Drgania, teoria

RUCH DRGAJĄCY
Niektóre powody dla których warto zafascynować się tym rodzajem ruchu:
• wbrew pozorom jest powszechny (np. atomy każdego ciała w temperaturze
większej niż 0K drgają, co odczuwamy jako temperaturę danego ciała),
• ma bardzo duże znaczenie praktyczne (przykładów jest mnóstwo, jadnym
z bardziej spektakularnych jest zawalenie się Mostu Tacoma pod wpływem
delikatnych podmuchów wiatru)
• może być bardzo trudny do opisu teoretycznego, poznawane wzory będą
tylko przybliżone (np. gdy huśtamy się na huśtawce wychylając się od pionu
o około 30O to poznanawane przez nas wzory będą tylko przybliżeniem rzędu
wielkości)
• jest interdyscyplinarny (nie ma działu fizyki w którym nie by nie występował)
Kluczem do zrozumienia ruchu drgającego jest pojęcie siły sprężystości,
można go przybliżyć wykonując następujące, proste doświadczenie:
x0
x1
x2
x3
x4
F~x
Na zawieszoną swobodnie
sprężynkę zawieszamy kolejne, takie same odważniki, stwierdzamy równomierne rozciąganie się
sprężyny a zatem:
F =k·x
k - współczynnik sprężystości sprężyny (charakteryzujący daną sprężynę;
materiał i jej geometrię)
Aby opisać siłę sprężystości wektorowo wykonajmy takie doświadczenie:
Fs
x
Fz
Rozciągnięta przez siłę zewnętrzną (Fz ) sprężynka
działa siłą sprężystości (Fs) która jak widać na
rysunku jest przeciwna do wydłużenia sprężynu (x),
~s = −k · ~
zatem: F
x
1
Zależność opisującą siłę sprężystości możemy wyprowadzić inaczej; rozważmy
w tym celu np. stalowy pręt, o długości początkowej l0 i polu przekroju
poprzecznego S , zamocowany na jednym z końców i poddawany stopniowemu
rozciąganiu:
(1)
S
(2)
F1
(3)
F2
F3
F4
l0
(4)
(5)
Aby opisać powyższe doświadczenie (ilościowo) wprowadźmy najpierw dwa pojęcia; naprężenia i odkształcenia.
Naprężeniem – nazywamy stosunek siły rozciągającej (dokładniej to składowej
normalnej, czyli prostopadłej do powierzchni tej siły) do powierzchni na którą
działa.
p=
F
S
Odkształceniem – nazywamy względną zmianę rozmiarów ciała; w przypadku
rozciągania pręta założymy w pierwszym przybliżeniu że rozciągany pręt zmienia
tylko swoją długość (oczywiście w przeczywistości zmienia także inne wymiary,
np. pole przekroju poprzecznego S i w ogólności odkształcenie będzie wielkością
tensorową)
σ=
∆l
l0
Wracając do naszego doświadczenia możemy wyznaczyć wykres zależności
p = p(σ). Robi się to w maszynach zwanych zrywarkami; może on wyglądać
następująco (różne materiały mogą mieć bardzo odmienne wykresy tej zależności;
nawet w obrębie tej samej próbki trudno jest uzyskać dobrą powtarzalność)
2
p
σ
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Na wykresie tym można wyróżnić następujące obszary:
(1) - (2) Obszar odkształceń sprężystych
W obszarze tym po ustaniu działania naprężenia pręt powraca do rozmiarów
początkowych; ponadto obowiązuje następujące prawo (Hooke’a):
W granicach sprężystości naprężenie jest wprostproporcjonalne do odkształcenia,
zaś współczynnikiem proporcjonalności jest moduł Younga (E). Wielkość ta jest
stałą materiałową (zależy TYLKO od rodzaju materiału) i w ogólności może być
tensorem
∆l
F
=E·
(∗)
p = E · σ lub
S
l0
Obszar ten występuje dla większości materiałów; choć są wyjątki np. gumka
recepturka mimo iż jest sprężysta to formalnie nie posiada obszaru sprężystości!
