EFEKTYWNOŚĆ SZACOWANIA BŁĘDÓW A POSTERIORI METODĄ

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
32, s. 521-528, Gliwice 2006
ISNN 1896-771X
EFEKTYWNOŚĆ SZACOWANIA BŁĘDÓW A POSTERIORI METODĄ
WYRÓWNOWAŻONYCH RESIDUÓW ELEMENTOWYCH
W ADAPTACYJNEJ ANALIZIE PŁYT I POWŁOK
GRZEGORZ ZBOIŃSKI
Instytut Maszyn Przepływowych PAN w Gdańsku, Uniwersytet Warminsko-Mazurski w Olsztynie
Streszczenie. Prezentowane badania dotyczą globalnej (w strukturze) i lokalnej
(w elemencie skończonym) efektywności szacowania błędów w adaptacyjnej
analizie struktur cienkosciennych. Interesuje nas residualna (resztkowa) metoda
szacowania błędów a posteriori zwana techniką wyrównoważania residuów.
Porównano wyniki dwóch testów adaptacyjnych. Uzyskane w obu testach
współczynniki efektywności ilustrują problem lokalnego pogorszenia jakości
estymacji. Przedstawiono zródła takiego pogorszenia oraz ewentualne sposoby
zaradzenia mu w oparciu o wyrównoważanie wyższego stopnia.
1. WSTĘP
Prezentowane badania dotyczą globalnej i lokalnej (odnoszących się odpowiednio do
struktury i do elementu skończonego) efektywności szacowania błędów w adaptacyjnej
metodzie elementów skończonych. Efektywność ta jest mierzona za pomocą odpowiednich
współczynników efektywności, określających stosunek oszacowanej wartości błędu do jego
wartości dokładnej.
W niniejszej pracy interesują nas residualne (resztkowe) metody szacowania błędów a
posteriori, a w szczególności tzw. technika wyrównoważania residuów [1]. Metoda ta została
zmodyfikowana przez nas [2] w ten sposób, że błąd jest określony jako różnica pomiędzy
energiami potencjalnymi odpowiadającymi rozwiązaniu ścisłemu i rozwiązaniu numerycznemu
(a nie jako ekwiwalentna różnica energii odkształcenia), a wielkościami poszukiwanymi w
problemach lokalnych elementów jest nie samo oszacowanie błędu, ale oszacowanie
rozwiązania dokładnego. Tak zmodyfikowana metoda została następnie przystosowana przez
nas [2, 3, 4, 5] do analizy płyt i powłok modelowanych zarówno elementami bryłowymi,
powłokowymi hierarchicznymi, jak i powłokowymi pierwszego rzędu. Warto tutaj zaznaczyć,
że oszacowania błędów aproksymacji obliczone za pomocą podejścia oryginalnego [1] i
zmodyfikowanego [2] są identyczne. Podejście zmodyfikowane ma jednak tę przewagę, iż
można je wykorzystać także do szacowania błędu całkowitego i błędu modelowania, czego nie
zapewnia podejście oryginalne. Przypomnijmy tutaj, że błąd całkowity stanowi sumę błędu
aproksymacji i błędu modelowania wynikającego z zastosowanie modelu mechanicznego
uproszczonego względem modelu ścisłego, za jaki uznawać tutaj będziemy model
trójwymiarowej teorii sprężystości.
522
G. ZBOIŃSKI
Zastosowana metoda szacowania składa się z kilku etapów [5], wśród których
najważniejszy polega na rozwiązywaniu problemów lokalnych w elementach, w oparciu o
wyznaczone wcześniej liniowe funkcje rozkładu naprężeń międzyelementowych, wchodzące do
definicji wyrównoważonych residuów elementowych. Jak to już wspomniano, uzyskane
rozwiązania lokalne w elementach reprezentują oszacowane wartości rozwiązania dokładnego.
