Optymalizacja konstrukcji

Optymalizacja konstrukcji
9 Kształtowanie konstrukcyjne:
⇒ nadanie właściwych cech konstrukcyjnych
przeszłej maszynie
⇒ określenie z jakiego punktu widzenia (wg
jakiego kryterium oceny) będą oceniane
alternatywne rozwiązania konstrukcyjne.
9 Ścisłe (sformułowane matematycznie) określenie
punktu widzenia ⇒ funkcja celu (funkcja jakości,
funkcja efektywności)
9 Punkt oceny ⇒ kryterium optymalizacji.
optymalizacji
Optymalizacja to działalność, której celem
jest uzyskanie najlepszego rezultatu w
danych warunkach i dla określonej funkcji
celu.
Najlepszy z otrzymanych wyników nazywa
się optymalnym.
Optymalizacja - myślenie w
kategoriach celów
Przykład: lornetka
Kryterium optymalizacji (zmienna zależna) ⇒ ostrość obrazu
Zmienna niezależna ⇒ odległość soczewek
optimum
ostrość obrazu
Wartość optymalna ⇒ najostrzejszy obraz
odległość soczewek
Optymalizacja to działalność, której celem
jest uzyskanie najlepszego rezultatu w
danych warunkach i dla określonej funkcji
celu.
Najlepszy z otrzymanych wyników nazywa
się optymalnym.
Projektowanie
Sformułowanie problemu
Model problemu
Optymalizacja
Po co optymalizować?
•
•
•
•
•
•
Korzyści finansowe
Usprawnienie działania
Podniesienie efektywności pracy
Poprawa niezawodności
Poprawa bezpieczeństwa
Zmniejszenie zużycia zasobów
Kryteria optymalizacji
•
•
•
•
•
•
Koszt
Opóźnienie (szybkość działania)
Niezawodność
Efektywność
Zużycie zasobów
Bezpieczeństwo
Ograniczenia w optymalizacji
•
•
•
•
•
•
•
Koszt
Opóźnienie (szybkość działania)
Niezawodność
Efektywność
Zużycie zasobów
Bezpieczeństwo
Inne
Załóżmy, że rozpatruje się trzy rodzaje przekładni
o tej samej mocy i przełożeniu :
– ślimakową,
– planetarną,
– walcową.
Załóżmy też, że kryterium optymalizacji są
najmniejsze gabaryty tej przekładni, które można
wyrazić w funkcji pozostałych cech
konstrukcyjnych.
Z punktu widzenia zadanego kryterium a więc
wymiarów gabarytowych, optymalnym
rozwiązaniem jest przekładnia planetarna.
Model matematyczny konstrukcji
9Zbudowanie funkcji celu, niezbędnej w
procesie optymalizacji konstrukcji,
wymaga zapisu cech konstrukcyjnych
maszyny (geometrycznych, materiałowych
i dynamicznych) w postaci układu liczb i
funkcji.
9Uzyskany w ten sposób zapis nazywa się
modelem matematycznym konstrukcji.
Dla potrzeb modelowania matematycznego,
konstrukcję K można potraktować jako punkt
w pewnej przestrzeni N-wymiarowej
czynnikowej, co można zapisać następująco:
K = (C1,C2,...,CN) ∈ RN
gdzie:
K- konstrukcja,
Ci - cechy konstrukcji,
RN- przestrzeń konstrukcji.
Jeżeli wszystkie współrzędne wektora K są
liczbami, to taki punkt można traktować jako
element N - wymiarowej przestrzeni
euklidesowej EN:
K = (C1, C2,...,CN)∈ EN
Wektor K należący do przestrzeni konstrukcji
jednoznacznie opisuje konstrukcję.
Niech opisywanym elementem będzie śrubowa sprężyna naciskowa.
α
D
Dw
Dz
p
d
Umiejscowienie jej środka ciężkości w
maszynie można określić za pomocą wartości
liczbowych trzech współrzędnych: x, y i z.
Następne współrzędne mogą opisywać, np.
średnicę drutu d, średnicę nawinięcia drutu Dw,
granicę plastyczności materiału sprężyny Re,
wartość siły napięcia wstępnego Pw, itp.
Wszystkie cechy opisujące konstrukcję można
podzielić na:
¾ parametry P
¾ zmienne decyzyjne X.
Parametry P są zadane i ich wartość jest
niezmienna w procesie projektowania.
Zmienne decyzyjne X są dobierane w procesie
projektowania.
W przypadku rozpatrywanej sprężyny:
™ parametrami P mogą być np.: wartość siły
napięcia wstępnego i wymiary zewnętrzne
sprężyny,
™ zaś zmiennymi decyzyjnymi X, np. średnica
drutu, granica plastyczności materiału
sprężyny (materiał sprężyny).
