moc istnieje

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
WYKŁAD 8
klasyczny rachunek kwantyfikatorów
klasyczny rachunek nazw
1
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
[email protected]
Katedra Logiki i Metodologii Nauk
Instytut Filozofii
Uniwersytet Łódzki
ul. Kopcińskiego 16/18, I piętro, pok.13
tel. 635-61-34
dyŜur: poniedziałki, godz. 1200-1300
[w razie potrzeby dyŜur będzie dłuŜszy]
2
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
Ludwik Borkowski, Elementy logiki formalnej, PWN, Warszawa 1977, s.154
(cienka ksiąŜka)
3
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
Kwantyfikatory o ograniczonym zakresie
∀Q(x) P(x) ↔ ∀x (Q(x) → P(x))
Przykład
KaŜdy słoń ma trąbę = KaŜdy x jeśli x jest słoniem, to x ma trąbę.
∃Q(x) P(x) ↔ ∃x (Q(x) ∧ P(x))
Przykład
Pewien słoń nie ma trąby = Pewien x jest słoniem i x nie ma trąby.
Uwaga:
Ograniczenie kwantyfikatora działa jak określenie dziedziny. Wszystkie prawa rachunku
kwantyfikatorów zachowują swą waŜność, gdy kwantyfikatory będą miały (konsekwentnie)
ograniczony zakres.
∀x ∀y = ∀x,y
∃x ∃y = ∃x,y
4
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
diagramy Venna
zdanie prawdziwe
∀x P(x)
∃x P(x)
∀x ¬P(x)
∃x ¬P(x)
5
zdanie fałszywe
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
Zadanie Wykazać:
- niezawodność schematu rozkładu kwantyfikatora szczegółowego na koniunkcję
∃x (P(x) ∧ Q(x)) → ∃x P(x) ∧ ∃x Q(x)
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli istnieje [jakaś] koszula w paski z
zielonymi guzikami, to istnieje [jakaś] koszula w paski i istnieje [jakaś] koszula z zielonymi guzikami.
- zawodność schematu
(∃x P(x) ∧ ∃x Q(x)) → ∃x (P(x) ∧ Q(x))
Kontrprzykład (przykład obalający, falsyfikujący) (ma moc dowodu): jeśli istnieje jakaś matka i istnieje
jakiś ojciec, to nie znaczy Ŝe istnieje ktoś, kto jest jednocześnie ojcem i matką.
6
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
- niezawodność schematu wyciągania kwantyfikatora ogólnego przed alternatywę
(∀x P(x) ∨ ∀x Q(x)) → ∀x (P(x) ∨ Q(x))
(załóŜmy fałszywość wniosku)
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli kaŜda zebra ma paski lub kaŜda
zebra ma cętki, to kaŜda zebra ma paski lub cętki.
- zawodność schematu
∀x (P(x) ∨ Q(x)) → (∀x P(x) ∨ ∀x Q(x))
Kontrprzykład (przykład obalający, falsyfikujący) (ma moc dowodu): jeśli kaŜdy dorosły człowiek jest
kobietą lub męŜczyzną, to nie znaczy, Ŝe kaŜdy dorosły człowiek jest kobietą lub kaŜdy dorosły człowiek jest
męŜczyzną (jeśli wszyscy dorośli ludzie są kobietami lub męŜczyznami, to nie znaczy, Ŝe wszyscy dorośli
ludzie to kobiety lub wszyscy dorośli ludzie to męŜczyźni).
7
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
- niezawodność schematu rozkładania kwantyfikatora ogólnego na koniunkcję
∀x (P(x) ∧ Q(x)) ↔ (∀x P(x) ∧ ∀x Q(x))
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): powiedzieć, Ŝe kaŜda zebra ma paski i
kopyta, to to samo, co powiedzieć, Ŝe kaŜda zebra ma paski i kaŜda zebra ma kopyta.
- niezawodność schematu rozkładania kwantyfikatora szczegółowego na alternatywę
∃x (P(x) ∨ Q(x)) ↔ (∃x P(x) ∨ ∃x Q(x))
(rozwaŜmy fałszywość jednej strony, potem
fałszywość drugiej strony)
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): powiedzieć, Ŝe istnieje słoń co ma
trąbę lub skrzydła, to to samo, co powiedzieć, Ŝe istnieje słoń co ma trąbę lub istnieje słoń co ma skrzydła.