Ich porównanie z globalnym rozwiązaniem numerycznym, uzyskanym metodą elementów
skończonych, pozwala na wyznaczenie elementowych indykatorów błędu oraz globalnego
oszacowania błędu.
W naszych badaniach interesować nas będzie pogorszenie jakości procesu estymacji błędu
w strukturach cienkościennych, wynikające z zastosowania hierarchicznych modeli
powłokowych lub modeli trójwymiarowych, i obserwowane w stosunku do analiz w oparciu o
modele powłokowe pierwszego rzędu.
2. METODA SZACOWANIA BŁĘDÓW I JEJ EFEKTYWNOŚĆ
2.1. Metoda wyrównoważania residuów elementowych
Jak to już zaznaczono we wstępie metoda wyrównoważania residuów została przez nas
przedstawiona w pracy [5]. Tam też znaleźć można inne źródła literaturowe opisujące tę
metodę w szczegółach. Tutaj ograniczymy się do przywołania podstawowej zależności
charakteryzującej metodę:
ea (uq( M ),hp )
2
e
∑V
= −2 Π (uq(M ) ) + 2 Π (uq(M ),hp)
e
e
e
≤ ∑[−2 Π (uq( M ) ) − B(uq(M ),hp, uq(M ),hp) + 2
∫
Se \( P∪Q)
e
e
= ∑[B(u
q( M )
q( M )
,u
e
) − B(u
q( M ),hp
q ( M ),hp
,u
e
(uq( M ) )T r (uq(M ),hp) dSe ]
(1)
)]
e
2
(
e

= ∑η qa(M )  = ηaq( M )

e 
)
2
e
e
Powyżej e oznacza numer elementu skończonego, Π to energia potencjalna w elemencie, B
e
e
to jego podwojona energia odkształcenia, V i S to jego objętość i brzeg, podczas gdy P i Q
oznaczają odpowiednio obciążoną i utwierdzoną część brzegu całego ciała. Z kolei e a
reprezentuje wektor błędu aproksymacji, na którym zdefiniowana jest globalna norma błędu, a
η aq (M ) to globalny estymator tegoż błędu. Ostatni składnik drugiej linii powyższej zależności
definiuje tzw. residuum elementowe, w którym u q (M ) to poszukiwane rozwiązanie dokładne, a
u q ( M ),hp to rozwiązanie numeryczne.
W pracy [5] znaleźć można definicje energii potencjalnej i energii odkształcenia
odpowiadające zależności (1). Tam też znajdują się analogiczne zależności dla przypadków
błędu całkowitego i błędu modelowania.
EFEKTYWNOŚĆ SZACOWANIA BŁĘDÓW A POSTERIORI METODĄ WYRÓWNOWAŻONYCH... 523
2.2. Liniowe funkcje rozkładu naprężeń międzyelementowych
W zależności (1) występuje składnik odkreślony przez nas jako residuum elementowe. Jego
drugi czynnik reprezentuje wektor tzw. wyrównoważonych naprężeń międzyelementowych.
e
Wektor taki definiuje się dla elementu e w oparciu o jego tensor naprężeń σ oraz analogiczny
f
tensor σ w elemencie f posiadającym z nim wspólną ścianę, przy czym wykorzystujemy tutaj
e
także wektor normalny do wspólnej ściany oznaczony symbolem n . Iloczyny odpowiednich
e
f
tensorów i wektora normalnego do brzegu prowadzą do wektorów naprężeń r i r . W
definicji wektora wyrównoważonych naprężeń międzyelementowych występują także
f
e
f
e
wektorowe funkcje rozkładu tych naprężeń α i α , przy czym obowiązuje: α = 1 − α . Definicja
rozważanego wektora jest następująca:
f e
e
e f
e
f e
e
e f
r (u q ( M ),hp ) = α σ (u q ( M ),hp ) n + α σ (u q ( M ),hp ) n = α r (u q ( M ),hp ) + α r (u q ( M ), hp )
f
e
e
(2)
f
e
= 12 [r (u q ( M ),hp ) + r (u q ( M ),hp )] − (α − 1)[r (u q ( M ), hp ) − r (u q ( M ),hp )]
Wektorowa liniowa funkcja rozkładu zdefiniowana jest na wspólnej ścianie sąsiednich
elementów w oparciu o funkcje kształtu χ i na ścianie elementu oraz współczynniki rozkładu
αi , wyznaczone w węzłach narożnych i ściany w oparciu o procedurę przedstawioną w [5]:
e
α =
w Sv
∑
i =1
χ iα i
(3)
gdzie wSv oznacza liczbę węzłów wierzchołkowych na wspólnej ścianie elementów e i f.