(2) - (3) Obszar odkształceń proporcjonalnych
W obszarze tym naprężenie jest również proporcjonalne do odkształcenia ale po
usunięciu naprężenia pręt NIE POWRACA do rozmiarów początkowych.
(3) - (4) - (5) Obszar odkształceń plastycznych
Tutaj naprężenie nie jest proporcjonalne do odkształcenia i po ustaniu naprężenie
ciało NIE POWRACA do rozmiarów początkowych. W obszarze tym następuje
widoczna deformacja kształtu rozciąganego pręta (np. przewężenia)
(5) Granica wytrzymałości na rozciąganie
Wyznacza naprężenie przy którym następuje zerwanie pręta oraz jego maksymalne
3
odkształcenie. Wartości naprężenia zrywającego można odnaleźć w tabelach
Przekształcając wzór (∗) możemy otrzymać zależność na siłę sprężystości.
F
∆l
ES
=E·
→F =
· ∆l
S
l0
l0
Podstawiając teraz za
sprężystości.
ES
l0
= k i ∆l = x otrzymujemy znany wzór na siłę
Obliczymy teraz pracę wykonaną przez siłę zewnętrzną przy rozciąganiu pręta.
Będzie ona równa pracy siły sprężystości tylko w obszarze odkształceń sprężystych, gdyż tylko tam po ustaniu naprężenia pręt powraca do rozmiarów
początkowych (praca siły zewntrznej zamieniana jest w całości na energię potencjalną sprężystości a nie np. na energię związaną ze zmianą konfiguracji atomów
przy trwałej zmianie kształtu)
~ · ∆r
~ gdyż siła
W tym celu nie możemy jednak skorzystać ze wzoru W = F
nie jest stała (zmienia się przecież wraz z wydłużeniem pręta zgodnie ze wzorem
F = kx), ponieważ jednak zmiana jest liniowa to można zastąpić zmienną
siłe – średnią arytmetyczną między położeniem początkowym a położeniem po
wydłużeniu o x:
F →< F >=
0+F
kx
=
2
2
Zatem praca wykonana przez siłę zewnętrzną przy rozciąganiu pręta w obszarze
odkształceń sprężystych, bedąca energią potencjalną sprężystości wynosi:
W = Eps
kx2
kx
·x=
=< F > ·x =
2
2
Podstawowe pojęcia i jakściowy opis drgań
Rozważmy ciężarek zawieszony na sprężynce i wprawiony w drgania.
4
v
(3)
A
(2)
x
(1)
(4)
v
A
(5)
Obserwując ruch ciężarka można wprowadzić następujące pojęcia opisujące ruch
drgający:
1. Położenie równowagi – położenie wokół którego odbywa się ruch drgający,
jest to jednocześnie położenie ciężarka przed wprawieniem do w ruch drgający
a także jego położenie średnie w tym ruchu
2. Wychylenie (x) – odległość między położeniem równiwagi a danym położeniem ciężarka
3. Amplituda (A) – maksymalne wychylenie z położenia równowagi
4. Okres drgań (T ) – czas w którym ciężarek wykonuje jedno pełne drganie,
lub czas pomiędzy dwoma najbliższymi i jednakowymi fazami drgań
5. Częstotliwość (f ) – ilość okresów drgań zachodzących w jednostce czasu.
Pomiędzy okresem a częstotliwością zachodzi następujący związek f = T1 ,
zaś jednostką częstotliwości jest Herc ([f ] = 1s = Hz )
Matematyczny (ilościowy) opis drgań
Opisując drgania w sposób matematyczny będziemy korzystali z następukących
przykładów ruchu drgającego:
1. drganie ciężarka zawieszonego na sprężynie (wahadło sprężynowe),
2. drganie ciężarka zawieszonego na nitce (wahadło matematyczne),
3. drganie bryły sztywnej zawieszonej w punkcie różnym niż jej środek masy
(wahadło fizyczne),
4. drganie cieczy w u-rurce,
5. ruch obciążonej próbówki zanurzonej w cieczy,
5
6. ruch ciężarka wrzuconego do „rozwierconej na wylot Ziemi”
7. drgania ładunku w obwodzie LC
Zanim jednak to nastąpi, znajdziemy równanie ruchu drgającego i postaramy się
je rozwiązać (dwoma sposobami; przy użyciu rachunku pochodnych i korzystając
z trygonometrii)
Rozważmy ciężarek przyczepiony do sprężynki w sposób jak pokazany na
rysunku i mogący poruszać się bez tarcia:
Fs
x
Podejście to ma dużą zaletę, ponieważ w kierunku ruchu na ciężarek działać
będzie tylko siła grawitacji (dla ciężarka zawieszonego na sprężenie musielibyśmy
uwzględnić jeszcze siłę ciężkości).
