Część 12

Transkrypt

Część 12

Andrzej Pietruszczak
Materiały do wykładu
„Logiczne podstawy kognitywistyki”∗
Cześć
˛ 12
1. Logiczna sprzeczność
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Potocznie to, że dany zbiór zdań jest sprzeczny ma znaczyć, że nie jest możliwe, aby wszystkie zdania
w tym zbiorze były jednocześnie prawdziwe (zob. punkt 3.4 w części 7, s. 99). Przypomnijmy również, że
takie słowa jak ‘nielogicznie’ i ‘nielogiczny’ potocznie znaczą mniej więcej tyle, co odpowiednio słowa
‘sprzecznie’ i ‘sprzeczny’. Zatem słowa ‘logicznie’ i ‘logiczny’ znaczą potocznie mniej więcej tyle, co
odpowiednio słowa ‘niesprzecznie’ i ‘niesprzeczny’ (por. punkt 1 w części 9, s. 117). Nie wolno jednak
sądzić, że logiczna sprzeczność to jakaś «niesprzeczna sprzeczność» albo sprzeczność, która jest «zgodna
z logiką» lub «dopuszczalna przez logikę». Takie absurdalne zlepki słów pokazują, że w logice termin
‘sprzeczność logiczna’ ma być terminem technicznym. Ma on oznaczać sprzeczność, którą potrafimy zbadać metodami logiki, czyli taką, która zależna jest wyłącznie od znaczenia stałych logicznych i logicznej
struktury zdań.1
Ponadto przypomnijmy, że w logice słowa ‘nielogicznie’ i ‘nielogiczny’ rozumie się tak, jak w sensie
potocznym. Sprzeczność, która nie będzie sprzecznością logiczną, w logice jest określana jako pozalogiczna.2 Każda sprzeczność ma być «nielogiczna» w potocznym tego słowa znaczeniu.
Lapidarnie można powiedzieć, że zachodzenie wynikania jest czymś «pozytywnym», a występowanie sprzeczności jest czymś «negatywnym». Jednakże jedno z tych dwóch pojęć daje się sprowadzić do
drugiego poprzez użycie operatora negacji ‘∼’.
Ponieważ nie będziemy ograniczać się jedynie do logiki klasycznej, więc przypomnijmy oba operatory
negacji przedzdaniowej w logice dopuszczającej zdania z luką logiczną. Są to operatory ‘∼’ (‘Nie jest
prawdą, że’ bądź w skrócie ‘Nieprawda, że’) oraz ‘¬’ (‘Nie jest tak, że’). Mają one następujące tabelki
dla dowolnego zdania α w sensie logicznym:
α
prawdziwe
fałszywe
luka logiczna
α
prawdziwe
fałszywe
luka logiczna
∼α
fałszywe
prawdziwe
prawdziwe
¬α
fałszywe
prawdziwe
luka logiczna
α
1
0
◦
∼α
0
1
1
α
1
0
◦
∼α
0
1
◦
Jeśli interesuje nas tylko logika klasyczna (dwuwartościowa), to będziemy brać pod uwagę jedynie dwa
pierwsze wiersze powyższej tabelki. Zatem wówczas operatory ‘∼’ i ‘¬’ są nieodróżnialne, a ponadto,
wolno zamiennie używać słowa ‘fałszywe’ i ‘nieprawdziwe’.
W logice dopuszczającej zdania z lukami logicznymi przydatne będzie spostrzeżenie, że operator ‘∼’
zachowuje się wedle poniższej zasady:
α
prawdziwe
nieprawdziwe
∼α
nieprawdziwe
prawdziwe
gdzie nieprawdziwe zdanie to zdanie albo fałszywe albo z luką logiczną. Widzimy zatem, że w logice dopuszczające zdania z luką logiczną w relacji prawda–nieprawda tabelka dla ‘∼’ zachowuje się tak samo,
∗
1
2
c 2017 Prawa autorskie do całości materiałów do wykładu z „Logicznych podstaw kognitywistyki” ma wyłącznie autor.
Zachodzi więc analogia z takimi terminami, jak ‘wynikanie logiczne’, czy ‘równoważność logiczna’.
Ponownie więc zachodzi analogia z wynikaniem i równoważnością.
166
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 12
167
,2
01
6/2
01
7
jak w logice dwuwartościowej w relacji prawda–fałsz. Stąd wszystkie wyniki uzyskane w logice dopuszczające zdania z luką logiczną dla operatora ∼ obowiązywać będą również w logice dwuwartościowej.
Ponadto, rozpatrywanie bardziej ogólnego przypadku nie powinno nastręczyć dodatkowych trudności.
