KONKURS MATEMATYCZNY „ ZADANIA MIESIĄCA”

KONKURS MATEMATYCZNY „ ZADANIA MIESIĄCA”
Maj 2015
Klasa I LOTS
Zadanie 1.
Pole trójkąta ABC jest równe 21. Oblicz pole trójkąta, którego boki są zawarte
w prostych AP, BQ i CR, jeśli punkty R, P, Q leża odpowiednio na bokach AB,
BC i CA i RB 
1
1
1
AB , PC  BC oraz QA  CA .
3
3
3
Zadanie 2.
a) Która z liczb jest większa? Uzasadnij wybór obliczeniami.
1111113
czy
2222225
4444443
? Wskazówka: przyjmij k = 1111111
8888885
b) Wykazać, że jeżeli a, b, c  0, to (a+b)(b+c)(c+a)  8abc.
Wskazówka: skorzystaj z nierówności: dla liczb dodatnich średnia arytmetyczna
tych liczb jest większa lub równa od ich średniej geometrycznej.
Zadanie 3. WIELBŁĄDY
Dawno, dawno temu handlarze wielbłądów Mustafa i Ali postanowili sprzedać
swoje stado i zostać handlarzami owiec. Zabrali wielbłądy na bazar i za każdego
wielbłąda otrzymali kwotę w dinarach równą łącznej liczbie sprzedanych
wielbłądów. Za te pieniądze kupili owce po dziesięć dinarów za sztukę, a za
resztę kupili kozę. W drodze do domu zaczęli się kłócić i postanowili podzielić
owce, ale jedna została. Tę owcę wziął Ali, pozostawiając Mustafie kozę.
- Ale ja na tym tracę – powiedział Mustafa – bo koza jest warta mniej niż koza.
- No, dobrze – powiedział Ali – dodam ci jednego z moich kucyków. i będziemy
kwita.. Jaka była cena kucyka?
Zadanie 4.
Znajdź trójmian kwadratowy+, wiedząc,że suma jego pierwiastków jest równa
8, suma odwrotności tych pierwiastków wynosi
otrzymuje wartość 10.
2
i dla x = 1 trójmian
3