Instrukcja nr.1 - www.kms.pollub.pl

✐
✐
‘‘L01’’ --- 2014/10/17 --- 10:52 --- page 1 --- #1
✐
✐
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ
Wydział Mechaniczny
POLITECHNIKA LUBELSKA
INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 1
PRZEDMIOT
Wybrane zagadnienia z optymalizacji elementów konstrukcji
TEMAT
Rozwiązywanie zadań optymalizacji metodą graficzną
1. CEL ĆWICZENIA
Podstawowym celem ćwiczenia jest zapoznanie się studentów z metodą graficzną rozwiązywania zagadnień optymalizacji jednokryterialnej w dziedzinie
dwuwymiarowej. Przedstawione zostanie ponadto pojęcie wrażliwości funkcji celu względem zmiennych decyzyjnych; zostanie także omówiony sposób
przybliżonego jej wyznaczania na podstawie sporządzonych przebiegów izolinii funkcji celu.
2. PODSTAWY TEORETYCZNE
Proces optymalizacji jest procesem uzyskiwania „najlepszego” rozwiązania
danego zagadnienia — o ile oczywiście możliwe jest jednoznaczne określenie
miary jakości tego rozwiązania. W praktyce często dąży się do uzyskania
maksimum (na przykład zysku) lub do minimum (na przykład kosztu, objętości, ciężaru konstrukcji itd.) zgodnie z przyjętym kryterium. Stąd też
słowo optymalny w języku potocznym oznacza najczęściej maksimum lub
minimum w zależności od okoliczności i kontekstu. Pojęcie optymalny jest
także terminem technicznym i oznacza ekstremalne spośród możliwych rozwiązanie zagadnienia z uwagi na przyjęte kryterium oceny i jednocześnie
nie naruszające przyjętych ograniczeń. Termin optymalizacja będziemy zaś
rozumieć jako ogół działań prowadzących do uzyskania rozwiązania optymalnego.
— strona 1 z 6—
✐
✐
✐
✐
✐
✐
‘‘L01’’ --- 2014/10/17 --- 10:52 --- page 2 --- #2
✐
✐
Teoria optymalizacji jest działem matematyki obejmującym badania ilościowe i jakościowe rozwiązań optymalnych i poszukującym sposobów wyznaczania tych rozwiązań. Stanowi część szerszego działu matematyki, jakim
są badania operacyjne — tj. dyscypliny naukowej związanej z teorią podejmowania decyzji i rozwiązywania problemów związanych z podjęciem decyzji
optymalnych.
Sformułowanie i rozwiązanie każdego zagadnienia optymalizacji można
sprowadzić do następujących, kluczowych etapów:
• wybór zmiennych zadania optymalizacji — tzw. zmiennych decyzyjnych.
Są to wielkości poszukiwane w toku rozwiązywania zagadnienia; przykładowo może to być średnica elementu, długość elementu, rodzaj użytego
materiału itp.,
• wybór funkcji celu zadania optymalizacji, tj. kryterium oceny uzyskiwanych rozwiązań. Wybrane w poprzednim kroku zmienne decyzyjne
mają bezpośredni wpływ na wartość funkcji celu. W zagadnieniach konstrukcyjnych jednym z najczęstszych kryteriów jest minimum ciężaru
konstrukcji,
• określenie ograniczeń jakim podlegają wybrane zmienne decyzyjne (np.
wielkości wymiarowe muszą być nieujemne, profile elementów są dobierane z katalogu dostępnego asortymentu itp.), bądź też ograniczeń jakim
może podlegać inne zmienne stanu, które zależą od tych zmiennych decyzyjnych — np. naprężenia w konstrukcji nie mogą przekroczyć naprężeń
dopuszczalnych,
• dobór metody rozwiązania (algorytmu), najczęściej typowego dla danej
klasy zagadnienia, i rozwiązanie zadania.
