WYKŁAD nr 1

1
WYKŁAD nr 1
1.
Wstęp
1.1
Wprowadzenie do zagadnień optymalizacji
Można przyjąć , że każde zadanie inżynierskie jest wywołane określoną
potrzebą społeczną , a jego rozwiązaniem jest osiągnięcie konkretnego celu.
Realizacja działań prowadzących do tego celu odbywa się w określonych
warunkach, podlega wielu ograniczeniom, a samo osiągnięcie celu może być na
ogół poddane ocenie jakościowej.
Zasada racjonalnego gospodarowania (gdy cel i środki można uznać za
skwantyfikowane ) wymaga , aby przy danym nakładzie środków osiągnąć
maksimum realizacji celu, bądź też aby stopień realizacji celu osiągnąć przy
minimalnym nakładzie środków . Pierwszy wariant postępowania zwany jest
zasada największego efektu, drugi zasada oszczędności środków. Sposób użycia
środków zgodny z zasadą racjonalnego gospodarowania nazywamy optymalnym ,
a zużycie środków w sposób nieoptymalny – marnotrawstwem. Pomimo ogromnej
różnorodności problemów technicznych i ekonomicznych związanych z
poszukiwaniem rozwiązań optymalnych , tzn. spełniających wymagania zasady
racjonalnego gospodarowania lub ogólniej- najlepszy ze względu na przyjęty
sposób oceny , wszystkie one dadzą się sformułować w dość jednolity sposób.
Na ogół w optymalizowanym problemie występuje więc pewna funkcja
wielu zmiennych
z = f ( x1 , x2 ,..., xn )
(1.1)
nazwana funkcją kryterialną lub funkcją celu lub wskaźnikiem jakości dla której
należy wyznaczyć wartości zmiennych decyzyjnych x1 , x2 ,..., xn określających
maksimum lub minimum tej funkcji.
Zmienne decyzyjne muszą przy tym spełniać pewne warunki uboczne ,
• zapisywane w postaci układu „m” równań lub nierówności
g i ( x1 , x 2 ,..., x n ) ≤, =, ≥ bi
i = 1,..., m
(1.2)
nazwanego układem ograniczeń
• oraz często tzw. warunki brzegowe , np. x j ≥ 0 dla j = 1,.., n
Zapoznamy się z metodami wyznaczania zmiennych decyzyjnych spełniających
nałożone na nie warunki , maksymalizujących lub minimalizujących funkcję celu
f (•) co będziemy oznaczać
f (•) → max lub f (•) → min
(1.3)
2
1.2.
Podział zadań optymalizacji
Zadania optymalizacji , można sklasyfikować wg kilku różnych kryteriów,
a mianowicie :
1.
ze względu na postać funkcji celu i postaci ograniczeń:
a) zadania programowania liniowego (funkcja celu i układ ograniczeń –
są liniowe),
b) zadania programowania nieliniowego, w tym
• zadania programowania kwadratowego (funkcja celu w
postaci sumy formy liniowej i kwadratowej , ograniczenia
liniowe ),
• zadania programowania wypukłego (minimalizacja
wypukłej funkcji celu ograniczenia tworzą zbiór wypukły),
• zadania programowania geometrycznego (minimalizacja
sumy iloczynów potęg zmiennych decyzyjnych ).
2.
ze względu na typ zmiennych decyzyjnych :
a) zadania całkowitoliczbowe ,
b) zadania zerojedynkowe ( zmienne decyzyjne przybierać mogą
tylko wartości 0 lub 1 ),
c) zadania mieszane.
3.
ze względu na charakter współczynników przy zmiennych decyzyjnych :
a) zadania deterministyczne (wszystkie współczynniki i prawe strony
układu ograniczeń są znane),
b) zadania losowe (niektóre współczynniki lub prawe strony
ograniczeń są zmiennymi losowymi ).
