Zadania z matematyki dla studentów WNT. Seria 2

Zadania z matematyki dla studentów WNT. Seria 2
1. Oblicz caªki
(a)
RR
(b)
RR
(c)
(d)
06x,y61
(x2 + xy)dx dy ;
(x + 2xy − y 2 )dx dy , gdzie S jest trójk¡tem o wierzchoªkach
(0, 0), (0, 2), (1, 1);
RR
1
dx dy , gdzie S jest póªkoªem {(x, y) | x2 +y 2 6 2, x > 0}.
S x2 +y 2
p
RR
sin
x2 + y 2 dx dy , gdzie S jest pier±cieniem {(x, y) | π 2 6
S
x2 + y 2 6 4π 2 }.
S
2. Zmie« kolejno±¢ caªkowania w nast¦puj¡cych caªkach dwukrotnych
(a)
R2
0
dx
R 2x
x
f (x, y)dy ;
R 2a R √2ax
(b) 0 dx √2ax−x2
f (x, y)dy .
3. Oblicz obj¦to±¢ bryªy ograniczonej przez nast¦puj¡ce powierzchnie w
R3 :
√
x + y + z = a, x2 + y 2 = R2 , x = 0, y = 0, z = 0 (a > R 2).
RR
M =
ρ(x, y)dx dy kwadratowej
S
ρ(x, y) pªyty w ka»dym punkcie (x, y)
4. Oblicz mas¦
je±li g¦sto±¢
pªyty
S
o boku
a,
jest proporcjonalna
odlegªo±ci pomi¦dzy tym punktem i jednym z wierzchoªków kwadratu
i wynosi
ρ0
w ±rodku kwadratu.
5. Oblicz wspóªrz¦dne x0
±rodka mas pªyty
S
=
1
M
RR
o g¦sto±ci
xρ(x, y)dx dy, y0 = M1
ρ(x, y), je±li ρ ≡ 1, a S
S
RR
S
yρ(x, y)dx dy
jest ograniczona
przez krzywe
ay = x2 , x + y = 2a (a > 0).
6. Oblicz caªki
(a)
(b)
RRR
xy 2 z 3 dx dy dz , gdzie obszar V jest ograniczony przez powierzchnie z = xy, y = x, x = 1, z = 0 w R3 .
RRR
xyz dx dy dz , gdzie obszar V jest ograniczony przez powierzchV
2
nie x + y 2 + z 2 = 1, x = 0, y = 0, z = 0 w R3 .
V