Biorąc pod uwagę podział cech konstrukcyjnych na
parametry P i zmienne decyzyjne X, konstrukcje
można formalnie zapisać następująco:
K = (P1, P2,...,PN; X1,X2,...XM) ∈ EK
Zbiór zmiennych decyzyjnych X można traktować
jako punkt x w pewnej przestrzeni, zwanej
przestrzenia zmiennych decyzyjnych (przestrzenia
rozwiązań) Ex:
x = (x1, x2,…,xn) ∈ Ex
9 Na złożoność modelu matematycznego
wpływa głownie liczba zmiennych
decyzyjnych - im jest ona większa, tym
trudniejsze i kosztowniejsze jest
prowadzenie obliczeń.
9 Z drugiej zaś strony, ograniczenie liczby
zmiennych decyzyjnych i ustalenie dużej
liczby cech konstrukcyjnych jako
parametrów zawęża możliwości
poszukiwana najlepszych rozwiązań.
Matematyczne sformułowanie
szczegółowych i ogólnych zasad
konstrukcji
9Projektant może przyjmować tylko
określone wartości zmiennych
decyzyjnych X.
9Wynika to z ograniczeń narzuconych na
poszczególne zmienne decyzyjne i na
konstrukcję jako całość.
9 Ograniczenia te wynikają ze
szczegółowych zasad konstrukcji.
Zgodnie z pierwszą zasadą, konstrukcja powinna
spełniać wszystkie ograniczenia wynikające ze
szczegółowych zasad w stopniu nie mniejszym od
założonego.
Z matematycznego punktu widzenia, ograniczenia
te mogą mieć charakter nierównościowy:
bi(x)= bi(x1,x2,...,xn)< 0;
i = 1,2,...,m
lub równościowy:
gj(x)=gj( x1,x2,...,xn)=0; j=1,2,...,p
Dla każdej zmiennej decyzyjnej xi można
ustalić wstępnie zakres jej zmienności:
ximin ≤ xi ≤ ximax;
i = 1,...,n
Na skutek ograniczeń wynikających ze
szczegółowych zasad konstrukcji przedział
ten ulega zawężeniu.
Niektóre zmienne decyzyjne mogą
przyjmować dowolne wartości z ciągłego
przedziału [ximin,ximax], a inne mogą
przyjmować tylko wartości dyskretne.
Zmienne decyzyjne wynikające ze
względów fizycznych i technologicznych,
takie jak np.:
¾ wymiary,
¾ obciążenia,
¾ naprężenia., itp.
mają z reguły charakter ciągły.
Zmienne decyzyjne ściśle określone przez
normy, takie jak np.:
¾ moduły kół zębatych,
¾ wymiary łożysk tocznych,
¾ wymiary śrub, nitów, itp.,
mają charakter dyskretny i ich zakres
zawęża się do zbioru liczb dyskretnych.
Inne wartości zmiennych decyzyjnych są
dyskretne z założenia, np. liczba zębów w
kole zębatym.
Jednakże, zdecydowana większość
ograniczeń ma charakter nierównościowy,
np.:
¾ liczba zębów w kole zębatym nie może być
mniejsza niż graniczna liczba zębów,
¾ obciążenie nie może wywoływać naprężeń
większych od dopuszczalnych,
¾ prędkość obwodowa czopa podczas
smarowania hydrodynamicznego musi być
większa od granicznej.
W procesie budowy modelu matematycznego
konstrukcji K wszystkie ograniczenia
wynikające ze szczegółowych zasad
konstrukcji musza być przedstawione w
postaci jednoznacznej matematycznie, tak
aby dla dowolnego wektora zmiennych
decyzyjnych X można było jednoznacznie
stwierdzić, czy należy on do zbioru rozwiązań
dopuszczalnych, a więc czy są spełnione
wszystkie ograniczenia, czy też nie.
Zbiór punktów w przestrzeni zmiennych
decyzyjnych X, w których spełnione są
wszystkie ograniczenia narzucone przez
konstrukcję K, nazywa się zbiorem
dopuszczalnym lub zbiorem rozwiązań
dopuszczalnych:
Φ= Φ (x)⊂ Ex
W celu wyboru ze zbioru rozwiązań
dopusczalnych Φ rozwiązania najlepszego,
konieczne jest ustalenie kryteriów
optymalizacji Q.
Druga ogólna zasada konstrukcji mówi, że
konstrukcja powinna być optymalna (polioptymalna)
w danych warunkach ze względu na przyjęte
kryterium optymalizacji, np.:
9 najmniejszy ciężar,
9 największa wytrzymałość, itp.