Gdy sprężynka ma długość spoczynkową (długość leżącej swobodnie sprężynki) to w kierunku poziomym żadna siła na ciężarak działać nie będzie. Sytuacja
ulegnie zmianie, gdy ciężarek przmieścimy o x względem położenia spoczynkowego i puścimy. Rozciągnięta o x sprężynka zadziała w chwili początkowej na
ciężarek z siłą Fs = kx powodując jego ruch. Jednocześnie zmiejszać się będzie
odległość ciężarka od położenia równowagi a tym samym i siła działająca na
ten ciężarek – zatem jego ruch będzie niejednostajnie zmienny, prostoliniowy.
Ten skomplikowany ruch ma jadnak jedną prawidłowość – przyspieszenie jest
skierowane przeciwnie do położenia ciężarka; widać to zarówno na rysunku, jak i
przy zapisie równania ruchu, ma ono postać:
~s
m~
a=F
~s = −k~
Ale siła sprężystości ma postać: F
x
m~
a = −k~
x
6
Przenosząc na jedną stronę otrzymujemy równanie ruchu rozważanego układu:
m~
a + k~
x=0
W naszym przypadku drgania odbywają się w jednym kierunku więc załą notację
wektorową można pominąć i mamy:
ma + kx = 0
Rozwiązanie tego równania nie jest łatwe (na pewno nie jest trywialne), ponieważ
jest to równanie różniczkowe na położenie x, co można zapisać:
m
∆ ∆x(t)
∆t
∆t
+ kx(t) = 0
Zapis formalny z użyciem rachunku różniczkowego da nam następującą zależność:
d2x(t)
m
+ kx = 0
dt2
Rownanie różniczkowe tego typu rozwiązuje się przy pomocy metody zgadywania
i to nie jest żart. Doświadczony „zgadywacz” nie będzie jednak „strzelał w ciemno”
i poszuka funkcji która dwa razy zróżniczkowana (której druga pochodna) da
funkcję proporrcjonalną do wyjściowej. Okazuje się że takich funkcji jest dużo;
najprostsza z nich to f (x) = sin(x), jest to funkcja zmieniająca się okresowo
w czasie zatem i rozważany ruch będzie okresowy; niech T oznacza jego okres,
zaś A amplitudę. Wówczas argument funkcji sinus musi spełniać 2 warunki; być
bezwymiarowy i okresowy (np. dla t=T ma być równy 2Π) Wszystkie warunki
będą spełnione gdy rozwiązanie będzie miało postać:
2Π
t = A sin(ωt)
x(t) = A sin
T
Aby sprawdzić czy rozwiązanie to jest prawidłowe należy je dwa razy zróżniczkować i podstawić do równania ruchu drgającego. Obliczenie pierwszej pochodnej
7
da nam prędkość:
dx(t)
d
v(t) =
=
A sin(ωt) = Aω cos(ωt)
dt
dt
Zaś obliczając drugą pochodną (czyli pierwszą pochodną pierwszej pochodnej)
otrzymamy przyspieszenie:
dv(t)
d
2
a(t) =
=
Aω cos(ωt) = −Aω sin(ωt)
dt
dt
Po wstawieniu; rozwiązania i jego drugiej pochodnej do równania ruchu drgającego (ma(t) + kx(t) = 0), otrzymamy:
2
−mAω sin(ωt) + kA sin(ωt) = 0
Wyciągając Asin(ωt) przed nawias:
A sin(ωt)(−mω 2 + k) = 0
Aby lewa strona równania była równa zero:
2
k
2Π
k
mω 2 = k ⇒ ω 2 =
⇒
=
m
T
m
Zatem okres drgań rozważanego układu wynosi:
T = 2Π
r
m
k
Do powyższego wyniku da się dojść bez używania rachunku pochodnych; wystarczy utożsamić ruch drgający z ruchem po okręgu; wyobrażmy sobie że
obserwujemy drgający na sprężynce klocek (ten który służył do wyprowadzenia
równania ruchu) i ruch np. ołowianego żołnierzyka na krawędzi obracającej się
płyty gramofonowej widzianego „z boku” (np. oświetlając z boku gramofon i
obserwując ruch cienia żołnierzyka).