8
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
zdanie prawdziwe
∀x (P(x) → Q(x))
Przypomnienie:
tautologią klasycznego rachunku zdań jest
¬(p → q) ↔ (p ∧ ¬q).
9
zdanie fałszywe
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
- niezawodność schematu rozkładania kwantyfikatora ogólnego na implikację
∀x (P(x) → Q(x)) → (∀x P(x) → ∀x Q(x))
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli kaŜdy który jest zaszczepiony
przeciwko ospie jest odporny na wirusa ospy, to jeśli kaŜdy jest zaszczepiony przeciwko ospie, to kaŜdy jest
odporny na wirusa ospy.
- niezawodność schematu
∀x (P(x) → Q(x)) → (∃x P(x) → ∃x Q(x))
(załóŜmy prawdziwość obu przesłanek
∀x (P(x) → Q(x)) oraz ∃x P(x)
- sylogizm hipotetyczny bezkoniunkcyjny)
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli kaŜdy który jest zaszczepiony
przeciwko ospie jest odporny na wirusa ospy, to jeśli ktoś jest zaszczepiony przeciwko ospie, to ktoś jest
odporny na wirusa ospy.
10
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
- niezawodność schematu
(∀x (P(x) → Q(x)) ∧ ∀x (Q(x) → S(x))) →
∀x (P(x) → S(x))
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli kaŜdy zaszczepiony przeciwko ospie jest odporny
na wirusa ospy, i kaŜdy odporny na wirusa ospy moŜe bez ryzyka zachorowania kontaktować się z chorymi na ospę, to kaŜdy
zaszczepiony przeciwko ospie moŜe bez ryzyka zachorowania kontaktować się z chorymi na ospę.
- niezawodność schematu
(∀x (P(x) → Q(x)) ∧ ∃x (P(x) ∧ S(x))) →
∃x (Q(x) ∧ S(x))
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli kaŜdy zaszczepiony przeciwko ospie jest odporny
na wirusa ospy, i pewien kominiarz jest zaszczepiony przeciwko ospie, to pewien kominiarz jest odporny na wirusa ospy.
11
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
Zamiana kwantyfikatorów
niezawodne schematy:
∀x ∀y P(x,y) ↔ ∀y ∀x P(x,y)
∃x ∃y P(x,y) ↔ ∃y ∃x P(x,y)
∃x ∀y P(x,y) → ∀y ∃x P(x,y)
Przykłady potwierdzające:
KaŜdy kaŜdemu wilkiem = KaŜdemu kaŜdy wilkiem.
Ktoś kogoś kocha = Ktoś jest kochany przez kogoś.
(P(x,y) moŜemy tu czytać, albo jako „x kocha y”, albo „y jest kochany przez x”)
Jeśli ktoś jest ojcem kaŜdego człowieka, to kaŜdy człowiek ma ojca.
zawodny schemat:
∀x ∃y P(x,y) → ∃y ∀x P(x,y)
Kontrprzykład:
To Ŝe kaŜdy kogoś kocha, nie implikuje tego, Ŝe ktoś jest kochany przez kaŜdego.
12
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
Identyczność
zwrotność identyczności
symetryczność identyczności
przechodniość identyczności
zamienialność w kaŜdym kontekście nazw tego samego obiektu
(prawo toŜsamości Leibniza)
∀x (x = x)
∀x,y (x = y → y = x)
∀x,y,z ((x = y ∧ y = z) → x = z)
∀x,y (P(x) ∧ x = y) → P(y))
∀x,y (P(x) ∧ ¬P(y)) → x ≠ y)
Uwaga:
Mówienie o dwóch (a więc w domyśle dwóch róŜnych) identycznych obiektach, to jak mówienie
o mniejszej lub większej połowie. Lepiej jest mówić (myśleć) o tym, Ŝe dwie róŜne nazwy a i b
oznaczają ten sam obiekt: więc zamiast „a i b są sobie równe (są identyczne)” lepiej jest mówić
„a jest tym samym co b”.
Identyczność jest trywialna!
(zachodzi między obiektem a nim samym)
Nietrywialną relacją jest podobieństwo, czyli identyczność pod jakimś względem
(np. ze względu na jakąś cechę lub przynaleŜność do jakiejś wspólnej klasy).
