PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

1
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
poziom rozszerzony
ZADANIA ZAMKNIĘTE
W każdym z zadań 1.–4. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź.
1
2
i l4: 9x – 13y – 58 = 0. Wszystkie one przechodzą przez punkt (18, 8).
A. Prosta l3 jest obrazem prostej l4 w symetrii względem prostej l2.
B. Prosta l4 jest obrazem prostej l2 w symetrii względem prostej l3.
C. Prosta l2 jest obrazem prostej l1 w symetrii względem prostej l4.
D. Prosta l1 jest obrazem prostej l3 w symetrii względem prostej l4.
1
3
Zadanie 1. (0–1) Dane są proste l1: y = 2x – 28, l2: y = x – 1, l3: y = x + 2
Zadanie 2. (0–1) Niech a = log23 i b = log53. Wtedy
1 1
+ a b
ab
C. log 3 =
a+b
A. log3100 =
B. log3100 = 2a + 2b
D. log 3 = ab
Zadanie 3. (0–1) Wyrażenie sin a + 3cos a nie może osiągnąć większej wartości niż
wtedy, gdy
A. α =
1
1
1
5
π B. α = π C. α = π D. α = π
6
3
2
3
Zadanie 4. (0–1) Rzucamy 8 razy kostką. Spośród poniższych zdarzeń wybierz najbardziej
prawdopodobne.
A. Pierwsza szóstka wypadła w pierwszym rzucie, a druga szóstka w ósmym rzucie.
B. Pierwsza szóstka została wyrzucona za drugim razem, a druga szóstka w siódmym rzucie.
C. Pierwsza szóstka wypadła przy trzecim rzucie, a druga szóstka w szóstym rzucie.
D. Pierwsza szóstka wypadła w czwartym rzucie, a druga szóstka w piątym.
ZADANIA Z KODOWANĄ ODPOWIEDZIĄ
W zadaniach 5. i 6. zakoduj we wskazanym miejscu wynik zgodnie z poleceniem.
Zadanie 5. (0–2) Kod składa się z czterech znaków, wśród których musi być przynajmniej
jedna cyfra i przynajmniej jedna duża i jedna mała litera. Na klawiaturze jest 26 liter i 10 cyfr.
Ile kodów można w ten sposób utworzyć? Wpisz w kratki trzy pierwsze (od lewej strony) cyfry
odpowiedzi. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
2
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
Zadanie 6. (0–2) Dwa różne rozwiązania równania x2 – 11x + 1 = 0 to x1 i x2. Bez rozwią-
zywania tego równania oblicz wartość (x1)5 + (x2)5.
Zakoduj występujące w obliczonej liczbie różne cyfry od najmniejszej do największej.
ZADANIA OTWARTE
Zadanie 7. (0–2) Rozwiąż nierówność
2 x( x + 3)
x+3
≤
dla x ≠ –2 i x ≠ 5.
( x + 2)( x − 5) ( x + 2)( x − 5)
D
Zadanie 8. (0–2) W niewypukłym czworokącie ABCD dane są
x
długości boków: |AB| = 4, |BC| = 3, |CD| = 5, |AD| = 6 oraz kąt wklęsły ABC = 300°. Na rysunku kąt ADC oznaczony został jako x.
a) Oblicz cos x.
b) Oblicz pole czworokąta ABCD.
300°
5
B
6
3
4
C
A
Zadanie 9. (0–3) Udowodnij, że wyrażenie W(n) = (n2 – 10n + 24)(n2 – 8n + 15) jest dla
każdego n = 0, 1, 2, 3, ... podzielne przez największy wspólny dzielnik W(0) i W(7).
Zadanie 10. (0–3) a) Na ile sposobów można dojść z S do F zgodnie z kierunkiem strzałek?
b) Na ile sposobów można dojść z S do F zgodnie z kierunkiem strzałek, a potem wrócić przeciwnie do kierunku strzałek do S inną drogą?
A
D
S
B
F
E
C
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
3
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
Zadanie 11. (0–3) Na pewną groźną chorobę choruje 1% całej populacji. Przygotowano
tani i łatwy w użyciu test na tę chorobę. Test jest wygodny, ale nie jest w pełni dokładny. Test
wykrywa chorobę u chorej osoby tylko w 99% przypadków, natomiast test może wskazać, że
osoba jest chora, nawet jeśli osoba jest zdrowa, ale zdarza się to tylko w 2% przypadków.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba jest zdrowa, mimo że test był dodatni?
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli test był ujemny, to testowana osoba była chora?
Zadanie 12. (0–3) a) Udowodnij, że prosta l: 3x + 4y – 19 = 0 jest styczna do okręgów o1
i o2, gdzie
o1: (x – 2)2 + (y – 2)2 = 1 oraz
o2: (x – 6)2 + (y – 4)2 = 9.
b) Obie proste y = 1 i x = 3 są styczne do obu okręgów. Naszkicuj rysunek okręgów o1 i o2,
prostej l, prostej y = 1 i prostej x = 3 w układzie współrzędnych.
Znajdź równanie czwartej prostej stycznej do okręgów o1 i o2. Narysuj ją.
Zadanie 13. (0–3) Udowodnij, że czworokąt mający kolejne boki o długości 21, 15, 7 i 13
może być trapezem. Oblicz jego pole.
Zadanie 14. (0–3) Pierwszy odcinek koła
o polu P1 powstał z okręgu o środku O i promieniu r = |OR1| = |OS1| po odcięciu odcinkiem R1S1. Drugi odcinek koła powstał nastęS
pująco: prosta prostopadła do półprostej OR1
S
i przechodząca przez S1 przecina półprostą
S
OR1 w punkcie R2. Odcinek S2R2 odcina od
koła o środku w O i promieniu |OR2| = |OS2|