8
Innymi słowy rzut, ciała poruszającego się po okręgu na dowolną prostą
nie przecinającą tego okręgu i leżącą w jego płaszczyźnie, będzie poruszał się
ruchem drgającym po odcinku o długości 2R
Rozważmy więc ciało poruszające się po okręgu tak, że jego okres obrotu
wynosi T . W czasie t zatoczy więc kąt α = 2Π
T t = ωt. Rzutując ten ruch na
odcinek otrzymamy ruch drgający, o okresie T i amplitudzie A = R
Obliczmy najpierw przemieszczenie x(t):
x(t)
R = sin(ωt)
R
ωt
A=R
x
x(t) = R sin(ωt)
ale przecież R = A stąd:
x(t) = A sin(ωt)
W podobny sposób możemy obliczyć prędkość v(t):
vo(t)
R
v(t)
ωt
v(t)
= cos(ωt)
v0 (t)
v0 (t) = ωR prędkość w ruchu po
okręgu, uwzględniając, że R = A
mamy:
v(t) = ωA cos(ωt)
I przyspieszenie a(t):
R
ωt
ad(t)
ωt
a(t)
ad = sin(ωt)
ad = ω 2 R przyspieszenie dośrod-
a(t)
kowe w ruchu po okręgu, uwzględniając, że R = A mamy:
a(t) = ω 2 A cos(ωt)
Widać, że w każdym wypadku dostaliśmy rezultat taki jak poprzednio, jedynie
w przypadku przyspieszenia brak jest znaku − którego jednak obecność mo9
żemy uzasadnić faktem, że w ruchu drgającym, przyspieszenie jest przeciwnie
skierowane do przemieszczenia. Warto zatem zapamiętać że:
x(t) = A sin(ωt), v(t) = Aω cos(ωt), a(t) = −Aω 2 sin ωt
Energia w ruchu drgającym.
Drgający np. ciężarek posiada energię kinetyczną związaną z ruchem (Ek =
2
2
1
1
2 mv ) i potencjalną sprężystości (Eps = 2 kx ), związaną z położeniem
względem ustalonego poziomu (najczęściej względem położenia równowagi)
v
(3)
A
(2)
x
(1)
(4)
v
A
(5)
Całkowitą energię drgań możemy obliczyć stosunkowo prosto. W momencie największego wychylenia z połżenia równowagi ciężarek zatrzymuje się na „chwilkę”
i wówczas jego energia kinetyczna jest równa zero zaś całkowita energia jest
energią potencjalną sprężystości ciała zawieszonego na sprężynie rozciągniętej o
x = A – rys. (3)
1
Ec = kA2
2
Ponadto łatwo można pokazać, że mimo iż podczas ruchu drgającego energia
kinetyczna i potencjalna sprężystości zmieniają się to ich suma jest w każdym
momencie stała, co oczywiście potwierdza zasadę zachowania energii mechanicznej
1 2
1
2
Ec = Ek + Eps = mv + kx
2
10 2
Ale x = A sin(ωt) i v = Aω cos(ωt), stąd:
Ec =
1
1
mA2 ω 2 sin2 (ωt) + kA2 cos2(ωt)
2
2
1 2
2
2
2
A (mω sin (ωt) + k cos (ωt))
2
2
k
Korzystając że: ω = m otrzymamy:
Ec =
Ec =
1 2
k
1
A (m sin2 (ωt) + k cos2 (ωt)) = kA2 (sin2 (ωt) + k cos2 (ωt))
2
m
2
Teraz korzystając z „ jedynki trygonometrycznej” otrzymujemy, że energia całkowita w ruchu drgającym w każdym momencie pozostaje stała i wynosi:
1
Ec = kA2
2
Korzystając z faktu, że energia całkowita jest sumą energii potencjalnej sprężystości i energii kinetycznej możymy obliczyć energię kinetyczna:
1
Ec = Ek + Eps ⇒ Ek = Ec − Eps ⇒ Ek = Ec − kx2
2
Gdy zatem narysujemy zależność energii od wychylenia to otrzymamy:
E
Ec
Eps
Ek
x
Przykłady układów drgających
Analizując układy drgające będziemy określali ich częstotliwość drgań własnych,
tj. częstotliwość drgań jakie będzie wykonywał układ po wprawieniu go w drgania
i przy założeniu braku oporów.
1) Wahadło sprężynowe (ciężarek zawieszony na sprężynie)
Przykład ten jest tożsamy z sytuacją którą analizowaliśmy wyprowadzając wzory
p
opisujące ruch drgający; zatem okres drgań wynosi: T = 2Π m
k
11
Zawieszając na sprężynce ciężarek powodujemy rozciągnięcie sprężyny i
powstaje sytuacja w której siła ciężkości zostaje zrównoważona przez siłę sprężystości. Dalszy opis takiego ruchu byłby analogiczny do opisu drgań sprężyny
leżącej na poziomym podłożu. Należało by jednak udowodnić, że równanie ruchu
drgającego pozostaje cały czas takie samo.
Ponadto aby drgania były stabilne to maksymalna wartość przyspieszenia
ciężarka nie może być większa niż przyspieszenie ziemskie.
2) Wahadło matematyczne
Definicja tego wahadła jest następująca: punktowa masa zawieszona na nieważkiej (nic nie ważącej czyli nie posiadającej masy), nierozciągliwej nici i wykonujące
drgania po wychyleniu z położenia równowagi
α
~c ) i sprężystości
Na kulkę działają siły: ciężkości (F
nitki (F~s ), która jest siłą reakcji sprężystej nitki na
rozciąganie siłą (F~n ). Wypadkowa sił działających
~ ) powoduje jej ruch, pokażemy że siła
na kulkę (F
ta ma postać F = kx oraz wyznaczymy „ k”
l
F
= sin(α) ⇒ F = mg sin(α)
Fc
Fs
Ale, gdy wychylenie jest małe to x = a i sinus
kąta możemy policzyć jako sin(α) = xl co po
podstawieniu daje:
x
a
F
α
Fn
F = mg
Fc
mg
x
=(
)x = kx
l
l
Wykazaliśmy zatem, że ruch wahadła matematycznego odbywa się pod wpływem
siły która ma postać F = kx, gdzie k = mg
l a zatem będzie on ruchem
drgającym, okres drgań wynosi:
T = 2Π
r
m
= 2Π
k
s
m
mg
l
⇒ T = 2Π
s
l
g
Otrzymany wynik jest dość zaskakujący, ponieważ okazuje się, że okres drgań
wahadła nie zależy ani od masy drgającej, ani od wychylenia wahadła. Niezależnść
12
okresu drgań wahadła matematycznego od jego wychylenia, dla małych (do około
7o ) kątów nazywa się izochronizmem ; jego odkrywcą jest Galileusz.
Z uwagi na przybliżenie łuki odcinkiem, zastosowane przy wyprowadzeniu,
powyższy wzór również jest przybliżony i można go stosować tylko dla małych
wychyleń.
Posługując się whahadłem można łatwo wyznaczyć przyspieszenie ziemskie.
s
l
l
l
T = 2Π
⇒ T 2 = 4Π2 ⇒ T 2g = 4Π2 l ⇒ g = 4Π2 2
g
g
T
Widzimy, że wystarczy wyznaczyć długość wahadła i okres jego drgań.