Problem jednokryterialny
9 zagadnienie do
rozwiązania (decyzja do
podjęcia)
9 wybór odbywa się w
oparciu o jedno
reprezentatywne
kryterium oceny
– np. problem wyboru pojazdu
• cena zakupu
Problem wielokryterialny
9 zagadnienie do
rozwiązania (decyzja do
podjęcia)
9 wybór odbywa się w
oparciu o więcej niż
jedno kryterium oceny
– np. problem wyboru
pojazdu o najwyższej jakości
• trwałość,
• niezawodność,
• wyposażenie,
• ....
Zadanie optymalizacji można przedstawić w
kategoriach działania praktycznego, tj.
osiągnięcie:
– pożądanego efektu przy najmniejszych
nakładach,
– największego efektu przy wykorzystaniu
zadanych nakładów.
9 Reguły te maja charakter praw
ekonomicznych i już w tym podejściu
widać jak istotny jest dobór kryteriów.
9 Szczególnie niebezpieczne jest uleganie
wyłącznie kryteriom ekonomicznym.
9 Może to bowiem prowadzić do
niebezpiecznych skutków ekologicznych,
społecznych, a nawet technicznych.
9 W procesie, projektowania należy przede
wszystkim uwzględniać kryteria
techniczne, nie zapominając jednak o
ekonomicznych.
9 Kryteria techniczne wynikają ze
szczegółowych zasad konstrukcji.
9 Są to kryteria funkcjonalności, trwałości,
niezawodności, sprawności, lekkości,
taniości i dostępność materiałów, itp.
W projektowaniu wspomaganym
komputerowo należy każde kryterium
przedstawić jako funkcję zależną od
zmiennych decyzyjnych X.
Model matematyczny konstrukcji ⇒ wektor
zmiennych decyzyjnych x, zbiór rozwiązań
dopuszczalnych Φ i kryterium optymalizacji
Q, można zapisać następująco:
x = (x1,x2,...,xn)∈ Ex
Φ = Φ (x)⊂ Ex
Q = f(x1,x2,...,xn)
Metody poszukiwania rozwiązań
optymalnych
Ogólnie można je podzielić na dwie
zasadnicze grupy:
– metody analityczne, np. metoda
pochodnych, metoda wariacyjna,
metoda wyznaczników Lagrange'a,
– metody numeryczne, np.
programowanie liniowe (metoda
Simplex), programowanie nieliniowe.
Przykład - zadanie
Przesyłki przewożone na statku mogą być
pakowane w skrzynie, których suma
wszystkich boków podstawy i wysokości nie
przekracza 240 cm, zaś podstawa jest
kwadratem.
W przeciwnym razie naliczane są opłaty
dodatkowe.
Obliczyć wymiary skrzyni maksymalizujące
jej objętość.
H
x
x
Metoda pochodnych
Metoda pochodnych zasadza się na wyznaczeniu
dwóch pochodnych w celu znalezienia wartości
ekstremalnych danej funkcji celu Q(x).
W pierwszym kroku, dla znalezienia wartości
ekstremalnych, wyznacza się pierwszą pochodną
funkcji Q(x) i przyrównuję się ją do zera a następnie
oblicza się wartość zmiennej niezależnej x.
dQ
=0
dx
Równanie to pozwala na wyznaczenie wartości
ekstremalnych.
W kroku drugim wyznacza się druga pochodną
funkcji Q(x).
Jeśli wyznaczone wartości ekstremalne są mniejsze
od zera to funkcja osiąga maksimum, jeśli większe
od zera to funkcja osiąga minimum.
d 2Q
<0
2
dx
funkcja Q(x) osiąga maksimum
2
dQ
>0
2
dx
funkcja Q(x) osiąga minimum
Funkcja celu ma postać:
Q(x ) = x ⋅ H
2
Ograniczenie równościowe ma postać:
b( x ) = H + 4 x − 240 = 0
Wyznaczając H z poprzedniego równania:
H = −4 x + 240
i podstawiając do funkcji celu uzyskuje się:
Q( x ) = −4 x + 240 x
3
2
Pierwsza pochodna ma postać:
dQ
2
= −12 x + 480 x = 0
dx
Rozwiązaniem tego równania są wartości:
x1 = 0 oraz x2 = 40.
W celu upewnienia się czy funkcja Q(x)
osiąga maksimum przy x2 = 40, wyznacza się
drugą pochodną:
2
dQ
=
−
24
x
+
480
=
0
2
dx
i oblicza się jej wartość dla x2 = 40:
2
dQ
2
dx
= −480
x1 = 40
Następnie oblicza się H z zależności na
ograniczenie równościowe:
H = 240 − 4 x = 240 − 4 ⋅ 40 = 80 cm
Wówczas największa pojemność skrzyni
wyniesie:
V = x ⋅ H = 40 ⋅ 80 = 128000 cm
2
2
3