Model zależności notowań giełdowych na

Zeszyty naukowe nr 9
2011
Wyższej Szkoły Ekonomicznej w Bochni
Piotr Fijałkowski
Model zależności notowań giełdowych na przykładzie
notowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A.
Streszczenie
Niniejsza praca opisuje próbę konstrukcji liniowego, potęgowego,
wykładniczego i logarytmicznego modelu ekonometrycznego zależności
notowań ołowiu i akcji spółki Orzeł Biały S.A. zajmującej się odzyskiwaniem
ołowiu z wyeksploatowanych akumulatorów. Dane do modelu pochodzą z
pięciomiesięcznego okresu notowań ołowiu na London Metal Exchange i akcji
spółki Orzeł Biały S.A. na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie.
Abstract
The present article describes the attempt to construction of the linear,
power, exponential and logarithmic econometric models of dependence between
quotations of the lead and the stock of Orzeł Biały S.A., the company
recovering the lead from exploited accumulators. The data to the model include
the five-month period of quotations of the lead on London Metal Exchange and
the stock of Orzeł Biały S.A. on Warsaw Stock Exchange.
1. Wstęp
Celem niniejszej pracy jest testowanie hipotezy o liniowej, ewentualnie
potęgowej, wykładniczej lub logarytmicznej zależności pomiędzy dwiema
zmiennymi: giełdowymi notowaniami ołowiu jako zmienną objaśniającą x
i kursem akcji spółki Orzeł Biały S.A. (OBL) zajmującej się odzyskiwaniem
ołowiu z wyeksploatowanych akumulatorów jako zmienną objaśnianą y.
Oszacowanie modelu takiej zależności mogłoby być pomocne
w prognozowaniu notowań OBL na podstawie przewidywanego trendu cen
ołowiu.
172
2. Notowania
Dane użyte w niniejszym opracowaniu pochodzą ze strony internetowej [4].
Poniżej przedstawione jest tabelaryczne zestawienie notowań ołowiu na
London Metal Exchange (LME) - dostawa za 3 miesiące w USD/t (zmienna x)
oraz kurs zamknięcia OBL na Giełdzie Papierów Wartościowych (GPW)
w PLN (zmienna y) w półrocznym okresie od połowy listopada 2010 do połowy
kwietnia 2011. W zestawieniu tym pominięte są soboty i niedziele, czyli dni
tygodnia, w których obie giełdy są nieczynne oraz dodatkowo 01.11.2010,
11.11.2010, 24.12.2010 i 06.01.2011 - dni, w których nie była czynna GPW.
Tabela podaje również średni kurs NBP dolara względem złotego (zmienna z).
Tabela1.
Notowania ołowiu na LME x w USD/t, kurs akcji OBL na GPW y w PLN oraz średni
kurs NBP dolara z w PLN/USD (na podstawie [4])
z
Y (PLN) (PLN/USD)
Data
x (USD/t)
Y (PLN)
z (PLN/USD)
Data
x (USD/t)
15.11.2010
2445,0
24,3
2,8915
31.01.2011
2475,5
23,8
2,8845
16.11.2010
2405,0
23,5
2,8937
01.02.2011
2533,0
23,5
2,8468
17.11.2010
2237,0
23,2
2,9217
02.02.2011
2537,0
23,0
2,8230
18.11.2010
2335,0
23,4
2,8871
03.02.2011
2580,0
22,5
2,8424
19.11.2010
2272,0
23,5
2,8749
04.02.2011
2573,0
23,4
2,8666
22.11.2010
2255,0
23,4
2,8591
07.02.2011
2585,0
23,7
2,8438
23.11.2010
2169,0
23,0
2,9020
08.02.2011
2527,0
23,5
2,8471
24.11.2010
2223,0
23,0
2,9808
09.02.2011
2545,5
23,9
2,8581
25.11.2010
2250,0
22,8
2,9881
10.02.2011
2485,0
24,9
2,8795
26.11.2010
2290,0
22,5
3,0363
11.02.2011
2509,0
25,4
2,9116
29.11.2010
2278,0
22,5
3,0441
14.02.2011
2627,0
25,4
2,9219
30.11.2010
2225,0
22,9
3,1308
15.02.2011
2649,0
25,1
2,9159
01.12.2010
2283,0
22,0
3,0753
16.02.2011
2619,0
25,6
2,8864