odcinek o polu P2. Po zatoczeniu łuku o środ- O
R R R
ku w O i promieniu OR2 powstaje punkt S3 na
półprostej OS1 itd. powstaje nieskończony ciąg odcinków coraz mniejszych kół. Oblicz sumę
nieskończonej liczby wszystkich tych odcinków kół i określ ją jako funkcję a (wyrażonego
w radianach) i r.
1
2
3
3
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
2
1
4
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
Zadanie 15. (0–4) Od czworościanu foremnego ABCD o krawę-
dzi 4 odcięto płaszczyzną przechodzącą przez punkt B′ na krawędzi
AB, punkt C ′ na krawędzi AC i D′ na krawędzi AD ostrosłup AB′C′D′,
przy czym |AB′| = 3, |AC′| = 2, |AD′| = 1.
a) Oblicz objętość ostrosłupa ABCD i AB′C′D′.
b) Oblicz wysokość ostrosłupa AB′C′D′, gdy za jego podstawę przyjmiemy B′C′D′.
Zadanie 16. (0–4) W trójkącie ABC zaznaczo-
D
D′
C
C′
A
B′
B
C
no punkt A′ na boku BC, tak że |A′B| : |A′C| = 1 : 2,
i punkt B′ na boku AC, tak że |B′A| : |B′C| = 3 : 1.
Odcinki AA′ i BB′ przecinają się w punkcie D.
Prosta CD przecina odcinek AB w punkcie C′.
Pole trójkąta BA′D jest równe 14.
a) Oblicz pole trójkąta ABC.
b) Oblicz stosunek |CD| : |DC′|.
B′
D
A
A′
14
B
C′
Zadanie 17. (0–4) Pole powierzchni całkowitej stożka to π.
a) Jaka jest możliwie największa objętość takiego stożka?
b) Jakim trójkątem jest przekrój osiowy stożka o największej objętości?
Zadanie 18. (0–4) W graniastosłupie prostym prostokątnym
ABCDEFGH krawędzie podstawy mają długość 3 i 4 (|AB| = 4,
|BC| = 3), a wysokość 10. Dodatkowo wyróżnione są trzy punkty:
punkt B′ na krawędzi BF w odległości 3 od wierzchołka B, punkt C′
na krawędzi CG w odległości 7 od wierzchołka C i punkt D′ na krawędzi DH w odległości 4 od wierzchołka D.
a) Udowodnij, że płaszczyzna B′C ′D′ przecina krawędź AE w punkcie A.
b) Oblicz pole przekroju graniastosłupa ABCDEFGH płaszczyzną
B′C ′D′.
c) Oblicz cosinus kąta między płaszczyzną B′C′D′ i płaszczyzną
podstawy ABCD.
d) Oblicz objętość mniejszej części graniastosłupa powstałej z przecięcia płaszczyzną B′C ′D′.
H
G
E
F
C′
D′
7
4
D
A
B′
3
4
3
C
B
Zadanie 19. (0–4) a) Jeśli na trójkącie opiszemy okrąg, to z każdego łuku, na który podzieliły okrąg wierzchołki tego trójkąta, widać trójkąt pod pewnym kątem (zobacz na rysunku
poniżej). Udowodnij, że
a′ + b′ = g + 180°
b′ + g′ = a + 180°
a′ + g′ = b + 180°.
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
5
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
b) Udowodnij, że jeśli n-kąt da się wpisać w okrąg, to suma kątów, pod jakimi widać ten czworokąt z łuków, na które wierzchołki czworokąta podzieliły okrąg, jest o 180° większa niż
suma wszystkich wewnętrznych kątów tego n-kąta (na rysunku poniżej po prawej stronie
narysowany jest n-kąt, gdy n = 4).
a)
b)
45

4
34
′
3

′
23
1
12

2
′
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro