O pewnym modelu zależności wahań notowań

Zeszyty naukowe nr 9
2011
Wyższej Szkoły Ekonomicznej w Bochni
Piotr Fijałkowski
O pewnym modelu zależności wahań notowań
giełdowych akcji na GPW od kapitalizacji spółki
Streszczenie
Niniejsza praca opisuje próbę budowy modelu ekonometrycznego
zależności wahań notowań akcji na Giełdzie Papierów Wartościowych
w Warszawie od kapitalizacji spółek. Danymi do modelu są notowania akcji
z 50 kolejnych sesji Giełdy Papierów Wartościowych
Abstract
The present article describes the attempt to construction of an econometric
model of dependence between the fluctuations of stock quotations on Warsaw
Stock Exchange and the capitalizations of companies. The data to the model
are the stock quotations from 50 following sessions of Warsaw Stock
Exchange.
1. Wstęp
Prawidłowością obserwowaną na rynkach akcji jest fakt, że większa
kapitalizacja spółki często wiąże się ze stosunkowo mniejszymi wahaniami cen
akcji. Jest to zasada, której mechanizm jest dość łatwy do zrozumienia –
podobne zainteresowanie inwestorów małą spółką podnosi cenę jej akcji
w większym stopniu, niż spółki dużej, ze względu na różnicę wartości podaży.
Mechanizm ten jest wykorzystywany przez kapitał spekulacyjny, co oczywiście
może jeszcze bardziej wzmocnić ten efekt. Spektakularnym przykładem
z Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie (GPW) może tu być bardzo
skuteczna spekulacja akcjami spółek o bardzo niewielkiej kapitalizacji
Domplast S.A., Chemiskór S.A. i EchoPress S.A., którą zajmowała się w latach
1995-1997 grupa inwestorów zwana „poznańską WIRR-ówką”.
160
Celem niniejszej pracy jest próba budowy modelu ekonometrycznego
opisującego zależności wahań notowań akcji spółek na GPW (zmienna
wyjaśniana y) od ich kapitalizacji (zmienna wyjaśniająca x). Model taki, choćby
niedoskonały, mógłby być ciekawym statystycznym potwierdzeniem
rzeczywistego istnienia takiej prawidłowości. Aby precyzyjnie opisać model,
uściślimy zagadnienie. Przez kapitalizację będziemy rozumieć iloczyn liczby
akcji danej spółki i średniego kursu akcji. Miarą wahania cen akcji jest
w niniejszej pracy współczynnik ich zmienności, czyli iloraz odchylenia
standardowego przez wartość średnią ceny akcji w pewnym okresie. Ze
względu na nieporównywalność walorów, jakimi są akcje różnych spółek,
odchylenie standardowe nie byłoby odpowiednią miarą wahania cen.
Będziemy rozważać cztery modele - liniowy, potęgowy, wykładniczy
i logarytmiczny, które mogłyby opisać wspomnianą zależność.
2. Dane
Dane do niniejszego opracowania pochodzą ze strony internetowej [4].
Wybór źródła jest podyktowany jego wiarygodnością i możliwością pobierania
danych w postaci plików xls, a więc w formie gotowej do dalszego
przetwarzania. Poniżej przedstawione jest tabelaryczne zestawienie liczby akcji,
średnich kursów akcji i współczynników zmienności z 50 kolejnych notowań
w dniach od 11.02.2011 do 21.04.2011 włącznie dla wszystkich spółek
notowanych na GPW, które brały udział we wszystkich tych notowaniach.
Średnie kursy zostały policzone jako średnie arytmetyczne kursów zamknięcia
sesji. Kapitalizacja x jest rozumiana tu jako iloczyn liczby akcji przez średni
kurs akcji w milionach złotych.
Tabela1.
Liczba akcji, średni kurs, kapitalizacja x i współczynniki zmienności y dla spółek, które
brały udział we wszystkich sesjach GPW w dniach 11.02.2011 – 21.04.2011 na
podstawie [4]
Skrót
L.p. nazwy Liczba akcji
spółki
Średni
kurs
(PLN)
Kapital. x
(mln PLN)
Wsp.
zmien.
y
L.p.
Skrót
Wsp.
nazwy Liczba akcji Średni kurs Kapital.x zmien. y
spółki
(mln PLN)
(PLN)
1.
06N
86737149
0,6992
60,6466 0,0482
170.
KOM
9572349
9,2962
88,9865
0,0576
2.
08N 125843667
2,3636
297,4441 0,0820
171.
KOV
402303330
1,7716
712,7206
0,0300
3.
ABC 121757404
4. ABM
3,6366
442,7830 0,0704
172.
KPX
74332538
20,5374 1526,5970
0,0245
7934500
13,2824
105,3892 0,0544
173.
KRB
271658880
16,8730 4583,7000
0,0221
5.
ABS
33418193
12,4544
416,2035 0,0285
174.
KRI
12936509
13,4086
173,4605
0,0291
6.
ACE
21230515
9,6286
204,4201 0,0599
175.
KSW
22986949
73,0800 1679,8860
0,0568
7.
ACP
77565530
52,0226
4035,1610 0,0265
176.
KTY
9225663
126,4080 1166,1980
0,0227
161
8.
ACS
21360000
23,9900
512,4264 0,0666
177.
KZS
54702992
2,4648
134,8319
0,1266
9.
ACT
16410000
19,9658
327,6388 0,0311
178.
LBW
81770000
1,5718
128,5261
0,0522
10.
ADD
18450000
1,4376
26,5237 0,0323
179.
LCC
447558311
1,5940
713,4079
0,0319
0,2316
46,6572 0,0617
180.
LEN
24875050
2,6692
66,3965
0,0634
14,9276
104,4932 0,0228
181.
LPP
1761565 2065,2100 3638,0020
0,0215
11.
ADS 201455999
12.
ADV
7000000
13. AGM
12600000
0,8470
10,6722 0,1689
182.
LST
44041871
41,7517
0,0567
14.
AGO
50937386
26,1624
1332,6440 0,0128
183.
LTS
129873362
43,6034 5662,9200
0,0699
15.
ALC 207000000
122,6040 4170,2020
0,9480
7,6008
1573,3660 0,0409
184.
LWB
34013590
5560990
43,9114
244,1909 0,0423
185.
MAK
9250071
ALT
4599120
41,5166
190,9398 0,0595
186.
MAR
5427563
0,4164
2,2600
0,0623
18. AMB
25206644
8,9460
225,4986 0,0225
187.
MCI
51970239
8,3782
435,4171
0,0317
19. AMC
7775237
47,1706
366,7626 0,0156
188.
MCR
15658535
17,8580
279,6301
0,3579
20.
APL
3282000
3,5064
11,5080 0,0287
189.
MDS
59186670
2,7666
163,7458
0,3261
21.
APT
35107028
20,1898
708,8039 0,0270
190.
MEW
28944392
0,6014
17,4072
0,0691
22. ARM
80000000
2,8232
225,8560 0,0210
191.
MIC
2548560
2,7832
7,0932
0,0334
ARR
4273820
12,8762
55,0306 0,0549
192.
MIL 1213116777
5,6432 6845,8610
0,0342
24. ART.
4275548
0,0586
0,2505 0,1144
193.
MIP
17885752
6,6150
118,3142
0,1055
1,2836
16. ALM
17.
23.
7,1886
66,4951
0,0309
0,0275
25.
AST
25000000
85,1570
2128,9250 0,0818
194.
MIT
145196597
186,3744
0,0243
26.
ATC
55403500
12,1536
673,3520 0,0234
195.
MLK
31250000
41,2180 1288,0630
0,0277
9,5850 1468,3230
0,0096
3,3304
329,5307
0,0206
352,1840 36809,9400
0,0503
27.
ATE 168064000
0,0894
15,0249 0,5411
196.
MMP
153189683
28.
ATG
86000000
2,6832
230,7552 0,0645
197.
MNI
98946283
29. ATM
36343344
12,5642
456,6250 0,0199
198.
MOL 104519063
30.
ATO
16500000
3,8740
63,9210 0,0563
199.
MON
18510073
3,7468
69,3535
0,0579
31.
ATP
6091904
8,8318
53,8025 0,0692
200.
MRB
75000000
4,4958
337,1850
0,0383
32.
ATR
9160079
17,8382
163,3993 0,0249
201.
MSA
2221093
6,7166
14,9182
0,0570
33.
ATS
42000000
1,4078
59,1276 0,0361
202.
MSC
50000000
80,9310 4046,5500
0,0225
34.
ATT
39116421
37,9258
1483,5220 0,0371
203.
MSO
40866000
3,8804
158,5764
0,0455
35.
AUX
3050000
4,4526
13,5804 0,0386
204.
MSP
2000000
38,3224
76,6448
0,0200
36.
AZC
3123000
11,4204
35,6659 0,1087
205.
MSW
20000000
45,3834
907,6680
0,0490
37.
BBC
51400731
1,4196
72,9685 0,0291
206.
MSX
44558803
1,2398
55,2440
0,0139
38.
BBD 523078250
0,4268
223,2498 0,0186
207.
MSZ
149130538
2,8342
422,6658
0,0272
39.
BBZ 139489990
0,9504
132,5713 0,0361
208.
MVP
36923400
9,0606
334,5482
0,0454
40. BCM
2020000
6,9620
14,0632 0,0384
209.
MWT
8270200
17,4878
144,6276
0,0770
41.
BDX
25530098
99,6570
2544,2530 0,0498
210.
MZA
2851896
7,6160
21,7200
0,0520
42.
BDZ
3149200
36,5596
115,1335 0,0327
211.
NEM
12150000
7,9544
96,6460
0,0458
96,4070 12596,5000 0,0545
212.
NET
391042968
5,3146 2078,2370
0,0142
43. BHW 130659600
44.
BIO 5479850656
0,1714
939,2464 0,0441
213.
NGS
156661200
0,2146
33,6195
0,0743
45.
BLI 120328705
2,3900
287,5856 0,0313
214.
NOV
9322925
1,1848
11,0458
0,1290
162
46. BMC
5308029
17,5238
93,0168 0,0450
215.
NTT
55400000
1,0494
58,1368
0,0142
30,4526
171,2240
0,0110
45,0992 11938,1500
0,0316
47.
BMI
39458668
7,3866
291,4654 0,0453
216.
NVS
5622639
48.
BMP
17500000
4,0410
70,7175 0,1234
217.
NWR
264708715
49.
BPC
41500000
0,3626
15,0479 0,5002
218.
O2O
7009505
5,7826
40,5332
0,1246
50.
BPH
76667911
74,0270
5675,4950 0,0236
219.
OBL
16641840
25,1862
419,1447
0,0390
51.
BPM
6199800
6,6384
41,1568 0,1363
220.
ODL
20664121
2,8888
59,6945
0,0455
52.
BPN
11000000
5,6910
62,6010 0,0363
221.
OIL
60296599
8,3198
501,6556
0,1424
53.
BRE
42086674 330,3340 13902,6600 0,0369
222.
OPG
14053866
35,3006
496,1099
0,0686
54.
BRK 145170000
223.
OPN
12676000
14,0090
177,5781
0,0768
7,5558
717,4232
0,1344
38,1570 1758,1600
0,0486
4,0038
581,2316 0,0491
55.
BRS 1128357846
1,8756
2116,3480 0,1787
224.
OPT
94950000
56.
BSK
868,07 11293,5900 0,0221
225.
ORB
46077008
13010000
57.
BTG 100000000
0,0398
3,9800 0,1479
226.
ORL
7878888
4,3032
33,9044
0,1791
58.
BTM
1,3000
91,7930 0,0307
227.
ORN
1082312
24,1192
26,1045
0,1882
59.
BVD
2985390 251,9500
752,1690 0,0497
228.
OTM
12748250
13,6564
174,0952
0,0512
73076013 225,5540 16482,5900 0,0048
229.
PAT
29500000
3,1550
93,0725
0,0603
189,0820 2702,9270
0,0642
60. BZW
70610000
61.
CCC
38400000
59,2080
2273,5870 0,0146
230.
PBG
14295000
62.
CCI
51200000
38,5154
1971,9880 0,0274
231.
PCE
75000000
63.
CDC
70684670
41,0838
2903,9950 0,3461
232.
PCG
11000000
2,7268
29,9948
0,0734
64.
CER 102332619
0,1240
12,6892 0,1283
233.
PCI
67565556
6,5392
441,8247
0,0059
65.
CEZ 537989759 138,3200 74414,7400 0,0420
234.
PEK
33020870
8,4794
279,9972
0,0346
66.
CFL
7500000
4,2404
31,8030 0,0269
235.
PEO
262367367
169,3640 44435,5900
0,0295
67.
CHS 150060000
0,4512
67,7071 0,0743
236.
PEP
21243059
68.
CIA
12650000
31,8088
402,3813 0,0668
237.
PFR
5650001
1,4624
8,2626
0,0532
69.
CIE
51000000
26,5874
1355,9570 0,0502
238.
PGD
8100001
14,9922
121,4368
0,0792
70.
CMP
4747899
77,2940
366,9841 0,0258
239.
PGE 1869783727
22,8476 42720,0700
0,0138
71. CMR
8051637
93,4700
752,5865 0,0173
240.
PGF
12249039
53,8320
659,3903
0,0266
103897325
1,1876
72.
CNG
57038073
3,0396
173,3729 0,0347
241.
PGM
73.
COG
66222248
4,1322
273,6436 0,1530
242.
PGN 5900000000
74.
CPA
24440000
1,7594
42,9997 0,0340
243.
PHO
75.
CPE
24504725
2,0564
50,3915 0,0475
244.
PJP
76.
CPS 268325000
11,6868
29,3454
876,5100
623,3861
0,1211
0,0555
123,3885
0,0225
3,8032 22438,8800
0,0174
23000000
4,5680
105,0640
0,1010
6024000
11,6960
70,4567
0,0447
15,5978
4185,2800 0,0377
245.
PKN
427709061
51,1514 21877,9200
0,0906
28861977
11,9524
344,9699 0,1563
246.
PKO 1250000000
43,4142 54267,7500
0,0389
78.
CST 216384043
12,1540
2629,9320 0,0213
247.
PLJ
21751059
1,3248
28,8158
0,0738
79.
CTC 193325000
0,3656
70,6796 0,0940
248.
PLT
127443217
0,3124
39,8133
0,0570
80.
CZP 341695281
0,4154
141,9402 0,0334
249.
PLX
8812280
14,7398
81. DAM 564213655
0,1358
76,6202 0,2305
250.
PLZ
292456654
77. CRM
129,8912
0,0506
4,0688 1189,9480
0,0643
82.
DBC
13802750
61,6680
851,1880 0,0074
251.
PMA
3200000
7,7094
24,6701
0,1068
83.
DFP
11697000
0,6004
7,0229 0,0980
252.
PMD
1955000
15,1382
29,5952
0,0254
163
84.
DGA
9042232
3,3626
30,4054 0,0429
85. DOM
24560222
46,6860
86.
DPL
30592750
2,3124
87.
DRE
6525000
1,5872
88.
DSS
12927709
20,8014
89.
DUD 308891433
90.
EAT
21205690
91.
ECD
66200000
92.
ECH 420000000
93.
EEF
39435989
94.
EEX
8910000
253.
PMP
23166700
5,3944
124,9704
0,0326
1146,6190 0,0170
254.
PND
22340189
32,0336
715,6367
0,0195
70,7427 0,0294
255.
POL
6250000
0,4472
2,7950
0,1453
10,3565 0,0604
256.
POZ
23377845
5,6232
131,4583
0,0602
268,9144 0,0577
257.
PPS
83000000
0,7686
63,7938
0,2194
1,5890
490,8285 0,0138
258.
PQA
27500100
18,1474
499,0553
0,0671
77,3650
1640,5780 0,0347
259.
PRC
122480456
0,7038
86,2017
0,0568
0,4374
28,9559 0,0195
260.
PRM
3895000
24,7954
96,5781
0,0302
4,9169
2065,1140 0,0374
261.
PRO
125907480
1,3160
165,6942
0,0607
3,2344
127,5518 0,0289
262.
PRT
19021600
5,5802
106,1443
0,0225
7,2756
64,8256 0,0958
263.
PSW
26750000
0,6502
17,3929
0,0923
95.
EFH 146600000
0,9516
139,5046 0,0316
264.
PTI
12000000
9,0570
108,6840
0,0683
96.
EKO
48616605
7,2088
350,4674 0,0140
265.
PUE
1018127
142,4920
145,0750
0,1239
97.
EKP
33334068
0,3790
12,6336 0,0298
266.
PXM
521154076
3,5570 1853,7450
0,0278
98.
ELS
48212000
4,8410
233,3943 0,0580
267.
PZU
86352300
353,2520 30504,1200
0,0247
99.
EMC
7137612
14,3420
102,3676 0,0405
268.
RBC
79810206
1,1328
90,4090
0,0705
EMF 104034569
19,2842
2006,2230 0,0322
269.
RBW
14552000
7,1782
104,4572
0,0733
100.
101.
EMP
102.
ENA 441442578
15115161 112,4600
103.
EPD
1699,8510 0,0160
270.
RCU
9240209
2,6052
24,0726
0,1318
21,3018
9403,5220 0,0514
271.
RDG
11790010
4,6548
54,8801
0,0744
0,0197
70972001
3,8922
276,2372 0,0291
272.
RDL
25719752
10,1252
260,4176
104.
EPI 108750000
0,2008
21,8370 0,1160
273.
RDN
26938020
7,4782
201,4479
0,0538
105.
EPL
11100000
9,4282
104,6530 0,0155
274.
RFK
69600000
11,6526
811,0210
0,0416
106.
ERG
43305000
0,9640
41,7460 0,2326
275.
RHD
7000000
4,8272
33,7904
0,0961
107.
ETL
3748255
15,0194
56,2965 0,0262
276.
RLP
9609193
4,9586
47,6481
0,0343
108.
EUC
5600000
18,6060
104,1936 0,0309
277.
RMK
3000000
51,1852
153,5556
0,0375
EUI 147295122
0,5454
80,3348 0,0874
278.
RNK
37145050
11,2898
419,3602
0,1045
110.
EUR 136657761
30,5392
4173,4190 0,0415
279.
ROB
257390000
1,933
497,5349
0,0571
111.
FAM
31882971
1,7850
56,91110 0,0797
280.
RON
272360000
1,4254
388,2219
0,027
112.
FCL
23400000
33,9950
795,4830 0,0733
281.
RPC
4605980
15,9676
73,5465
0,0174
113.
FER
24543252
15,1310
371,3639 0,0341
282.
RUN
11675685
1,1648
13,5999
0,0860
114.
FMF 481500000
3,6220
1743,9930 0,0596
283.
SFG
36607000
12,6418
462,7784
0,0281
115.
FON 112000000
0,4150
46,4800 0,0384
284.
SFS
14889406
5,1884
77,2522
0,0368
116.
FSG
3107249
17,7160
55,04802 0,1028
285.
SGN
11886242
20,1548
239,5648
0,0931
117.
FTE
23748084
11,4884
272,8275 0,0579
286.
SGR
43085683
11,5836
499,0873
0,0944
118.
GCN
5500000
24,5928
135,2604 0,0684
287.
SKL
10000000
6,1558
61,5580
0,0516
119.
GNB 953763097
6,9710
6648,6830 0,0880
288.
SKO
44687754
4,223
188,7164
0,0464
109.
120.
GNT
20499953
14,5414
298,0980 0,0787
289.
SKT
54000000
2,4992
134,9568
0,0609
121.
GOA
8435818
2,0290
17,1163 0,0410
290.
SME
2003904
16,3728
32,8095
0,0391
164
122.
GPF 146869995
123.
0,0622
9,1353 0,2393
291.
SNK
GPH
48100000
1,1484
55,2380 0,0569
292.
124. GPW
41972000
48,1096
2019,2560 0,0329
293.
SNW
125.
GRI
31836886
4,0734
129,6844 0,0188
294.
126.
GRJ
49624000
18,3878
912,4762 0,0755
295.
127.
GRL
8056440
10,6784
86,0299 0,0653
128.
GTC 219372990
20,9742
4601,1730 0,0213
129.
GTN 731785319
13,6654 10000,1400 0,0633
26308502
SNS 1323250000
12,9190
339,8795
0,0254
4,2370 5606,6100
0,0487
50117250
0,7916
39,6728
0,0315
SOB
20962500
1,7828
37,3720
0,1411
SRT
411913760
0,2608
107,4271
0,1870
296.
SSI
85500000
0,2778
23,7519
0,0343
297.
STF
17500000
24,7672
433,4260
0,0201
282,2240 1897,9560
0,0561
298.
STP
6725000
5000000
6,2984
31,4920 0,0911
299.
STX
247262023
1,294
319,9571
0,0427
131.
GZU 217060700
0,6102
132,4504 0,0621
300.
SWD
61182234
1,3376
81,8374
0,0519
132.
HBP 210558445
2,5356
533,892 0,0728
301.
SZR
70000000
0,3888
27,2160
0,0723
130. GWR
133.
HDR
2398300
31,4740
75,4841 0,0137
302.
TEL
6309623
12,5678
79,2981
0,0179
134.
HDX
1139853
29,8630
34,0394 0,0320
303.
TFO
8074988
6,2436
50,4170
0,0341
135.
HEF
5427690
1,4920
8,0981 0,0495
304.
TIN
170019744
0,4252
72,2924
0,0415
136.
HEL
5000000
16,3794
81,8970 0,1164
305.
TLX
3000092
12,8644
38,5944
0,0140
137.
HGN
23351624
1,4840
34,6538 0,0727
306.
TPE 1752549394
6,2494 10952,3800
0,0158
138.
HMS
19845000
0,1538
3,0522 0,0694
307.
TPS 1335649021
17,2118 22988,9200
0,0293
139.
HOT
14000000
1,6726
23,4164 0,2113
308.
140.
HRT
10465315
0,5182
5,4231 0,1276
309.
141. HTM
25458092
5,6840
144,7038
0,0338
TRK 160105480
TRI
3,5854
574,0422
0,0345
0,0311
25596270
4,8234
123,4610 0,0450
310.
TSG
11250000
15,3250
172,4063
142. HWE 105237064
3,5704
375,7384 0,0604
311.
TUP
15212345
6,4026
97,3986
0,0835
143.
2,8542
622,7204 0,0300
312.
TVL
2367850
15,3902
36,4417
0,0579
IDM 218176856
144.
IGR
39544977
0,2888
11,4206 0,0651
313.
TVN
342310604
17,1866 5883,1550
0,0319
145.
IMX
11834881
13,7952
163,2646 0,0466
314.
ULM
5255632
83,5510
439,1133
0,0265
146.
INB
60978300
0,0902
5,5002 0,0418
315.
VED
21213393
0,9360
19,8557
0,0603
147.
INC
32872396
2,7516
90,4517 0,0476
316.
VEN
313154715
0,0210
6,5763
0,1443
148.
IND
3124500
53,7970
168,0887 0,0580
317.
VIC
42910990
0,0978
4,1967
0,3615
149.
INK
7285500
19,5518
142,4446 0,0170
318.
VIN
11591938
7,5400
87,4032
0,1280
150.
INL
26638800
6,9548
185,2675 0,0142
319.
VIV
250000000
0,0950
23,7500
0,0713
151.
IPL
12151462
34,9898
425,1772 0,0435
320.
VST
111551355
2,1064
234,9718
0,0174
152.
IPO
13933334
4,0200
56,0120 0,0843
321.
VTR
5752380
4,3928
25,2691
0,0361
153.
IPX 200000000
4,9584
991,6800 0,0345
322.
WAS
91187500
3,7936
345,9289
0,0682
154.
ITG
5937745
83,6290
496,5677 0,0451
323.
WBY
155.
ITX
64750000
0,4506
29,1764 0,0529
324. WDM
156.
IZN
14756228
2,8408
41,9195 0,0719
325.
157.
IZO
11400000
1,6310
18,5934 0,0132
326.
158.
JAG
44405524
0,7014
31,1460 0,0680
327.
159.
JPR
52114408
1,4610
76,1392 0,0272
328.
4375000
1,2814
5,6061
0,1362
82500000
0,8666
71,4945
0,0645
WDX
9250719
2,1036
19,4598
0,0324
WFM
22180000
1,7652
39,1521
0,0802
WIK 1680558693
0,1238
208,0532
0,0428
WLB
1,8772
30,4537
0,0820
16222932
165
160.
JTZ 143359460
3,5530
509,3562 0,0239
329.
WXF
54000000
10,4758
565,6932
0,0175
161.
JWC
54073280
14,3974
778,5146 0,0228
330.
XPL
66500000
0,2848
18,9392
0,0450
162.
K2I
2026000
27,7960
56,3147 0,0286
331.
ZAK
14590000
0,7468
10,8958
0,0819
163.
KCH
10000000
4,2654
42,6540 0,1226
332.
ZAP
19115000
115,1800
2201,666
0,0442
164.
KER
73674410
78,5790
5789,2610 0,0515
333.
ZKA
4904150
15,3196
75,1296
0,1222
165.
KFL
26172602
33,3916
873,9451 0,0462
334.
ZLR
15200000
41,9778
638,0626
0,0272
166.
KGH 200000000 179,8360 35967,2000 0,0531
335.
ZRE
32900000
0,5882
19,3518
0,0842
167.
KGN
14900000
92,3740
1376,3730 0,0209
336.
ZST
20499539
3,7042
75,9344
0,0860
168.
KLR
32560000
11,4850
373,9516 0,0459
337.
ZWC
10271337
615,7500 6324,5760
0,0773
169.
KMP
4680496
7,4674
34,9511 0,0712
3. Modele zależności
Hipotetyczna zależność między kapitalizacją spółki x i współczynnikiem
zmienności y nie musi być silna i, jeśli w ogóle występuje, niekoniecznie musi
mieć charakter liniowy. Poniżej rozważamy, prócz liniowego, trzy modele
nieliniowe, które mogłyby opisywać tę zależność - potęgowy, wykładniczy
i logarytmiczny. Są to modele sprowadzalne do modelu liniowego przez
zamianę zmiennych, często występujące w zastosowaniach ekonometrii.
3.1. Model liniowy
Konstrukcję modelu liniowego zaczynamy od wyznaczenia współczynnika
korelacji liniowej między zmiennymi x i y ze wzoru (zobacz na przykład [1],
s.481):
r ( x, y ) =
∑
n
i =1
∑
n
i =1
( xi − x )( yi − y )
( xi − x )
2
∑
n
i =1
( yi − y )
.
2
W przypadku wartości współczynnika korelacji istotnie różnej od zera ma
sens konstrukcja modelu liniowego postaci (zobacz na przykład [1], s. 460-462)
y = αx + β + ε ,
gdzie ε jest składnikiem losowym. Parametry α i β estymujemy za pomocą
metody najmniejszych kwadratów, która polega na minimalizacji wartości
wyrażenia
∑
n
i =1
( yi − yˆ i ) 2 ,
166
gdzie (yi) są wartościami obserwowanymi (rzeczywistymi) zmiennej y, a ( ŷ i )
teoretycznymi, to znaczy obliczonymi według wzoru:
yˆ i = axi + b .
Z powyższego kryterium otrzymujemy następujące wzory pozwalające
obliczyć oceny a i b parametrów strukturalnych α i β modelu:
∑
a=
n
i =1
( xi − x )( yi − y )
∑i=1 ( xi − x ) 2
n
,
b = y − ax .
Miarą dopasowania wartości rzeczywistych i teoretycznych może być
współczynnik determinacji r 2 ( x, y ) , którego wartości bliskie 1 wskazują na
dobre dopasowanie oszacowanego modelu do danych (zobacz [3], s.41).
3.2. Model potęgowy
Przez model potęgowy rozumiemy hipotetyczną zależność postaci
y = β xα eε .
Logarytmując obie strony powyższej równości, sprowadzamy model
potęgowy do modelu liniowego:
ln y = α ln x + ln β + ε .
Przyjmując β ' = ln β , x'= ln x , y '= ln y , uzyskujemy równość
y ' = αx'+ β '+ε .
Jest to tak zwana postać liniowa modelu potęgowego. Po wyznaczeniu
wartości zmiennych x’ i y’ możemy wyznaczyć dla nich współczynnik korelacji
liniowej, na podstawie którego ocenimy celowość konstrukcji modelu
potęgowego. Jeżeli współczynnik ten okaże się istotny, to tak jak w modelu
liniowym znajdujemy oceny a i b’ współczynników α i β’ odpowiednio.
Po wyznaczeniu b = e b ' , znajdujemy oszacowaną postać modelu potęgowego.
167
3.3. Model wykładniczy
Przez model wykładniczy rozumiemy hipotetyczną zależność postaci
y = βα x eε
Logarytmując obie strony powyższej równości, sprowadzimy model
potęgowy do modelu liniowego:
ln y = x ln α + ln β + ε .
Przyjmując β '= ln β , α '= ln α , y '= ln y , uzyskujemy postać liniową
modelu wykładniczego:
y ' = α ' x + β '+ε .
Dalej postępujemy analogicznie jak w przypadku modelu potęgowego.
Model logarytmiczny
Przez model logarytmiczny rozumiemy tu hipotetyczną zależność postaci
y = α ln x + β + ε .
Przyjmując x'= ln x , uzyskujemy postać liniową modelu logarytmicznego:
y = αx'+ β + ε .
Dalej postępujemy analogicznie jak w poprzednich przypadkach.
4. Wybór modelu i konstrukcja
Z przedstawionego w rozdziale 3 opisu wynika, że wyboru najbardziej
odpowiedniego modelu można dokonać na podstawie współczynnika korelacji
odpowiednich zmiennych w modelu zlinearyzowanym. Obliczamy zatem
współczynniki korelacji r ( x, y ) , r ( x' , y ' ) , r ( x, y ' ) i r ( x' , y ) :
r ( x, y ) = −0,099 ,
r ( x ' , y ' ) = −0,351 ,
r ( x, y ' ) = −0,126 ,
r ( x ' , y ) = −0,283 .
168
Zagadnienie
statystycznego
przetestowania
istotności
tych
współczynników dla całej populacji notowań jest trudne ze względu na
charakter zmiennych x i y – są one estymacjami odpowiednio średniej
kapitalizacji i współczynnika zmienności dla wszystkich notowań danej spółki
uzyskane z próby 50 notowań z określonego okresu. Tymczasem standardowe
testy istotności współczynnika korelacji dotyczą jego estymacji na próbie
rzeczywistych wartości danych. Problem, jak zbudować test w naszym
przypadku, jest interesujący i chyba niełatwy – zrezygnujemy tu z prób jego
rozwiązania.
Powyższe zestawienie pokazuje, że największą wartość bezwzględną
współczynnika korelacji mają zmienne x’ i y’, co oznacza wybór modelu
potęgowego. Wyznaczamy oceny parametrów strukturalnych:
a = −0,125 ,
b' = −2,388 .
Oszacowanie zlinearyzowanego modelu ma zatem postać:
y ' = −0,125 x'−2,388 + ε .
Współczynnik determinacji dla tego modelu wynosi r 2 ( x' , y ' ) = 0,123 , co
oczywiście oznacza, że dopasowanie modelu do danych rzeczywistych jest
bardzo słabe.
Po wyznaczeniu b = e b ' = e −2,388 = 0,092 uzyskujemy oszacowany model
potęgowy dla zmiennych x i y:
y = 0,092 x −0,125eε
lub
y=
0,092 ε
e .
8
x
5. Wnioski
Ujemne współczynniki korelacji zdają się potwierdzać prawidłowość
polegającą na mniejszych wahaniach kursów akcji spółek o większej
kapitalizacji. Fakt, że otrzymany model jest słabo zgodny z danymi
rzeczywistymi nie jest specjalnie zaskakujący – istnieją inne czynniki
wpływających na wahania kursów.
Czynnikiem zwiększającym wahania kursów akcji niezwiązanym z małą
kapitalizacją spółki może być przewidywanie wysokich zysków spółek
inwestujących w nowe technologie. Przykładem mogą być spółki z branży
169
informatycznej, których notowania szybko rosły pod koniec lat
dziewięćdziesiątych ubiegłego stulecia. Korekta nadmiernych oczekiwań wobec
zysków z nowych technologii spowodowała odwrócenie trendu wzrostowego i
w latach 2000-2001 notowania tych spółek szybko spadły, nawet o 80% w
przypadku Amazon, czy Yahoo! (zobacz [2], s. 410). Mechanizm taki jest
wzmacniany przez efekt samospełniającej się prognozy, gdy prognozowany
wzrost cen akcji stymuluje zwiększony popyt spowodowany nadzieją na zyski z
inwestycji w akcje, co powoduje dalszy wzrost notowań. W sytuacji, gdy dalszy
wzrost nie ma uzasadnienia fundamentalnego i rynek przez dłuższy czas
dostatecznie nie koryguje cen, dochodzi do powstania bąbla spekulacyjnego
(zobacz [2], s.422 i 449). Pękniecie bąbla, czyli gwałtowna korekta, wyzwala
mechanizm samospełniającej się przepowiedni w odwrotnym kierunku –
prognozowany spadek notowań zwiększa liczbę chętnych do pozbycia się
zniżkujących walorów, przez co spadek pogłębia się. W rezultacie rynki, które
nadmiernie zwyżkują, mają tendencje do nadmiernych spadków po odwróceniu
się trendu ([2], s.449).
Przyczyna dużego wahnięcia kursu akcji może oczywiście mieć
charakter całkiem fundamentalny –
informacja o dobrych wynikach
finansowych z reguły powoduje wzrost, a informacja przeciwna spadek kursu
akcji.
170
Bibliografia
1. Aczel A.D., Statystyka w zarządzaniu, PWN, Warszawa 2000, ISBN 83-0113001-6.
2. Begg D., Fisher S., Dornbush R., Mikroekonomia, PWE, Warszawa 2007,
IBSN 83-208-1641-6.
3. Welfe A., Ekonometria, PWE, Warszawa 2008, ISBN 83-208-1444-4.
4. http://www.money.pl/.