2.3. Współczynniki efektywności
Miarą efektywności oszacowań błędu aproksymacji, uzyskanych w oparciu o metodę
wyrównoważania residuów elementowych, będą zdefiniowane w sposób standardowy
e
współczynniki efektywności, globalny θ aq (M ) i elementowe θ
oszacowanej wartości błędu do jego wartości dokładnej
θ aq ( M ) =
e a (u
, zdefiniowane jako stosunek
e
η aq ( M )
q ( M ), hp
q (M )
a
e
, θ
)
e
∑V
e
q(M )
=
a
η qa ( M )
e
, θ aq ( M ) ≠ ∑ θ
e
e a (u q ( M ),hp )
e
q(M )
a
(4)
e
V
W przedstawionych poniżej testach numerycznych wartości błędu przyjęte za dokładne
wynikać będą z porównania badanego rozwiązania numerycznego i najlepszego rozwiązania
numerycznego możliwego do uzyskania (maksymalne zagęszczenie siatki i maksymalny stopień
wielomianów aproksymujących).
524
G. ZBOIŃSKI
3. TESTY ILUSTRUJĄCE ZJAWISKO POGORSZENIA EFEKTYWNOŚCI
3.1. Płyta modelowana w oparciu o teorię pierwszego rzędu
Pierwszy z testów dotyczy symetrycznej ćwiartki utwierdzonej płyty kwadratowej
obciążonej równomiernie siłami powierzchniowymi. Przyjęty do obliczeń model mechaniczny
odpowiada teorii pierwszego rzędu Reissnera-Mindlina. Rys. 1 przedstawia stan naprężeń
efektywnych uzyskanych dla siatki zadaptowanej automatycznie (przez program
komputerowy). Przypomnijmy tutaj, że stosowana przez nas procedura adaptacyjna składa się
z czterech kroków, odpowiadających sieci początkowej, zmodyfikowanej, pośredniej i
końcowej. Procedura ta opisana jest w pracy [2].
Podstawową cechą uzyskanego rozwiązania jest jego gładki charakter, przejawiający się
brakiem istotnych koncentracji naprężeń, co widać na rysunku. Globalna oszacowana wartość
błędu dla tego przykładu wynosi 0,4%, a uzyskany globalny współczynnik efektywności jest
równy 1,658 (patrz rys.2).
Rys.1. Stan naprężeń efektywnych w symetrycznej ćwiartce płyty
Rys.2. Współczynniki efektywności w symetrycznej ćwiartce płyty
EFEKTYWNOŚĆ SZACOWANIA BŁĘDÓW A POSTERIORI METODĄ WYRÓWNOWAŻONYCH... 525
3.2. Powłoka o złożonym modelu mechanicznym
Drugi test dotyczy symetrycznej powłoki półwalcowej obciążonej równomiernymi
pionowymi siłami powierzchniowymi. Brzeg prostoliniowy powłoki jest utwierdzony, a brzeg
zakrzywiony pozostaje swobodny. Powłoka ma charakter struktury złożonej ze względu na
niejednorodny model mechaniczny, przejawiający się występowaniem w jednej sieci,
elementów powłokowych pierwszego rzędu (środek powłoki), elementów powłokowych
hierarchicznych i elementów bryłowych (brzegi: utwierdzony i swobodny powłoki), a także
łączących je elementów przejściowych.
Rys. 3 przedstawia stan naprężeń efektywnych uzyskanych dla sieci końcowej wynikającej z
czterokrokowego procesu adaptacji. Widać wyraźnie koncentracje naprężeń wzdłuż brzegu
krzywoliniowego, wynikające z wystąpienia tzw. efektu brzegowego (inaczej, warstwy
brzegowej), polegającego na wykładniczej zmianie naprężeń w kierunku normalnym do tego
brzegu. Dodatkowo, w jednym z widocznych naroży powłoki zaobserwować można
wystąpienie osobliwości rozwiązania, wiążącej się z gwałtownym (dążącym teoretycznie do
nieskończoności) wzrostem naprężeń.
Uzyskany dla niniejszego przykładu rzeczywisty poziom błędu globalnego w całej
strukturze wynosi 5,4%, a odpowiadający mu globalny współczynnik efektywności metody
wyrównoważonych residuów elementowych jest równy 7,298 (patrz rys. 4). Warto tutaj
zwrócić uwagę na fakt, iż lokalnie, w elemencie skończonym modelującym naroże z
osobliwością, rzeczywisty błąd jest równy 11%, a lokalny współczynnik efektywności
przekrocza 100, co oznacza, iż błąd w tym elemencie jest przeszacowany ponad stukrotnie.
Rys.3. Stan naprężeń efektywnych w symetrycznej ćwiartce powłoki
526
G. ZBOIŃSKI
Porównanie wyników pierwszego i drugiego testu wskazuje, że metoda wyrównoważania
residuów elementowych, oparta na liniowych funkcjach rozkładu, nie radzi sobie z
przypadkami, kiedy rozwiązanie nie ma charakteru gładkiego.
Rys.4. Współczynniki efektywności w symetrycznej ćwiartce powłoki
4. PROPOZYCJA POPRAWY EFEKTYWNOŚCI I JEJ PRZESŁANKI
W celu poprawienia efektywności szacowania błędu aproksymacji autor proponuje
zastosowanie wyrównoważania wyższego stopnia, które wykorzystywać będzie
wielomianowe funkcje rozkładu naprężeń międzyelementowych. Takie podejście wymaga
wyznaczenia węzłowych współczynników rozkładu nie tylko w węzłach narożnych, jak to ma
miejsce w przypadku liniowych funkcji rozkładu, ale także w węzłach wyższego stopnia, tzn.
na krawędziach i w środku ścian. Sytuację tę zilustrowano na rys. 3, dla przypadku
dwuwymiarowego. Zauważmy, iż na rysunku tym dowolnie zmienną liczbę węzłów
krawędziowych oznaczono za pomocą kresek. W przypadku zaproponowanego podejścia,
modyfikacji ulec musi także zależność (3). Przyjmie ona teraz postać następującą:
e
α =
w Sv + w Sh
∑
i =1
χiαi
(5)
gdzie wSh oznacza dodatkową liczbę węzłów wyższego stopnia na ścianie elementu.
Niniejsza propozycja wykorzystania funkcji rozkładu bierze za podstawę następujące
przesłanki wynikające z definicji (patrz [1, 2]) współczynników rozkładu naprężeń międzyelementowych oraz przeprowadzonych testów pilotażowych. Otóż, liniowe współczynniki
rozkładu są tak zdefiniowane, że błąd jaki powodują w przypadku zastosowania ich do
elementów liniowych (pierwszego stopnia) jest równy zeru. Z tego powodu w problemach
lokalnych definiuje się elementy skończone jako o jeden stopień wyższe niż w problemie
globalnym, na podstawie którego te współczynniki są wyznaczane. Autor przeprowadził
EFEKTYWNOŚĆ SZACOWANIA BŁĘDÓW A POSTERIORI METODĄ WYRÓWNOWAŻONYCH... 527
wstępny test dla przypadku współczynników drugiego stopnia zastosowanych do szacowania
błędów aproksymacji w elementach drugiego stopnia. Także i w tym przypadku błędy te
okazały się być równe zeru. Świadczy to o poprawności naszej propozycji. Z kolei
dokładniejsza, niż w przypadku liniowym, aproksymacja funkcji rozkładu stanowi przesłankę
do oczekiwania wyższej efektywności szacowania błędów.
