Analiza obwodów jednofazowych liniowych w stanie ustalonym.

Zastosowanie Matlaba w
analizie obwodów
jednofazowych liniowych w
stanie ustalonym.
Autor:
Łukasz Krupiński
Grupa:
ETI 9.1
Analiza obwodów jednofazowych
liniowych w stanie ustalonym.
Bogaty zbiór funkcji i operacji macierzowych dotyczących zarówno
liczby rzeczywistych, jak i zespolonych zawartych w programie
Matlab czynią z niego idealne narzędzie do analizy obwodów w
stanie zarówno ustalonym, jak i nieustalonym.
Matlab preferuje opis macierzowy problemu. KaŜdy obwód liniowy
w stanie ustalonym moŜna opisać układem równań liniowych
wynikających z praw Kirchhoffa.
1
Problem analizy obwodów jednofazowych
sprowadza się do utworzenia opisu macierzowego:
Y * Vn = J
lub
Z * Io = E
gdzie:
Y - macierz admitancji węzłowych
Vn - wektor potencjałów węzłowych
J - wektor prądów zasilających węzły obwodu
Z - macierz impedancji oczkowych
Io - wektor prądów oczkowych
E - wektor źródłowych napięć oczkowych
•Po określeniu macierzy impedancyjnej Z i wektora E lub
macierzy admitancyjnej Y i wektora J, powstały układ równań,
rozwiązujemy przy uŜyciu narzędzi Matlaba. W wyniku
otrzymuje się:
Io - wektor oporów oczkowych
bądź
Vn - wektor napięć węzłowych
Prąd i napięcia gałęziowe moŜna juŜ wówczas obliczyć
bezpośrednio z prawa Ohma lub Kirchhoffa na podstawie
znanych potencjałów węzłowych albo prądów oczkowych.
2
•Matlab stwarza moŜliwość łatwego tworzenia wykresów
wektorowych prądów i napięć gałęziowych w obwodzie.
Do tego celu słuŜy funkcja:
•Pass
Jej argumentem jest wektor prądów gałęziowych węzła
(z uwzględnieniem znaków) lub napięć gałęziowych oczka
(równieŜ z uwzględnieniem kierunków tych napięć). Regułą jest
tworzenie wektora odpowiadającego napięciom oczka lub prądom
węzła w sposób odpowiadający prawom Kirchhoffa (suma
elementów wektora równa zeru).
Przykład:
•Jako przykład, analiza obwodu RLC ze źródłami sterowanymi,
przy zastosowaniu metody potencjałów węzłowych.
3
•JeŜeli w obwodzie występują źródła sterowane to równanie
potencjałów węzłowych moŜna uzyskać przez wpisanie równań
prądowych Kirchhoffa dla kaŜdego węzła niezaleŜnego oddzielnie
i uporządkowanie tych równań w postaci macierzowej.
Obwód zawiera trzy węzły niezaleŜne o potencjałach: V1 ,V2 ,V3 .
•Przyjmijmy następujące oznaczenia:
G1=1/R1
G2=1/R2
G3=1/R3
YC = jωC
YL = 1/(jωL)
Is1 = g1(V2-V3),
Is2 = k2IL = k2YL(E-V1).