13
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
Kwantyfikator jednostkowy
∃!x P(x) ↔ (∃x P(x) ∧ (∀x,y (P(x) ∧ P(y) → x = y)))
Istnieje dokładnie jeden x taki, Ŝe P(x) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje x taki, Ŝe P(x) oraz dla kaŜdego y,
jeśli P(y), to y jest x-em.
Negacja kwantyfikatora jednostkowego
¬∃!x P(x) ↔ (∀x ¬P(x) ∨ (∃x,y (P(x) ∧ P(y) ∧ x ≠ y)))
14
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
Rachunek nazw (Arystoteles)
Zdanie kategoryczne, to zdanie o budowie podmiotowo-orzecznikowej, w którym występują
dwie nazwy (w roli podmiotu i w roli orzecznika) połączone funktorem zdaniotwórczym „jest”.
WyróŜniamy cztery typy zdań kategorycznych:
1. zdanie ogólno-twierdzące „KaŜde S jest P” (SaP)
2. zdanie ogólno-przeczące „śadne S nie jest P” (SeP)
3. zdanie szczegółowo-twierdzące „Niektóre S są P” (SiP)
4. zdanie szczegółowo-przeczące „Niektóre S nie są P” (SoP)
S - subiectum (podmiot)
P - praedicatum (orzecznik)
SaP, SiP - affirmo (twierdzę)
SeP, SoP - nego (przeczę)
Przykład
KaŜdy adwokat jest prawnikiem. (SaP)
śaden sędzia nie jest prokuratorem. (SeP)
Niektórzy prawnicy są prokuratorami. (SiP)
Niektórzy prawnicy nie są prokuratorami. (SoP)
Ex(S) ↔ SiS
(zdanie Ex(S) stwierdza istnienie obiektu będącego S, czyli stwierdza niepustość S)
15
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
diagramy Venna
zdanie prawdziwe
SaP
SeP
SiP
SoP
16
zdanie fałszywe
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
Prawa z kwadratu logicznego
SaP
SeP
SiP
SoP
↔ ∀x (x∈S → x∈P)
↔ ∀x (x∈S → x∉P)
↔ ∃x (x∈S ∧ x∈P)
↔ ∃x (x∈S ∧ x∉P)
SaP
↔ ¬∃x (x∈S ∧ x∉P)
↔ ¬∃x (x∈S ∧ x∈P)
↔ ¬∀x (x∈S → x∉P)
↔ ¬∀x (x∈S → x∈P)
przeciwne
sprzeczne
(SaP ∧ Ex(S)) → ¬SeP
(SeP ∧ Ex(S)) → ¬SaP
¬SoP
¬SiP
¬SeP
¬SaP
SeP
sprzeczne
podporządkowane
SiP
↔
↔
↔
↔
podporządkowane
podprzeciwne
(¬SiP ∧ Ex(S)) → SoP
(¬SoP ∧ Ex(S)) → SiP
17
SoP
(SaP ∧ Ex(S)) → SiP
(SeP ∧ Ex(S)) → SoP
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
S
II
I
S - zakres nazwy S
P - zakres nazwy P
I - obiekty S, które są P
II - obiekty S, które nie są P
III - obiekty P, które nie są S
18
III
P
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
Zadanie WykaŜ, Ŝe:
(SaP ∧ Ex(S)) → ¬SeP
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli kaŜdy krasnal ma czapkę i jakiś
krasnal istnieje (krasnale istnieją), to nieprawdą jest, Ŝe Ŝaden krasnal nie ma czapki.
[nazwa „krasnal” jest tu zastosowana celowo - dlaczego?]
(SeP ∧ Ex(S)) → ¬SaP
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli Ŝaden krasnal nie ma pistoletu i
jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to nieprawdą jest, Ŝe kaŜdy krasnal ma pistolet.
[nazwa „krasnal” jest tu zastosowana celowo - dlaczego?]
19
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
(¬SiP ∧ Ex(S)) → SoP
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli nieprawdą jest, Ŝe pewien krasnal
ma chorobę weneryczną i jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to pewien krasnal nie ma choroby
wenerycznej.
[nazwa „krasnal” jest tu zastosowana celowo - dlaczego?]
(¬SoP ∧ Ex(S)) → SiP
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli nieprawdą jest, Ŝe pewien krasnal
nie ma narzeczonej i jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to pewien krasnal ma narzeczoną.
[nazwa „krasnal” jest tu zastosowana celowo - dlaczego?]