02.12.2010
2318,0
22,3
3,0282
17.02.2011
2582,0
25,7
2,8790
03.12.2010
2355,0
22,5
3,0172
18.02.2011
2619,0
25,7
2,8803
06.12.2010
2337,0
22,6
3,0057
21.02.2011
2665,0
25,0
2,8755
07.12.2010
2427,0
23,2
2,9955
22.02.2011
2571,0
24,8
2,9198
08.12.2010
2380,0
23,9
3,0558
23.02.2011
2548,0
25,6
2,8868
09.12.2010
2393,0
23,9
3,0508
24.02.2011
2480,0
25,7
2,8941
10.12.2010
2415,0
23,9
3,0458
25.02.2011
2501,0
25,7
2,8770
13.12.2010
2435,0
23,5
3,0445
28.02.2011
2528,0
25,9
2,8765
14.12.2010
2454,0
23,6
2,9708
01.03.2011
2560,0
26,5
2,8643
15.12.2010
2404,5
23,5
2,9978
02.03.2011
2525,0
26,5
2,8843
173
16.12.2010
2388,0
23,1
3,0125
03.03.2011
2600,0
27,0
2,8704
17.12.2010
2377,5
23,5
2,9840
04.03.2011
2655,0
27,1
2,8646
20.12.2010
2447,0
23,5
3,0396
07.03.2011
2610,0
27,0
2,8372
21.12.2010
2465,0
23,5
3,0370
08.03.2011
2537,0
27,0
2,8549
22.12.2010
2446,0
23,5
3,0323
09.03.2011
2575,0
26,9
2,8644
23.12.2010
2412,5
23,0
3,0196
10.03.2011
2445,0
25,8
2,8849
27.12.2010
2436,0
23,2
3,0215
11.03.2011
2415,0
25,8
2,9212
28.12.2010
2436,0
23,0
3,0112
14.03.2011
2490,0
25,8
2,8825
29.12.2010
2530,0
23,1
3,0383
15.03.2011
2470,0
25,2
2,9284
30.12.2010
2542,5
23,9
2,9979
16.03.2011
2578,0
25,0
2,9052
31.12.2010
2563,5
23,6
2,9641
17.03.2011
2667,0
25,3
2,9077
03.01.2011
2563,5
24,1
2,9822
18.03.2011
2700,0
26,0
2,8850
04.01.2011
2572,0
24,1
2,9415
21.03.2011
2691,0
26,0
2,8588
05.01.2011
2543,0
23,7
2,9476
22.03.2011
2638,0
25,5
2,8358
07.01.2011
2635,0
24,0
2,9818
23.03.2011
2705,0
25,6
2,8446
10.01.2011
2616,0
23,4
3,0268
24.03.2011
2700,0
25,5
2,8516
11.01.2011
2600,5
23,7
3,0065
25.03.2011
2670,0
25,4
2,8425
12.01.2011
2639,0
24,0
3,9466
28.03.2011
2640,0
25,1
2,8431
13.01.2011
2674,0
24,0
2,9353
29.03.2011
2621,0
24,5
2,8277
14.01.2011
2635,0
24,0
2,9048
30.03.2011
2662,0
24,3
2,8277
17.01.2011
2677,0
23,6
2,9181
31.03.2011
2671,0
24,5
2,8229
18.01.2011
2660,0
23,8
2,8848
01.04.2011
2668,0
24,4
2,8455
19.01.2011
2618,0
23,6
2,8879
04.04.2011
2767,0
24,3
2,8395
20.01.2011
2481,0
23,8
2,8856
05.04.2011
2723,0
24,5
2,8388
21.01.2011
2471,0
23,8
2,8779
06.04.2011
2775,0
24,4
2,7986
24.01.2011
2395,0
23,7
2,8561
07.04.2011
2821,5
24,4
2,7863
25.01.2011
2480,0
23,7
2,8558
08.04.2011
2853,0
24,0
2,7489
26.01.2011
2393,0
23,7
2,8280
11.04.2011
2848,5
24,3
2,7501
27.01.2011
2430,0
23,7
2,8508
12.04.2011
2810,0
23,9
2,7511
28.01.2011
2466,0
24,0
2,8501
3. Liniowy model zależności
Hipoteza dodatniej korelacji notowań ołowiu i akcji Orła Białego jest
naturalna ze względu na przedmiot działalności tej spółki. Nie jest oczywiste,
czy związek tych dwóch wielkości jest istotny, gdyż jest jeszcze wiele innych
czynników, które mogą wpływać na kurs OBL, a niekoniecznie na notowania
ołowiu. Przykłady takich czynników można znaleźć w prospekcie emisyjnym
174
spółki [3] (Dokument Podsumowujący s. 7, Dokument Rejestracyjny s. 9-15):
kurs dolara, działalność konkurencyjnej firmy Baterpol Spółka z o.o., ryzyko
powstania innego przedsiębiorstwa utylizującego akumulatory, straty
spowodowane ewentualnymi szkodami górniczymi na terenach spółki, duże
awarie maszyn, ograniczenia dostaw gazu i energii elektrycznej w sytuacjach
awaryjnych. Dalej spośród nich rozpatrywać będziemy jedynie kurs dolara ze
względu na słabą mierzalność i brak danych o innych.