Z powyższych zapisów wynika, że zarówno funkcja celu, jak i przyjęte ograniczenia muszą być funkcjami jednej lub wielu zmiennych zadania
optymalizacji. Zależności te, w niektórych przypadkach mogą mieć postać
funkcji niejawnych. Ponadto należy zauważyć, że poszukiwanie rozwiązania
optymalnego ma sens tylko wtedy, gdy postawione zagadnienie ma wiele
rozwiązań; spośród tego zbioru bowiem wybierane jest optimum. W sytuacji
gdy problem ma tylko jedno rozwiązanie, to rozwiązanie to automatycznie
jest rozwiązaniem optymalnym.
— strona 2 z 6—
✐
✐
✐
✐
✐
✐
‘‘L01’’ --- 2014/10/17 --- 10:52 --- page 3 --- #3
✐
✐
Posługując się formalizmem matematycznym każde zadanie optymalizacji można zatem zapisać następująco:
• wyznaczyć wektor zmiennych decyzyjnych
x = {x1 , x2 , . . . xn } ∈ Rn
(1)
min f (x)
(2)
• tak, aby
x
• wobec
gj (x) ¬ 0
j = 1, 2, . . . , m
hj (x) = 0
j = 1, 2, . . . , r
(3)
W powyższym zapisie symbol x = {x1 , x2 , . . . xn } oznacza n-wymiarowy
wektor zmiennych decyzyjnych (zadanie n-wymiarowe); każdy z elementów
xi tego wektora stanowi jedną zmienną decyzyjną. Zapis gj (x) oznacza funkcje skalarne ograniczeń nierównościowych zadania nałożonych na zmienne
decyzyjne x, zaś hj (x) funkcje skalarne ograniczeń równościowych. Ponadto,
w literaturze przedmiotu zwyczajowo przyjmuje się, że poszukiwane rozwiązanie optymalne oznaczane jest x⋆ .
Uzupełnieniem rozwiązania zadania optymalizacyjnego jest przeprowadzenie analizy wrażliwości uzyskanego optimum. Celem jest zbadanie wpływu niewielkich odchyłek poszczególnych zmiennych decyzyjnych xi na, albo
wielkości opisujące zachowanie się tej konstrukcji wyrażone zmiennymi stanu (przykładowo naprężenia lub przemieszczenia), albo też bezpośrednio na
wartość funkcji celu. Analiza wrażliwości jest zatem narzędziem nieodzownym do przewidywania zachowania się konstrukcji po zmianie parametrów
modelu lub przyjętego rozwiązania.
Z matematycznego punktu widzenia analiza wrażliwości sprowadza się
do wyznaczenia n-elementowego wektora gradientu
d f (x)
=
dx
∂f (x) ∂f (x) ∂f (x)
,
,...,
x1
x2
xn
x=x⋆
(4)
w otoczeniu punktu optymalnego x⋆ .
— strona 3 z 6—
✐
✐
✐
✐
✐
✐
‘‘L01’’ --- 2014/10/17 --- 10:52 --- page 4 --- #4
✐
✐
W przypadku prostych zadań optymalizacji należących do klasy zagadnień dwuwymiarowych rozwiązanie problemu można stosunkowo łatwo wyznaczyć metodą graficzną. Postępowania polega na wykreśleniu na płaszczyźnie układu współrzędnych (x1 , O, x2) dziedziny rozwiązań dopuszczalnych — patrz przykład na 1-a. Następnie na schemat ten należy nanieść izolinię, która stanowi zbiór punktów, w których funkcja celu f (x) przyjmuje
dowolnie wybraną stałą wartość, np. C1 . Dobierając kolejne wartości stałej C
uzyskuje się rodzinę izolinii funkcji celu. Analizując przebieg tych krzywych
w odniesieniu do dziedziny problemu można wyznaczyć punkt, w którym
funkcja celu przyjmie wartość ekstremalną. Przykładowo, jeśli stałe C na
rysunku 1-b spełniają zależność C1 < C2 < . . . < Ci to wyznaczony punkt
x⋆ jest ekstremum maksimum zadania.
