Temat: Równanie kwadratowe
Transkrypt
Temat: Równanie kwadratowe
Nierówność kwadratowa - przykłady. Nierównością kwadratową nazywamy każdą nierówność postaci: ax2+bx+c<0 ax2+bx+c>0 gdzie a,b,cR a0. ax2+bx+c≤0 ax2+bx+c≥0 Rozwiązanie nierówności kwadratowej polega na badaniu znaku trójmianu kwadratowego. Algorytm rozwiązywania nierówności kwadratowych: 1. Znajdujemy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego ax2+bx+c, korzystając ze wzoru: Δ=b2-4ac 2. Analizujemy otrzymany wynik: Jeśli Δ<0, to nie ma pierwiastków (miejsc zerowych). b Jeśli Δ=0, to trójmian ma jeden podwójny pierwiastek, który obliczamy ze wzoru: x 0 2a 2 [Wówczas trójmian kwadratowy ax +bx+c, gdzie a0 można zapisać w postaci iloczynowej: a(x-x0)2.] Jeśli Δ>0, to trójmian ma dwa pierwiastki, które obliczamy ze wzoru: b b x1 x2 2a 2a 2 [Wówczas trójmian ax +bx+c, gdzie a0 można zapisać w postaci iloczynowej: a(x-x1)(x-x2).] 3. Ilustrujemy znaki trójmianu kwadratowego na osi liczbowej. [Jeśli a>0, to ramiona paraboli skierowane są w górę, jeśli a<0, to ramiona skierowane są w dół.] 4. Zaznaczamy stosowny przedział i formułujemy odpowiedź: x… PRZYKŁADY 1. Rozwiąż nierówność: -2x2+3x-5>0. o Wypisujemy współczynniki trójmianu kwadratowego: a=-2, b=3, c=-5. o Wyznaczamy wyróżnik trójmianu : b 2 4 a c 3 2 4 (2) (5) 9 40 31 o Δ =-31 czyli Δ<0, co oznacza, że trójmian -2x2+3x-5 nie ma pierwiastków. o Ilustrujemy znaki trójmianu na osi liczbowej: a=-2, więc ramiona paraboli skierowane są w dół, nie ma pierwiastków, więc parabola umieszczona jest pod osią. x - - o Formułujemy odpowiedź: -2x2+3x-5>0 x. 2. Rozwiąż nierówność: 4x2-4x+1>0. o Wypisujemy współczynniki trójmianu kwadratowego: a=4, b=-4, c=1. o Wyznaczamy wyróżnik: (4) 2 4 4 1 16 16 0 o Δ=0, co oznacza, że trójmian ma jeden pierwiastek: b ( 4) 4 1 x0 x0 x0 x0 2a 24 8 2 1 o Daną nierówność można zapisać w postaci a( x x0 ) 2 0, czyli 4( x ) 2 0. 2 o Ilustrujemy znaki trójmianu na osi liczbowej: a=4, więc ramiona paraboli skierowane są w górę, trójmian ma jeden pierwiastek, więc wierzchołek paraboli umieszczony jest na osi. + + + x 1 2 o Formułujemy odpowiedź: 4x2-4x+1>0 xR\{ 1 }. 2 3. Rozwiąż nierówność: 2x2+3x+1≤0. o Wypisujemy współczynniki trójmianu kwadratowego: a=2, b=3, c=1. o Wyznaczamy wyróżnik: b 2 4 a c 3 2 4 2 1 9 8 1 o Δ>0, co oznacza, że trójmian 2x2+3x+1ma dwa pierwiastki: b 3 1 3 1 4 x1 x1 x1 x1 x1 1 2a 22 4 4 b 3 1 3 1 2 1 x2 x2 x2 x2 x2 2a 22 4 4 2 o Daną nierówność można zapisać w postaci a ( x x1 )( x x2 ) 0 , czyli 1 1 2( x (1))( x ( )) 0 2( x 1)( x ) 0 2 2 o Ilustrujemy znaki trójmianu na osi liczbowej: a=2, więc ramiona paraboli skierowane są w górę, trójmian ma dwa pierwiastki, więc ramiona paraboli przecinają oś w dwóch miejscach. + + 1 1 2 1 o Formułujemy odpowiedź: 2x2+3x+1≤0 x<-1;- >. 2 x