Poniżej pokazujemy konstrukcję modelu wspomnianej zależności.
Wszystkie obliczenia wykonano za pomocą programu Microsoft Excel.
Konstrukcję modelu liniowego zaczynamy od wyznaczenia współczynnika
korelacji liniowej między zmiennymi x i y dla naszej próby ze wzoru (zobacz na
przykład [1], s. 481):
r ( x, y ) =
∑
n
i =1
∑
n
i =1
( xi − x )( yi − y )
( xi − x )
2
∑
n
i =1
( yi − y )
.
2
Dla naszych danych uzyskujemy
r ( x, y ) = 0,4837 .
Wysoka wartość współczynnika korelacji dla dużej próby oznacza, że
prawdopodobnie zmienne x i y są skorelowane w całej populacji notowań, to
znaczy, że współczynnik korelacji dla populacji ρ jest niezerowy. Można to
zweryfikować stosując test istotności opisany na przykład w [1], s. 482-483.
Dla hipotezy zerowej postaci
H0 : ρ = 0
i alternatywnej
H0 : ρ ≠ 0
test ten wykorzystuje statystykę
t=
r
1− r 2
n−2
o rozkładzie Studenta z n-2 stopniami swobody. Dla n = 105 rozkład ten
można uznać za rozkład przybliżeniu normalny. Wartość statystyki testowej
wynosi t = 5,6089 , wobec wartość krytycznej 5,3267 na poziomie istotności
α = 10 −7 (uzyskanej z odpowiednich tablic rozkładu normalnego). Możemy
zatem uznać, że współczynnik korelacji jest istotnie niezerowy i przyjąć
liniową postać modelu zależności między x i y:
175
y = αx + β + ε ,
gdzie ε jest składnikiem losowym (zobacz na przykład [1], s. 460-462). Oceny a
i b parametrów odpowiednio α i β są wyliczane metodą najmniejszych
kwadratów, to znaczy tak, by minimalizowały wartość wyrażenia
∑
n
i =1
( yi − yˆ i ) 2 ,
gdzie (yi ) są wartościami rzeczywistymi, a ( yˆ i = αxi + β ) teoretycznymi
zmiennej y. Odpowiednie wzory pozwalające obliczyć te oceny mają postać:
∑
a=
n
i =1
( xi − x )( yi − y )
∑i=1 ( xi − x ) 2
n
,
b = y − ax ,
gdzie x oznacza średnią wartość ( xi ) , a y - średnią wartość ( yi ) .
Stosując powyższe wzory do naszych danych wyznaczamy oszacowanie
modelu liniowego:
y = 0,0039 x + 14,3987 + ε .
Miarą dopasowania wartości rzeczywistych i teoretycznych może być
współczynnik determinacji r 2 ( x, y ) , którego wartości bliskie 1 wskazują na
dobre dopasowanie oszacowanego modelu do danych (zobacz [2], s.41). Dla
naszych danych otrzymamy wartość
r 2 ( x, y ) = 0,2340 ,
która wskazuje
i rzeczywistych.
niestety
na
niedopasowanie
wartości
teoretycznych
4. Uwzględnienie zmian kursowych
Wielkości w powyższym modelu są mierzone w różnych jednostkach
pieniężnych, których zależność jest zmienna. Wydawać by się mogło, że
ustalenie jednej jednostki, a więc na przykład przeliczenie notowań ołowiu
176
z USD/t na PLN/t według aktualnego kursu dolara, zdecydowanie poprawi
jakość modelu.
Okazuje się jednak, że tak nie jest. W Tabeli 1 podano średni kurs dolara w
NBP z danego dnia z, na podstawie którego można przeliczyć notowania ołowiu
na złotówki według wzoru xz. Współczynnik korelacji dla podanych notowań
ołowiu na LME wyrażonych w PLN/t (xz) i notowań OBL (y) wynosi
r ( xz, y ) = 0,2391
i jest dużo mniejszy niż odpowiedni współczynnik dla notowań ołowiu
nieprzeliczonych na złotówki (0,4837). W związku z tym budowanie
odpowiedniego modelu liniowego nie ma sensu, bo będzie on jeszcze słabiej
dopasowany do danych, niż poprzedni.
W zestawieniu z tymi faktami ciekawe jest to, że współczynnik korelacji
pomiędzy kursem dolara (z), a notowaniami OBL (y) jest znacząco różny od
zera i wynosi
r ( z , y ) = −0,3109 .