Wyznaczenie długości zwykle nie jest trudne w przeciwieństwie do dokładności
pomiaru okresu drgań który musi być wyznaczony dokładniej ponieważ we wzorze
na przyspieszenie jest zależność od kwadratu okresu.
3) Wahadło fizyczne
Jest to bryła sztywna zawieszona w punkcie różnym od jej środka masy i będąca
w stanie równowagi trwałej. Przykładem wahadła fizycznego jest, wiszący na
ścianie, obraz.
zawieszenie bryly
Jeżeli bryłę sztywną odchylimy od piony o
φ, wówczas będzie na nas działał, skiero-
srodek masy
wany przeciwnie do tego wychylenia, moment
siły N , przy małych wychyleniach wynosi on
l
N = mgLφ. Korzystając z drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego mamy:
mgL
ǫ = N
I = − I φ. Pamiętając teraz że
ǫ → a i φ → x, widzimy, że jest to równak = mgL
nie ruchu drgającego w którym m
I
2
więc k = m IgL
Podstawiając teraz k do wzoru na okres drgań (T = 2Π
T = 2Π
s
m
m2 gL
I
13
= 2Π
s
I
mgL
pm
k
), otrzymamy:
4) Drganie cieczy w u-rurce
Zakładamy że nie istnieje tarcie ciecz-rurka ani inne opory ruchu
W jedno z ramion u-rurki dmuchnięto i powstała
sytuacja widoczna na rysunku. Ciśnienie słupa
wody o wysokości 2x to ciśnienie hydrostatyczne,
wyraża się wzorem:
x
x
p=ρ·g·h
a korzystając z definicji ciśnienia:
p=
F
S
Obliczamy wartość siły parcia F którą słup cieczy o wysokości 2x działa na
pozostałą ciecz:
F = p · S ⇒ F = 2ρgS · x
Widać że jest to zależność typu F = kx stąd k = 2ρgS . Podstawiając teraz
za k i m = ρgl (l – wysokość słupa wody) do wzoru na okres drgań:
s
s
r
m
ρgl
l
T = 2Π
= 2Π
= 2Π
k
2ρgS
2g
5) Ruch obciążonej próbówki zanurzonej w cieczy
Taka próbówka to oczywiście areometr, ty również zakładamy brak tarcia między
próbówką a cieczą oraz brak innych oporów ruchu
Naciskając próbówkę na głębokość x zacznie działać
na nią siłą wyporu:
F = ρw gVz = ρw gVx = ρw gSx = kx
x
Podstawiając teraz za k = ρw gS i m = ρp HS (H
– wysokość próbówki) do wzoru na okres drgań:
T = 2Π
14
s
ρp HS
= 2Π
ρw gS
s
ρp H
ρw g
6) Ruch ciężarka wrzuconego do rozwierconej na wylot Ziemii
Na ciężarek ten zacznie działać siła grawitacji pochodząca tylko od części kuli o promieniu x
x
R
F =
F
M
GMx m
x2
Ale Mx = ρz V = 34 Πx3 ρz , zatem:
F =
G 34 Πx3ρz m
x2
4
= ( GΠρz m)x = kx
3
Upraszaczając stałą sprężystości mamy:
4
Rz3
GMz m
gm
k = GΠρz m ∗ 3 =
=
3
Rz
Rz3
Rz
Podstawiając do wzoru na okres drgań:
T = 2Π
r
m
= 2Π
k
s
m
gm
Rz
= 2Π
s
Rz
g
7) Drgania ładunku w obwodzie LC
Na mocy 2 prawa Kirchhoffa:
C
u
C
u
L
L
L
∆I
Q
=−
∆t
C
A porównując z równaniem ruchu drgającego:
m
∆v
= −kx
∆t
Skoro formuła matematyczna obu równań jest jednakowa to identyczne musi być
zjawisko fizyczn a zatem w obwodzie LC zachodzą drgania i podstawiając za
k = C1 i m → L do równania na okres drgań:
T = 2Π
r
m
= 2Π
k
15
s
L
1
C
√
= 2Π LC
Drgania tłumione
Analizowane dotychczas przypadki ruchu drgającego, miały tą cechę, że zakładaliśmy brak sił oporów. Założenie to upraszczało analizę, ale czyni ono daną