4
•Równania prądowe dla trzech niezaleŜnych węzłów
mają wówczas postać:
IL + Is1 + I1 – IR2 = 0
IR2 – IC – Is2 = 0
Is2 + I2 – IR3 = 0
•Po uzaleŜnieniu prądów gałęziowych od potencjałów
węzłowych powyŜszy układ równań przekształca się do postaci:
YL(E-V1) + g1(V2-V3) + I1 - G2(V1-V2+k1V3) = 0
-G2(V1-V2+k1V3) + YCV2 + k2YL(E-V1) = 0
-k2YL(E-V1) - I2 + G3V3 = 0
•Równanie potencjałów węzłowych obwodu stanowi
uporządkowaną formę układu równań i moŜna go zapisać w
postaci równania macierzowego:
YL + G2
-G2 - k2YL
k2YL
-g1 - G2
G2 + YC
0
g1 + k1G2
k1G2
G3
V1
V2 =
V3
YLE + I1
-k2YLE
I2 + k2YLE
5
•Plik skryptowy dokonujący pełnej analizy obwodu,
łącznie z bilansem prądów węzłowych, napięć oczkowych
i mocy obwodu oraz wykresami wektorowymi prądów w
węzłach i napięć oczkowych ma postać:
% Analiza obwodu jednofazowego w stanie ustalonym
% Dane parametry elementów
format compact
R1=10; R2=10; R3=20; C=le-3; L=0.05; g1=0.2; k1=2; k2 = 1;
omega=314;
modE=40; argE=pi/4;
modIl=5; argI1=pi/2;
modI2=8; argI2=-pi/2;
% Wartości symboliczne elementów
G1=1/R1; G2=l/R2; G3=l/R3; YC=j*omega*C; YL=1/(j*omega*L);
I1=modI1*exp(j*argI1); I2=modI2*exp(j*argI2)/ E=modE*exp(j*argE);
% Macierz admitancyjna Y
Y=[ YL+G2
-gl-G2
gl+kl*G2
-G2-k2*YL
G2+YC
-kl*G2
k2*YL
0
G3];
% Wektor wymuszenia
J=[YL*E+I1
-k2*YL*E
I2+k2*YL*E] ;
% Rozwiązanie równania węzłowego
V=Y\J;
% Prądy gałęziowe
IR1=G1*E;
IR2=G2*(V(1)-V(2)+k1*V(3));
IR3=G3*V(3);
IC=YC*V(2);
IL=YL*(E-V(1) ) ;
Is1=gl*(V(2)-V(3));
Is2=k2*IL;
IVs=-IR2;
IE=-IR1-IL-Is1;
6
% Napięcia na elementach
Vs=kl*V(3);
UR1=E;
UR2=R2*IR2;
UR3=R3*IR3;
UC=V(2);
UL=E-V(1);
UIs1=E-V(1);
UIs2=V(2)-V(3) ;
UI1=-V(1);
UI2=-V(3);
% Moce elementów źródłowych
SE=E*conj(IE);
SI1=UI1*conj(I1);
SI2=UI2*conj(12);
% Moce pozostałych elementów
SR1=UR1*conj(IR1);
SR2=UR2*conj(IR2);
SR3=UR3*conj(IR3);
SC=UC*conj(IC);
SL=UL*conj(IL);
SIs1=UIsl*conj(Is1);
SIs2=UIs2*conj(Is2);
SVs=Vs*conj(IVs);
% Bilans prądów węzłowych
Bil_w1=IL+Is1+I1-IR2
Bil_w2=IR2-IC-Is2
Bil_w3=Is2+I2-IR3
% Bilans napięć oczkowych
Bil_o1=E-UL-UR2+Vs-UC
Bil_o2=UC-UIs2-UR3
% Bilans mocy
Bil_moc=SE+SI1+SI2+SR1+SR2+SR3+SL+SC+SIs1+SIs2+SVs
% Wykresy wektorowe prądów w węzłach
Iw1=[IL Is1 I1 -IR2];
Iw2=[IR2 -IC -Is2];
Iw3=[Is2
I2 -IR3];
subplot(2,2,1); compass(Iw1); title(‘Prądy węzła 1')
subplot(2,2,2); compass(Iw2); title(‘Prądy węzła 2')
7
% Wykresy wektorowe napięć oczkowych
Uo1=[E -UL -UR2 Vs -UC];
Uo2=[UC -UIs2 -UR3];
subplot(2,2,3); compass(Uo1); title(‘Napięcia oczka 1')
subplot(2,2,4); compass(Uo2); title(‘Napięcia oczka 2')
•Bilans prądów węzłowych, napięć oczkowych i mocy obliczony
przez program wygląda następująco:
Bil_w1 =
Bil_w2 =
Bil_w3 =
Bil_o1 =
Bil_o2 =
Bil_moc =
-1.7764e-015 +1.7764e-015i
2.2204e-015
-4.4409e-016 -8.3267e-016i
-7.1054e-015 +8.8818e-015i
-8.8818e-016i
3.9790e-013 -1.1369e-013i
•Wykresy wektorowe prądów w węzłach obwodu:
Prądy węzła 1
Prądy węzła 2
8
•Wykresy wektorowe napięć w oczkach obwodu:
Napięcia oczka 1
Napięcia oczka 2
KONIEC
9