanie własne na podstawie: Machina M. J., Choice
Under Uncertainty, “Economic Perspectives” Summer 1987, s. 125-126
Wykres 3. przedstawia mapę krzywych obojętności na diagramie
trójkątnym. Krzywa obojętności spełnia równanie użyteczności oczekiwanej:
EU = U (x1 ) ⋅ p1 + U (x2 ) ⋅ (1 − p1 − p2 ) + U (x3 ) ⋅ p3 = const.
Mapa krzywych obojętności składa się więc z równoległych prostych o
U (x2 ) − U (x1 )
. Im krzywa obojętności bardziej przesunięta w
nachyleniu:
U (x3 ) − U (x2 )
kierunku górnego rogu, czyli im bliższa pełnej wypłaty x3, tym wyższa
użyteczność. Punkt A na wykresie 3. leży na tej samej krzywej obojętności co
punkt 0, w którym prawdopodobieństwo osiągnięcia wypłaty x2 jest równe 1.
Więc użyteczność z posiadania pewnej kwoty x2 jest równa użyteczności
oczekiwanej przy rozkładzie prawdopodobieństw odpowiadającej punktowi A.
Diagram może być używany do ilustracji postawy wobec ryzyka.
Wykres 4 ilustruje postawę asekuranta (a) i ryzykanta (b). Na diagram
zawierający mapę krzywych obojętności (linie ciągłe) naniesiono linią
68
przerywaną krzywe jednakowej wartości oczekiwanej (iso-EV lines). Spełniają
one równanie: x = x1 ⋅ p1 + x2 ⋅ (1 − p1 − p3 ) + x3 ⋅ p3 = const.
Nachylenie krzywej iso-EV będzie więc wynosić (x2-x1)/(x3-x2).
(a)
1
p3
(b)
1
p3
B
C
A
0
D
p1
0
1
p1
1
Wykres 4. Relatywnie strome krzywe obojętności asekuranta (a) i
relatywnie płaskie krzywe obojętności ryzykanta (b)
Źródło: opracowanie własne na podstawie: Machina M. J., Choice
Under Uncertainty, “Economic Perspectives” Summer 1987, s. 125-126
Przesuwanie się wzdłuż krzywej iso-EV nie zmienia wartości
oczekiwanej ale może zwiększać użyteczność oczekiwaną – przejście z punktu A
do 0 na wykresie (a) oraz z punktu 0 do C na wykresie (b).
W punkcie 0 prawdopodobieństwo zdarzenia x2 jest równe 1, czyli
wypłata wynosić będzie z pewnością x2. Użyteczność z tej wypłaty jest taka sama
jak użyteczność z punktu B, który leży na tej samej krzywej obojętności lecz na
wyższej krzywej iso-EV. Wartość oczekiwana w punkcie B jest więc wyższa niż
w 0. Punkt 0 jest ekwiwalentem pewności (CE) punktu B. Wynika z tego że
wykres (a) przedstawia preferencje asekuranta, który tak samo ceni pewną
wypłatę x2 jak obarczoną ryzykiem grę o wyższej wartości oczekiwanej z punktu
B.
Analogicznie na wykresie (b) punkt D reprezentuje taką samą
użyteczność jak punkt 0, więc pewna wypłata x2 jest ekwiwalentem pewności gry
z punktu D. Jednakże punkt D leży na niższej krzywej wartości oczekiwanej niż
punkt O. Przedstawiono tu więc preferencje ryzykanta, który tak samo ceni
wyższą kwotę pewną jak ryzykowną grę o niższej wartości oczekiwanej.
69
Przykład 4.
Oblicz nachylenie krzywych jednakowej wartości oczekiwanej dla loterii
z możliwymi do osiągnięcia wypłatami x1 = 4, x2 = 16, x3 = 36 oraz porównując
je z nachyleniem krzywych obojętności sprawdź czy osoba, której preferencje
opisuje funkcja:
a) U = x
b) U = x 2
jest asekurantem czy ryzykantem?
Nachylenie krzywych izo-EV będzie wynosić: (16 – 4):(36 – 16) = 0,6.
Nachylenie krzywych obojętności:
16 − 4
=1
36 − 16
Nachylenie krzywych obojętności jest większe od nachylenia krzywych
jednakowej wartości oczekiwanej funkcja opisuje asekuranta.
a)
16 2 − 4 2
≈ 0,23
36 2 − 16 2
Nachylenie krzywych obojętności jest mniejsze od nachylenia krzywych
jednakowej wartości oczekiwanej funkcja opisuje ryzykanta.
b)
Paradoks Allaisa
Najbardziej znanym przykładem podważającym prawidłowość liniowej
funkcji użyteczności oczekiwanej, uderzając w aksjomat niezależności, jest
paradoks Allaisa.
Allais przeprowadził eksperyment, w którym respondenci wybierali
między dwiema parami gier. Okazuje się, że większość osób mając do wyboru
gry: A i B - wybrałoby A.
A:
1 mln zł
B:
0,1
0,01
0,89
5 mln zł
0 zł
1 mln zł
C:
0,1
5 mln zł
D:
0,9
0,11
1 mln zł
0 zł
0,89
0 zł
Jednocześnie te same osoby mając do wyboru gry: C i D - wybrałyby C.
Paradoks Allaisa przedstawiony został na wykresie 5. Fakt, że
70
jednocześnie koszyk A jest preferowany nad B i koszyk C preferowany nad D,
wyklucza liniowość krzywych obojętności. Asekurant wybrałby koszyki A i D,
natomiast ryzykant B i C.
5 mln zł 1
P3
B
0,1
C
A
0
1 mln zł
p1
D
0,89
1
0 zł
Wykres 5. Paradoks Allaisa – liniowe i „wachlarzowe” krzywe
obojętności
Źródło: opracowanie własne na podstawie: Machina M. J., Choice
Under Uncertainty, “Economic Perspectives” Summer 1987, s. 128
Z paradoksu Allaisa wynika, że preferencje większości respondentów
nie pasują do klasycznej teorii użyteczności oczekiwanej zakładającej liniowość
krzywych obojętności. Aby odzwierciedlić takie preferencje mapa krzywych
obojętności musi mieć kształt wachlarza (szare przerywane linie na wykresie 5).
Im wyższa krzywa obojętności tym większe ma nachylenie. Oznacza to, że wraz
ze wzrostem wartości oczekiwanej gry maleje skłonność do ryzyka.
Paradoks Allaisa, podważając prawdziwość teorii użyteczności
oczekiwanej, jednocześnie zainspirował wielu badaczy do poszukiwania nowych
teorii wyjaśniających decyzje gospodarcze podejmowane w warunkach ryzyka.
71

Pobierz - mikroekonomia.net

Transkrypt

Podobne dokumenty

stacjonarne i niestacjonarne Forma zajęć: wykład (30 godzin)

specjalista ds. logistyki komercyjnej

1. Komunikacja marketingowa: a) Jest procesem scalania różnego

Aktualizacja ogólnokrajowych map popytu na usługi telefonii

Sytuacja w gospodarce Polski na przestrzeni bieżącego roku

D - Koniunktura

1. Tablica przedstawia nabywane ilości praŜonej kukurydzy przy

Popyt, podaż i wszystko co z Nimi związane

Teorie popytu i podazy