Rys.3. Węzły współczynników rozkładu w przypadku liniowym i wyższego stopnia
3. WNIOSKI
Przyczyną pogorszenia jakości szacowania błędu aproksymacji w problemach struktur
cienkościennych, w przypadku zastosowania hierarchicznych modeli powłokowych zamiast
modelu powłokowego pierwszego rzędu, jest różny charakter odpowiadających im rozwiązań.
W drugim przypadku bowiem mamy do czynienia z rozwiązaniem gładkim, podczas gdy w
pierwszym wystąpić mogą spiętrzenia naprężeń w postaci tzw. warstwy brzegowej i
osobliwości wierzchołkowych lub krawędziowych. W wypadku ich pojawienia się dochodzi do
lokalnego pogorszenia efektywności zastosowanej residualnej metody szacowania błędu, co
wpływa także na pogorszenie globalnej efektywności takiego oszacowania.
Jako jedną z możliwych metod poprawienia efektywności szacowania błędu aproksymacji,
w sytuacji wystąpienia osobliwości lub efektu brzegowego, zaproponowano zastosowanie
wyrównoważania wyższego stopnia z funkcjami rozkładu naprężeń międzyelementowych w
postaci wielomianów, w miejsce wykorzystywanego dotychczas przez autora i poprzedników
wyrównoważania pierwszego stopnia z liniowymi funkcjami rozkładu. Przesłanki takiego
podejścia wynikają z rozważań teoretycznych oraz ze wstępnych testów numerycznych,
których wyniki omówiono w punkcie poprzednim.
LITERATURA
1. Ainsworth, M., Oden, J. T., Wu, W., A posteriori error estimation for hp approximation in
elastostatics. Appl. Numer. Math., 14, 1994, 23-55.
2. Zboiński G.: Modelowanie hierarchiczne i metoda elementów skończonych do
adaptacyjnej analizy struktur złożonych (rozprawa habilitacyjna). Zesz. Nauk. IMP PAN.
Studia i Materiały, 520/1479/2001. Gdańsk: Wydawnictwo IMP PAN.
3. Zboiński G.: A posteriori error estimation for hp-approximation of the 3D-based first
order shell model. Part I. Theoretical aspects. Applied Mathematics Informatics and
Mechanics, 8, 1, 2003, 104-125.
528
G. ZBOIŃSKI
4. Zboiński G.: A posteriori error estimation for hp-approximation of the 3D-based first
order shell model. Part II. Implementation aspects. Applied Mathematics, Informatics and
Mechanics, 8, 2, 2003, 59-83.
5. Zboiński G.: Adaptacyjna analiza struktur złożonych. Szacowanie błędów a posteriori,
Zesz. Nauk. Katedry Mechaniki Stosowanej, 23, 2004, 501-506.
EFFECTIVITY OF A POSTERIORI ERROR ESTIMATION
WITH ELEMENT RESIDUAL EQULIBRATION METHOD
IN ADAPTIVE ANALYSIS OF PLATES AND SHELLS
Summary. The presented research deals with the global (within the structure) and
local (within a finite element) effectivity of a posteriori error estimation in adaptive
analysis of thin-walled structures. We are interested in the Element Residual
Method (ERM) of a posterirori error estimation with equilibration of the residuals.
The results of two adaptive tests have been compared. The effectivity indices from
both examples reflect the problem of local worsening of the quality of error
estimation. The source of such local worsening has been indicated and the method
of overcoming it, based on higher order equilibration, has been suggested.