Zadanie. Rozwiąż równanie 0 oraz nierówność 0, gdzie

Zadanie. Rozwiąż równanie 0 oraz nierówność 0, gdzie:
ଶ ,
ଶ 4
3
2
Rozwiązanie:
Najpierw rozwiążemy równanie 0. Zatem:
0
ଶ 3 0
ଶ 4 2
ଶ 3
0
2 2 2
Warto na początku rozwiązywania równania wymiernego, wyznaczyć dziedzinę:
2 2 0 ∧ 2 0
Zatem:
2 0 ∧ 2 0
2 ∧ 2
Teraz ułamki po lewej stronie równania sprowadzamy do wspólnego mianownika:
ଶ 3 2
0
2 2 2 2
I dodajemy:
ଶ 3 2
0
2 2
ଶ 3 6 ଶ 2
0
2 2
6 6
0
2 2
Iloraz (ułamek) jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy dzielna (licznik) jest równy zero
(mianownik nie może się zerować). Zatem wystarczy, że przyrównamy licznik do zera:
6 6 0
6 6
1
Odpowiedź: Równanie 0 ma jedno rozwiązanie 1.
.
Teraz rozwiążemy nierówność 0, zatem:
0
Korzystając z powyższych rachunków mamy:
6 1
0
2 2
Iloraz dwóch liczb jest większy od zera, jeżeli ich iloczyn jest większy od zera, zetem
możemy równoważnie napisać:
6 1 2 2 0
Po lewej stronie nierówności mamy wielomian 3 stopnia. Musimy znaleźć jego miejsca
zerowe, a następnie naszkicować wykres (z którego odczytamy gdzie jest większy bądź
równy zero). Zatem:
6 1 2 2 0
1 0 ∨ 2 0 ∨ 2 0
1 ∨ 2 ∨ 2
Szkicujemy wykres wielomianu:
y
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Z wykresu odczytujemy, że wielomian przyjmuje wartości większe bądź równe zero dla
∈ 2, 1〉 ∪ 2, ∞
Pamiętając jednak o dziedzinie: 2 ∧ 2, musimy wyrzucić z naszego
rozwiązania te -y.
Czyli ostateczna odpowiedź to: ∈ 2, 1 ∪ 2, ∞.
Odpowiedź: 0 dla ∈ 2, 1 ∪ 2, ∞.
Na marginesie – wykres funkcji wygląda następująco:
y
x
-11 -10 -9
-8
-7
-6 -5
-4
-3
-2 -1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11