20
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
(SaP ∧ Ex(S)) → SiP
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli kaŜdy krasnal ma czapkę i jakiś
krasnal istnieje (krasnale istnieją), to pewien krasnal ma czapkę.
[nazwa „krasnal” jest tu zastosowana celowo - dlaczego?]
(SeP ∧ Ex(S)) → SoP
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli Ŝaden krasnal nie ma narzeczonej
i jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to pewien krasnal nie ma narzeczonej.
[nazwa „krasnal” jest tu zastosowana celowo - dlaczego?]
21
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
Prawa konwersji (konwersja to przestawienie podmiotu i orzecznika)
prostej
SeP
SiP
↔
↔
PeS
PiS
z ograniczeniem
(SaP ∧ Ex(S)) →
(SeP ∧ Ex(P)) →
22
PiS
PoS
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
Prawa obwersji (obwersja to zanegowanie orzecznika i zmiana jakości zdania)
SaP ↔ Se-P
SeP ↔ Sa-P
SiP ↔ So-P
23
SoP ↔ Si-P
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
Prawa obwersji konwersji (obwersja zastosowana do prawej strony prawa konwersji)
prostej
SeP
SiP
↔ Pa-S
↔ Po-S
z ograniczeniem
(SaP ∧ Ex(S)) →
(SeP ∧ Ex(P)) →
24
Po-S
Pi-S
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
Prawa kontrapozycji
częściowej (konwersja + zmiana jakości + negacja orzecznika)
SaP
SoP
(SeP ∧ Ex(S))
(SaP ∧ Ex(-P))
25
↔ -PeS
↔ -PiS
→ -PiS
→ -SoP
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
zupełnej (konwersja+ negacja orzecznika + negacja podmiotu)
SaP
SoP
(SeP ∧ Ex(S))
(SaP ∧ Ex(-P))
26
↔ -Pa-S
↔ -Po-S
→ -Po-S
→ -Si-P
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
Prawa inwersji
częściowej (negacja podmiotu + zmiana jakości + zmiana ilości)
zupełnej (negacja podmiotu + negacja orzecznika + zmiana ilości)
(SeP ∧ Ex(P)) → -SiP
(SeP ∧ Ex(P)) → -So-P
27
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
Tryby sylogistyczne
Forma zdania kategorycznego, to funkcja zdaniowa zbudowana z jednej ze stałych „a”, „e”, „i”,
„o” i ze zmiennych nazwowych.
Trybem sylogistycznym nazywamy schemat wnioskowania spełniający dwa warunki:
1. Wstępują w nim dwie przesłanki będące formami zdania kategorycznego i ewentualnie
przesłanka o niepustości jakiegoś terminu. Wiosek jest teŜ formą zdania kategorycznego.
2. Wstępują w nim trzy terminy, przy czym podmiot wniosku występuje w jednej
przesłance, a orzecznik wniosku występuje w drugiej przesłance. Termin występujący w obu
przesłankach nie występuje we wniosku - jest on nazywany terminem średnim.
Mamy więc cztery moŜliwe figury trybów sylogistycznych:
I
M P
S M
S P
II
P M
S M
S P
III
M P
M S
S P
28
IV
P M
M S
S P
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
Poprawne tryby sylogistyczne
figura
I
figura
II
MaP
SaM
SaP
MaP
SaM
Ex(S)
SiP
PeM
SaM
SeP
PeM
SaM
Ex(S)
SoP
figura
III
MaP
MaS
Ex(M)
SiP
figura
IV
PaM
MaS
Ex(P)
SiP
MeP
SaM
SeP
MeP
SaM
Ex(S)
SoP
MaP
SiM
SiP
MeP
SiM
SoP
PaM
SeM
SeP
PaM
SeM
Ex(S)
SoP
PeM
SiM
SoP
PaM
SoM
SoP
MiP
MaS
SiP
MaP
MiS
SiP
MeP
MaS
Ex(M)
SoP
MoP
MaS
SoP
MeP
MiS
SoP
PaM
MeS
SeP
PaM
MeS
Ex(S)
SoP
PiM
MaS
SiP
PeM
MaS
Ex(M)
SoP
PeM
MiS
SoP
29
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
Zadanie. Sprawdź niezawodność następujących trybów sylogistycznych:
MeP
SaM
SeP
PeM
SiM
SoP
niezawodny
niezawodny
30
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
PeM
SaM
Ex(S)
SoP
PeM
MeS
SeP
niezawodny
zawodny
31