4.
ze względu na liczbę funkcji celu :
a) zadania jednokryterialne (skalarna funkcja celu)
b) zadania wielokryterialne (więcej niż jedno kryterium , funkcja celu
wektorowa)
5.
zadania optymalizacji statycznej ( funkcja celu , ograniczenia nie są
funkcjami innych zmiennych),
6.
zadania optymalizacji dynamicznej (funkcja celu tzw. funkcjonał ( funkcja
funkcji) i ograniczenia są równaniami różniczkowymi innych
zmiennych ( najczęściej czasu t ).
7.
ze względu na metodę rozwiązania:
a) metody analityczne,
b) metody numeryczne.
Na ogół , każde zadanie optymalizacji można zaliczyć jednocześnie do kilku z
wyżej wymienionych rodzajów, na przykład tzw.
3
Zadania
optymalizacji
Zadania
programowania
liniowego
metody analityczne
Zadania
programowania
nieliniowego
optymalizacja
statyczna
metody numeryczne
graficzne
m.Simplex
rozwiązania bazowe
m. reverse Simplex
inne
metody wykorzystujące
warunki konieczne i
istnienie funkcji kryterialnej
Metoda
Mnożników Lagrange'a
Metoda wykorzystująca
warunki Kuhna-Tuckera
zadania bez
ograniczeń
metody
analityczne
metody
analityczne
zadania z
ograniczeniami
równościowymi
metody
numeryczne
Zasada optymalności Bellmana
Zasada max Pontiagina
M.funkcjonałów Lagrange'a
metody
numeryczne
zadania z
ograniczeniami
nierównościowymi
Programowanie dynamiczne
M.gradientu w przestrzeni funkcyjnej sterowań
metody
bezgradientowe
M.Hooka-Jeevesa
M.rosenbrocka
M.Gausa-Seidela
M. gradientu prostego
Zmodyfikowana
m.Newtona
metody
gradientowe
M. z zastosowaniem funkcji kary
M. z zastosowaniem modyfikacji kierunków
Rys.1.1
optymalizacja
dynamiczna
zadania
bez ograniczeń
zadania
z ograniczeniami
Przykładowy podział zadań optymalizacji
zadanie transportowe można określić jako całkowitoliczbowe deterministyczne
zadanie programowania liniowego z jednym kryterium,
zadanie optymalizacji pracy zbiornika zasilającego w wodę kilku użytkowników
przy znanej funkcji dopływu do zbiornika, jako dynamiczne zdeterminowane
zadanie programowania nieliniowego z jedną funkcja celu.
4
Analizując podaną wyżej ogólną postać zapisu zadania optymalizacyjnego
zauważmy , że różni się ona od sformułowania znanych nam dotychczas
elementarnych zadań wyznaczania ekstremum funkcji wielu zmiennych, istnieniem
ograniczeń zawężających obszar , w którym poszukiwane maksimum lub minimum
ma występować.
Bardzo często się zdarza ,że poszukiwane rozwiązanie znajduje się właśnie na
granicy tego obszaru , co znacznie komplikuje całe zagadnienie. Ponadto ,
zwłaszcza w problemach technicznych , często funkcja celu nie jest
różniczkowalna bądź wskutek występujących w niej nieciągłości, bądź w skutek
postaci , dla której możliwe jest jedynie przybliżone ( numeryczne ) wyznaczenie
pochodnych .
Najczęściej , niezależnie od przyjętej techniki , rozwiązywania zadania
optymalizacji przebiega w co najmniej dwóch etapach :
1. Zostaje wyznaczone rozwiązanie dopuszczalne (jeżeli istnieje) , tzn. taki
wektor x = ( x1 , x 2 ,..., x n ), którego składowe spełniają układ ograniczeń
oraz warunki brzegowe.
2. Zostaje wyznaczone rozwiązanie optymalne , dla którego nie tylko
spełnione są ograniczenia , ale i funkcja celu osiąga wartość ekstremalną
.Może też okazać się , że zadanie nie posiada rozwiązania , bądź też
posiada nieskończenie wiele rozwiązań optymalnych.
Warto pamiętać ,że często przy optymalizacji zadań wynikających z problemów
technicznych rozwiązania dopuszczalne są znane , a więc wystarczy poszukiwać
jedynie rozwiązania optymalnego .