sytuację nierealną (wiemy przecież że wprawiony w ruch np. ciężarek na sprężynie
po pewnym czasie zatrzyma się)
Analizując ruch drgający tłumiony przyjmniemy, że siła oporu jest wprostproporcjonalna do prędkości. Równanie ruchu przyjmnie wówczas postać:
d2 x(t)
dx(t)
ma + bv + kx = 0 ⇒ m
+ kx(t) = 0
+
b
2
dt
dt
Równanie to (na x(t)) jest jeszcze trudniejsze do rozwiązania, lecz można podać
rozwiązanie i uzasadnić że takie musi być. Skoro drganie jest tłumione to jego
amplituda musi maleć w czasie, a częstotliwość musi być w przybliżeniu taka
sama. Oznacza to że rozwiązanie musi mieć człon „malejącej amplitudy” i stałej
częstotliwości, czyli:
t
2Π
x(t) = A0e− τ sin
t
T
Gdzie: τ – stała czasowa tłumienia; posiada następującą interpretację fizyczną:
jest to czas po którym amplituda drgań zmaleje do 1e % = 36, 7% wartości
początkowej, zaś T – to oczywiście okres drgań.
W zależności od relacji pomiędzy τ i T mamy następujące możliwości:
a) tłumienie słabe (τ >> T ) – amplituda drgań spada powoli i wykres
zależności x(t) ma postać:
x
t
b) tłumienie krytyczne (τ ≈ T ) – amplituda drgań maleje najszybciej jak może
16
ale nadal ruch odbywa się wokół położenia równowagi. Ten typ tłumienia wykorzystujemy by możliwie szybko tytłumić ruch drgający (np. w amortyzatorach)
wykres zależności x(t) ma postać:
x
t
c) tłumienie silne (τ << T ) – nie mamy tu już do czynienia z ruchem
drgającym, rych zanika wykładniczo i nazywa się czasem „pełzaniem” wykres
zależności x(t) ma postać:
x
t
Drgania wymuszone. Rezonans mechaniczny
Obserwowane w przypadku wahadła matematycznego lub sprężynowego drgania,
noszą nazwę drgań swobodnych.
Z uwagi na występowanie np. siły oporu powietrza drgania swobodne będą
tłumione i po pewnym czasie ustaną.
Aby podtrzymać drgania należy działać siłą zewnętrzną w określony sposób,
np. chcąc podczymać ruch huśtawki należy ją „popychać” w tą stroną w którą
aktualnie się porusza.
Wykonajmy następujące doświadczenie. Zawieszamy trzy kulki na nitkach w
sposób jak pokazany na rysunku:
17
(2)
(1)
(3)
Wprawiamy w drgania kulkę (1) i po pewnym czasie obserwujemy „przeniesienie”
się drgań na kulkę (3) i znowu na kulkę (1).
Obserwowane w powyższym doświadczeniu zjawisko to rezonans; wahadła (1) i
(3) miały tą samą długość i dlatego pomiędzy nimi następowało przekazywanie
energii drgań.
Wahadło (2) cały czas było nieruchome ponieważ jego długość a tym samym i
okres drgań był inny niż wahadeł (1) i (3)
Z uwagi na to że każdy ruch drgający rzeczywisty jest tłumiony aby go
podtrzymać należy nieustannie pobudzać drganie siłą zewnętrzną, nie może być
ona jednak stała tylko musi się zmieniać w odpowiedni sposób (np. huśtając się
na huśtawce należy wykonywać odpowiednie ruchy)
Rozważmy układ drgający którego częstotliwość drgań
q własnych wynosi f0
g
1
(np. jeżeli jest to wahadło matematyczne to f0 = 2Π
l ).