Rysunek 1. Przykład rozwiązania zadania optymalizacji metodą graficzną. (a)
dziedzina rozwiązania wyznaczona przez ograniczenia g1 (x), . . . , g4 (x); (b) naniesione izolinie funkcji celu f (x) dla różnych wartości stałych Ck
3. PRZEBIEG ĆWICZENIA
Prowadzący zajęcia przydzieli każdemu zespołowi laboratoryjnemu zadnie
do rozwiązania. Będzie to zadanie optymalizacji jednokryterialnej w dziedzinie dwuwymiarowej (wektor zmiennych decyzyjnych jest wektorem dwuelementowym x = {x1 , x2 }). Studenci rozwiązują zadanie metodą graficzną
postępując według schematu:
— strona 4 z 6—
✐
✐
✐
✐
✐
✐
‘‘L01’’ --- 2014/10/17 --- 10:52 --- page 5 --- #5
✐
✐
• Wykreślić osie układu współrzędnych x1 , x2 i przyjąć jednostki dla każdej
z osi.
• Wyznaczyć dziedzinę rozwiązań dla podanego zagadnienia uwzględniając
funkcje ograniczeń nierównościowych (3).
• Korzystając z kalkulatora i przyrządów kreślarskich narysować rodzinę
izolinii funkcji celu (f (x1 , x2 ) = C = const.). Wypełnić tabelę 1. Na
podstawie przebiegu izolinii określić przybliżony przebieg powierzchni
funkcji celu.
• Spośród wykreślonych izolinii wybrać tę, która zawiera rozwiązanie optymalne.
• W punkcie będącym rozwiązaniem zagadnienia wyznaczyć wrażliwość
rozwiązania względem każdej ze zmiennych decyzyjnych bazując na zależnościach (4).
4. OPRACOWANIE WYNIKÓW
Wyniki cząstkowe wyznaczania izolinii funkcji celu należy wpisać do Tabeli
1. Po rozwiązaniu zadania i wyznaczeniu wrażliwości należy wpisać uzyskane
wyniki do Tabeli 2
Tabela 1. Wyznaczenie izolinii funkcji celu
C1 = . . .
x1 :
x2 :
C2 = . . .
x1 :
x2 :
..
.
Ci = . . .
x1 :
x2 :
— strona 5 z 6—
✐
✐
✐
✐
✐
✐
‘‘L01’’ --- 2014/10/17 --- 10:52 --- page 6 --- #6
✐
✐
Tabela 2. Rozwiązanie zadania i wyniki obliczeń wrażliwości df (x)/dx w punkcie
optymalnym x⋆
x1 [ ]
x2 [ ]
∂f (x1 ,x2 ) ⋆
∂x1
x
[ ]
∂f (x1 ,x2 ) ∂x2
[ ]
x⋆
5. SPRAWOZDANIE
Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać:
1.
2.
3.
4.
Tabelkę identyfikacyjną.
Cel ćwiczenia.
Sformułowanie zadania optymalizacji wg. (1)-(3)
Arkusz obliczeń będący podstawą wyznaczenia izolinii funkcji celu (kilka
wybranych punktów dla każdej z izolinii) — Tabela .
5. Obliczenia wrażliwości rozwiązania optymalnego względem obu zmiennych decyzyjnych w otoczeniu rozwiązania optymalnego.
6. Arkusz zawierający schemat rozwiązania metodą graficzną (papier milimetrowy).
7. Wnioski
Uwaga
Studenci przystępujący do ćwiczenia zobowiązani są posiadać kalkulator oraz
arkusz papieru milimetrowego formatu A3 i komplet przyrządów kreślarskich —
w tym krzywiki.
— strona 6 z 6—
✐
✐
✐
✐