Algebra liniowa V. Liniowa niezależność. Rząd macierzy

Algebra liniowa
V. Liniowa niezależność. Rząd macierzy
Rozpatrzmy układ m równań z n niewiadomymi







a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
(?) 
..

.




am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
Interesuje nas czy m on rozwiązanie, czyli czy istnieją takie skalary x1 , . . . , xn takie, że






a11
b1
a1n
.
 . 
 . 

 


x1 
 ..  + . . . + xn  ..  =  ..  .
bn
amn
am1
h
iT
Jeżeli przez v l oznaczymy l-tą kolumnę macierzy A, tzn. v l = a1l . . . aml , to nasze pytanie sprowadza się
h
do pytania czy b = b1 . . . bn
x1 , . . . , xn , że
iT
jest kombinacją liniową wektorów v 1 , . . . , v n , tzn. istnieją takie skalary
x1 v 1 + . . . + xn v n = b.
(1)
Interesuje nas uzyskanie prostego i efektywnego kryterium pozwalającego rozstrzygnąć czy b jest kombinacją liniową wektorów v 1 , . . . , v n . Załóżmy, że tak jest, tzn. istnieje rozwiązanie równania (1). Jak
rozstrzygnąć które z równań są zbędne? Zauważmy, że jeżeli jakieś równanie (a konkretniej jego reprezentacja w postaci wiersza w macierzy uzupełnionej) jest kombinacją liniową pozostałych, to możemy go
odrzucić/skreślić bez zmieniania zbioru rozwiązań. Możemy tak postępować aż do momentu, gdy żadne
z równań nie będzie kombinacją liniową pozostałych. Dostajemy następującą definicję:
Definicja 1. Niech v 1 , . . . , v n ∈ Rm . Mówimy, że wektory v 1 , . . . , v n są liniowo zależne, gdy jeden z nich
jest kombinacją liniową pozostałych, tzn. istnieje i ∈ {1, . . . , n} i istnieją α1 , . . . , αn takie, że
vi =
X
αl v l .
l6=i
Wektory są liniowo niezależne, jeżeli nie są liniowo zależne.
Twierdzenie 1. NWSR:
1. wektory v 1 , . . . , v n są liniowo niezależne;
2. ∀α1 ,...,αn ∈R : α1 v 1 + . . . αn v n = 0 ⇒ α1 = . . . = αn = 0.
Definicja 2. Rzędem macierzy A (ozn. rank(A)) nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezależnych kolumn w A.
Uwaga 1.
• Jeżeli mamy sprawdzić czy wektory v 1 , . . . , v n są liniowo niezależne wystarczy stworzyć z nich macierz
(ozn. A), a następnie sprawdzić, czy rank(A) = n.
• Operacje elementarne na wierszach i kolumnach nie zmieniają rzędu macierzy.
• Rząd macierzy schodkowej równy jest liczbie „schodków” tej macierzy.
Rząd macierzy liczy się bardzo łatwo – jeśli operacje elementarne zarówno na wierszach jak i kolumnach
nie zmieniają rzędu macierzy, a dla macierzy schodkowej jest to po prostu liczba jej schodków, więc rank A
to liczba schodków po sprowadzeniu macierzy A za pomocą operacji elementarnych na wierszach do postaci
schodkowej. Ponadto mamy:
c
FF
str. 1 z 2
Algebra liniowa
V. Liniowa niezależność. Rząd macierzy
Uwaga 2. Jeśli A ∈ M (m, n), to
• rank A ¬ min{m, n}
• rank AT = rank A,
• rank A to wielkość (liczba kolumn lub wierszy) maksymalnej (w sensie liczby wierszy czy kolumn)
odwracalnej macierzy kwadratowej powstałej z A w wyniku skreślenia pewnej liczby kolumn i wierszy.
Znając pojęcie rzędu macierzy i jego własności możemy podać kluczowe twierdzenie teorii układów
równań liniowych:
Twierdzenie 2 (Twierdzenie Kroneckera-Capellego). Układ AX = b ma rozwiązanie, wtw. gdy rank A =
rank U , gdzie U = [A|b] (czyli b jest kombinacją liniową kolumn z macierzy A).1
Wniosek 1. Układ Ax = b
• posiada dokładnie jedno rozwiązanie, gdy rank A = rank U = n
• posiada nieskończenie wiele rozwiązań, gdy rank A = rank U = r < n, i są one zależne od n − r
parametrów
• nie posiada rozwiązań, gdy rank A < rank U .
Powyższy wniosek pozwala nam wprowadzić kolejną metodę rozwiązywania układów równań liniowych:
Schemat rozwiązywania układu równań liniowych z wykorzystaniem twierdzenia
Kroneckera-Capellego
1. rozpatrujemy układ równań zapisanych w postaci macierzowej AX = b,
2. sprawdzamy, czy rank U = rank A,
(a) jeśli nie, to układ nie posiada rozwiązań
(b) jeśli tak, to znajdujemy w A minor M rzędu r = rank U = rank A taki, że det M 6= 0,
wykreślamy pozostałe równania, a pozostałe zmienne traktujemy jako parametry (mamy ich
n − r), nasze równanie zależy od n − r parametrów i możemy rozwiązać układ korzystając
np. z wzorów Cramera.
Tą metodę wykorzystają Państwo na ćwiczeniach. Trzeba jednak pamiętać, że w praktyce spotykać się
Państwo będą raczej z układami o dużej liczbie niewiadomych, a w takich przypadkach metody oparte
na operacjach elementarnych ( metoda Gaussa-Jordana czy Gaussa) są szybsze. Twierdzenie KroneckeraCapellego jest natomiast bardzo przydatne gdy mamy do czynienia z układami równań z parametrem.
Ważne pojęcia: liniowa niezależność wektorów, rząd macierzy, twierdzenie Kroneckera-Capellego
1
Twierdzenie to po raz pierwszy pojawiło się na wykładach Leopolda Kroneckera, które odbywały się na Uniwersytecie
w Berlinie w latach 1883-1891. Po raz pierwszy zostało sformułowane z wykorzystaniem pojęcia rzędu macierzy przez Alfredo
Capellego w 1892 roku (za Encyclopedia of Mathematics).
c
FF
str. 2 z 2