Pobudzamy ten układ zmienną sinusoidalnie siłą zewnętrzną (F =
F0 sin 2Πf t) której częstotliwość f możemy zmieniać. Okaże się że najefektywniejsze pobudzenie będzie wówczas gdy częstotliwość siły zewnętrznej
będzie równa częstotliwości drgań własnych układu. Sytuację tą nazywamy rezonansem mechanicznym, w rezonansie następuje najlepsze przekazanie energii
do układu drgającego. Równanie ruchu takiego układu będzie miało postać:
ma + bv + kx = F0 sin Ωt
Zjawisko rezonansu można wykorzystać pożytecznie (np. do bezprzewodowego
ładowania laptopów – ostatni pomysł firmy Intel, czy w medycynie do szczegółowego obrazowania tkanek – MRI) ale może być również szkodliwe (np.
omawiany na początku most Tacoma zawalił się pod wpływem bardzo słabego
18
wiatru którego powiewy dopasowały się częstotliwością do częstotliwości drgań
własnych mostu)
Zależność amplitudy drgań od częstotliwości siły wymuszającej w zależności
od siły tłumienia przedstawia następujący wykres:
A
brak tlumienia
(amplituda rosnie)
do nieskonczonosci
srednie tlumienie
silne tlumienie
f
f0
Oscylator anharmoniczny
Rozważmy następujące doświadczenie:
Ruch wahadła matematycznego zaburzamy w
w sposób pokazany na rysunku. Powstaje oscylator anharmoniczny, którego najważniejszą cechą jest zmiana położenia równowagi przy
wzroście amplitudy drgań.
Model oscylatora anharmonicznego tłumaczy
rozszerzalość termiczną ciał stałych; gdyby
drgania cieplne atomów były harmoniczne (np.
jak wahadło matematyczne) to wzrost temperatury powodowałby wzrost amplitudy drgań
ale położenie równowagi nie ulegałoby zmianie i żadnej rozszerzalności termicznej
by nie było. Założenie że drgania termiczne atomów są anharmoniczne tłumaczy
rozszerzalność termiczną ciał stałych
Składanie drgań
Składanie drgań jest wbrew pozorom procesem dość skomplikowanym nawet z
matematycznego punku widzenia (na pewno nie jest trywialne), ponieważ drganie
(x(t) = Asin(ωt + ψ)) opisują następujące parametry:
19
• kierunek w przestrzeni (x),
• amplituda (A),
• częstotliwość (f ) i okres (T ), ω = 2Πf
• faza początkowa (ψ )
Zaś mając dwa drgana należy w ogólności założyć że każdy z ich parametrów
będzie inny. Ponadto uwzględniając fizykę okaże się że proces składania drgań
nie zawsze będzie możliwy (ze względu na niespełnienie zasady superpozycji w
każdym przypadku) – będzie to dokładniej omawiane dla ruchu falowego.
Rozważmy jeden z najciekawszych przypadków składania drgań; w dwóch
wzajemnie prostopadłych do siebie kierunkach, zakładamy że drgania mają tą
samą amplitudę i są przesunięte w fazie o 90o .
x(t) = Asin(ω1t) i y(t) = Asin(ω2 t + 90o ) = Acos(ω2t)
Gdy częstotliwości będą równe:
x(t) = Asin(ωt) i y(t) = Acos(ωt)
Możemy podnieść oba równania do kwadratu i dodać stronami:
x2 + y 2 = A2sin2(ωt) + A2 cos2(ωt) = A2 (sin2(ωt) + cos2(ωt))
I otrzymamy równanie okręgu: x2 + y 2 = A2
Gdy częstotliwości nie są równe mamy dwa przypadki:
• krzywe Lissajous (Lisażu) gdy stosumek częstotliwości jest liczbą wymierną,
• nie otrzymamy nic ciekawego gdy stosumek częstotliwości jest liczbą niewymierną
Powyższą sytuację możemy zaobserwować na ekranie oscyloskopu, po podaniu
na płytki odchylania pionowego i poziomego napięć sinusoidalnych.
20