LaTeX: Bulanda Nikodem

§ 2. Funkcje uwikłane
Udowodnione twierdzenie jest oczywiście uogólnieniem twierdzenia podanego w ustępie 83.
207. Różniczkowalność funkcji uwikłanej. Wzmocnimy teraz zalożenia dotyczące funkcji F (x, y), dzięki czemu będziemy mogli udowodnić również
istnienie pochodnej funkcji y = f (x).
Twierdzenie II. Załóżmy, że
1) funkcja F (x, y) jest określona i ciągła w prostokącie
D = hx0 − ∆, x0 + ∆ ; y0 − ∆′ , y0 + ∆′ i
o środku w punkcie (x0 , y0 );
2) pochodne cząstokowe Fx′ i Fy′ istnieją i są ciągłe w D;
3) funkcja F (x, y) jest w punkcie (x0 , y0 ) równa zeru: F (x0 , y0 ) = 0;
4) Pochodna Fy′ (x0 , y0 ) jest różna od zera.
Wówczas prawdziwe są wnioski
a), b) i c) z twierdzenia I i oprócz tego
d) funkcja f (x, y) ma ciągłą pochodną.
D o w ó d (rys. 113). Niech na
przykład Fy′ (x0 , y0 ) > 0; ponieważ
pochodna Fy′ (x, y) jest na mocy 2)
ciągła, więc można zbudować taki
kwadrat
hx0 − δ ′ , x0 + δ ′ ; y0 − δ ′ , y0 + δ ′ i
(δ ′ < ∆
i δ ′ < ∆′ ),
żeby dla wszystkich jego punktów było Fy′ (x0 , y0 ) > 0 (3 ). Dla tego kwadratu spełnione są wszystkie założenia twierdzenia I, monotoniczność funkcji F (x, y) względem y dla x=const wynika mianowicie z tego, że Fy′ > 0 [132]. Tym samym wnioski a), b) i c) można uważać
za udowodnione.
Przechodzimy do dowodu tezy d). Przez y będziemy teraz oznaczali tę funkcję uwikłaną y=f (x), która jest określona równaniem (1) i spełnia je tożsamościowo. Nadajmy zmiennej x przyrost ∆x; powiększonej wartości x + ∆x odpowiada wartość y + ∆y = f (x + ∆x), która wraz z x + ∆x spełnia równanie(1),
F (x + ∆x, y + ∆y) = 0. Oczywiście przyrost
∆F (x, y) = F (x + ∆x, y + ∆y) − F (x, y) = 0.
Przedstawiając ∆F według wzoru (1) z ustępu 178 otrzymujemy
0 = ∆F (x, y) = Fx′ (x, y)∆x + Fy′ (x, y)∆y + α∆x + β∆y
3 Dla funkcji wielu zmiennych jest bowiem prawdziwe twierdzenie analogiczne do lematu z
ustępu 80, udowodnionego dla funkcji jednej zmiennej.
5
6
VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowanie
α i β zależą od ∆x i ∆y i dążą do zera, gdy ∆x i ∆y jedocześnie dążą do zera.
Stąd
F ′ (x, y) + α
∆y
= − x′
.
∆x
Fy (x, y) + β
Niech ∆x dąży do zera; wobec udowodnionej już ciągłości funkcji y = f (x)
(patrz b)) musi przy tym także ∆y dążyć do zera, a zatem również α → 0 i
β → 0. Ponieważ Fy′ 6= 0, istnieje granica prawej strony, a tym samym istnieje
pochodna y względem x
(3)
F ′ (x, y)
∆y
= − x′
.
∆x→0 ∆x
Fy (x, y)
f ′ (x) = y ′ = lim
Podstawiając f (x) zamiast y otrzymujemy
f ′ (x) = −
Fx′ (x, f (x))
.
Fy′ (x, f (x))
Ponieważ w liczniku i mianowniku występują tu funkcje ciągłe funkcji ciągłych i
przy tym mianownik jest różny od zera, wynika stąd, że f ′ (x) jest także funkcją
ciągłą. Twierdzenie jest zatem udowodnione.
Jest godne uwagi, że z własności danej bezpośrednio funkcji F (x, y) możemy sądzić o własności funkcji y=f (x), której bezpośredniego przedstawienia nie
mamy.
208. Funkcje uwikłane wielu zmiennych. Podobnie jak równaie (1) można rozpatrywać równanie z wiekszą liczbą zmiennych
(4)
F (x1 , x2 , . . . , xn , y) = 0.
Przy pewnych założeniach równanie to określa y jako funkcję uwikłaną n zmiennych x1 , x2 , . . . , xn :
y = f (x1 , x2 , . . . , xn ),
która na ogół jest wieloznaczna. Jeżeli podstawić ją zamiast y, to otrzymuje się
równość
F (x1 , x2 , . . . , xn , f (x1 , x2 , . . . , xn )) = 0
będącą tożsamością względem x1 , x2 , . . . , xn .
Będziemy mówili, że w (n + 1)-wymiarowym prostopadłościanie
(a1 , b1 ; a2 , b2 ; . . . ; an , bn ; c, d)
równanie (4) określa y jako jednoznaczną funkcję zmiennych x1 , x2 , . . . , xn , jeżeli
dla dowolnego punktu (x1 , x2 , . . . , xn ) leżącego w n-wymiarowym prostopadłościanie
(a1 , b1 ; a2 , b2 ; . . . ; an , bn )