Przeprowadzając test istotności opisany w rozdziale 3. stwierdzamy, że na
poziomie istotności 0,001 korelacja w całej populacji notowań jest istotnie
niezerowa (wartość statystyki testowej wynosi t = −3,3201 , czyli | t |= 3,3201 ,
wobec wartości krytycznej 3,2905). Oznacza to, że po części wzrost kursu
dolara idzie w parze ze spadkiem notowań OBL, co prawdopodobnie wiąże się
z odpływem kapitału spekulacyjnego z giełdy warszawskiej w sytuacji
słabnącej złotówki.
Powyższa uwaga mogłaby sugerować, że lepszym modelem wyjaśniającym
notowania OBL będzie model liniowy dwóch zmiennych postaci
y = αx + β z + γ + ε
ze względu niezerową korelację kursu dolara (z), a notowaniami OBL (y).
Niestety, współczynnik korelacji pomiędzy x i z wynosi
r ( x, z ) = −0,3135
i jest większy co do wartości bezwzględnej od współczynnika korelacji między
z i y. Tak więc x i z nie nadają się na quasi-niezależne zmienne modelu (zobacz
[2], s. 64).
177
5. Modele nieliniowe
Powodem słabego dopasowania modelu do danych może być niewłaściwa
postać analityczna modelu. Próbujemy zatem przetestować użycie typowych
modeli nieliniowych, sprowadzalnych do liniowych: potęgowego,
wykładniczego i logarytmicznego.
Przez model potęgowy rozumiemy hipotetyczną zależność postaci
y = bx a e ε .
Logarytmując obie strony powyższej równości, sprowadzamy model
potęgowy do modelu liniowego:
y ' = ax'+b'+ε ,
gdzie b'= ln b , x'= ln x , y '= ln y .
Model wykładniczy to hipotetyczna zależność postaci
y = ba x e ε .
Logarytmując obie strony powyższej równości, sprowadzamy model
potęgowy do modelu liniowego:
y ' = a ' x + b'+ε ,
gdzie b'= ln b , a '= ln a , y '= ln y .
Model logarytmiczny to hipotetyczną zależność postaci
y = a ln x + b + ε ,
sprowadzalna do zależności liniowej
y = ax'+b + ε
przez podstawienie x'= ln x .
Najprostszym kryterium wyboru postaci modelu spośród powyższych może
być wartość współczynnika korelacji zmiennych w modelu zlinearyzowanym.
Dla naszych danych uzyskujemy:
r ( x ' , y ' ) = r (ln x, ln y ) = 0,5026 ,
r ( x, y ' ) = r ( x, ln y ) = 0,4949 ,
r ( x ' , y ) = r (ln x, y ) = 0,4923 .
178
Użycie notowań ołowiu przeliczonych na złotówki w miejsce oryginalnych
wyrażonych w dolarach, czyli zmiana zmiennej x na xz daje wyniki słabsze:
r (ln( xz ), ln y ) = 0,2719 ,
r ( xz, ln y ) = 0,2468 ,
r (ln( xz ), y ) = 0,2640 .
Spośród rozpatrywanych wariantów najlepszym okazał się model potęgowy
zmiennych x i y. Według rozpatrywanego kryterium jest on nieco lepszy od
modelu liniowego. Zlinearyzowana postać tego modelu ma oszacowanie:
y ' = 0.4138x'−0,0531 + ε ,
dla którego współczynnik determinacji wynosi
r 2 = 0,2526 ,
a więc nieznacznie więcej, niż w modelu liniowym.
Wyznaczając
b = e b ' = e −0, 0531 = 0,9483 ,
otrzymujemy oszacowanie modelu potęgowego:
y = 0,9483x 0, 4138 e ε .
5. Wnioski
Powyższe rozważania pokazują na konkretnym przykładzie trudność
uzyskania dobrego w sensie ekonometrycznym modelu zależności notowań
giełdowych. Nie oznacza to, że szukanie takich zależności nie ma sensu, gdyż
każde badanie statystyczne typu szukanie korelacji daje pewien zasób
informacji o związku (lub braku związku) pomiędzy badanymi wielkościami.
W naszym przypadku nawet tak niedoskonałe modele, jak opisane, mogłyby
być podstawą do prognozowania orientacyjnego poziomu notowań OBL w
sytuacji, gdy uważamy światowe ceny surowców za bardziej przewidywalne niż
notowania akcji na GPW.
179
Bibliografia
1. Aczel A.D., Statystyka w zarządzaniu, PWN, Warszawa 2000, ISBN 83-0113001-6.
2. Welfe A., Ekonometria, Państwowe Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa
2008, ISBN 83-208-1444-4.
3. Prospekt emisyjny trzyczęściowy spółki Orzeł Biały S.A. [online], 2007,
dostępny w World Wide Web: http://www.orzel-bialy.com.pl/prospektemisyjny.html.
4. http://www.rynek.bizzone.pl/.