Jak już wspomnieliśmy, poprzez użycie operatora negacji ‘∼’ pojęcie sprzeczności daje się sprowadzić
do pojęcia wynikania, oraz odwrotnie. Przykładowo, zbiór złożony z dwóch zdań α i β jest sprzeczny
wtedy i tylko wtedy, gdy z α wynika ∼ β (jak również z β wynika ∼ α). Ogólnie, jak dalej pokażemy,
jeśli niepusty zbiór zdań Γ jest sprzeczny, to dla dowolnego należącego do Γ zdania α mamy: ze zbioru
Γ \ {α} wynika ∼ α, gdzie Γ \ {α} jest zbiorem powstałym ze zbioru Γ po odrzuceniu z niego zdania α.
Ostatnie stwierdzenie ma następujące uzasadnienie: jeśli zbiór Γ jest sprzeczny, to nie może się zdarzyć,
aby wszystkie występujące w nim zdania były prawdziwe. Stąd jeśli wszystkie zdania w pomniejszonym
zbiorze Γ \ {α} są prawdziwe, to zdanie α nie jest prawdziwe, tj. prawdziwe jest zdanie ∼ α.
Zachodzi również następujące stwierdzenie: Jeśli ze zbioru Π wynika zdanie α, to zbiór zdań Π ∪
{∼ α} jest sprzeczny, gdzie Π ∪ {∼ α} jest rozszerzeniem zbioru zdań Π o zdanie ∼ α. Istotnie, jeśli ze
zbioru Π wynika zdanie α, to nie może się tak zdarzyć, aby jednocześnie wszystkie zdania w zbiorze Π
były prawdziwe, a α nie było prawdziwe. Stąd zaś mamy, że nie może się tak zdarzyć, aby jednocześnie
wszystkie zdania w zbiorze Π wraz ze zdaniem ∼ α były prawdziwe. Zatem zbiór Π ∪{∼ α} jest sprzeczny.
Powyższe dwa stwierdzenia pokazują, że pomiędzy pojęciami sprzeczności i wynikania istotnie zachodzą związki, które wyrażamy za pomocą operatora negacji przedzdaniowej ‘∼’.
Logiczne wynikanie zdania α ze zbioru zdań Π sprowadza się do tego, że układ Π/α podpada pod jakiś niezawodny schemat wnioskowania. Analogicznie określimy to, że zbiór zdań Γ jest logicznie sprzeczny: ma on podpadać pod jakiś logicznie sprzeczny zbiór schematów zdaniowych. Zatem na początek
omówimy pojecie bycia logicznie sprzecznym zbiorem schematów zdaniowych.
yk
ła d
uL
PK
1.1. Logicznie sprzeczne zbiory schematów zdaniowych
M
a te
r ia
ły
do
w
Dla dowolnego niepustego zbioru Σ złożonego ze schematów zdaniowych przyjmiemy, że to, iż Σ jest
zbiorem logicznie sprzecznym ma znaczyć:
nie istnieje żadne podstawienie, przy którym prawdziwe są wszystkie zdania otrzymane
ze schematów ze zbioru Σ.
Poprzez proste przekształcenia logiczne widzimy, że to, iż Σ jest zbiorem logicznie sprzecznym jest równoważne temu, że:
przy dowolnym dopuszczalnym podstawieniu nie jest prawdziwe co najmniej jedno
zdanie otrzymane ze schematów ze zbioru Σ.
Ponownie poprzez proste przekształcenia logiczne otrzymujemy, że to, iż niepusty zbiór schematów
zdaniowych Σ nie jest logicznie sprzeczny jest równoważne temu, że:
istnieje co najmiej jedno podstawienie, przy którym prawdziwe są wszystkie zdania
otrzymane ze schematów ze zbioru Σ.
Przykład 1.1. 1. Poniższe dwuelementowe zbiory schematów zdaniowych są logicznie sprzeczne:3
(i)
{p, ∼ p}
p ∼p
p ¬p
(ii)
{p, ¬ p}
1
0
1
0
dla (i)
dla (ii)
0
1
0
1
◦
1
◦
◦
Widzimy, że nie ma takiego podstawienia, przy którym oba schematy ze zbioru {p, ∼ p} dają zdania prawdziwe. Innymi słowy, przy dowolnym dopuszczalnym podstawieniu otrzymamy co najmniej jedno zdanie
nieprawdziwe. Tak samo jest w przypadku zbioru {p, ¬ p}.
Tym bardziej tak będzie w logice dwuwartościowej, czyli gdy ograniczymy się do zdań, które mają
klasyczną wartość logiczną oraz nie są odróżnialne operatory ‘∼’ i ‘¬’.
2. Z punktu 1 otrzymujemy, że dla dowolnego schematu zdaniowego σ, logicznie sprzeczne są oba
poniższe dwuelementowe zbiory schematów zdaniowych:
(iii)
{σ, ∼ σ}
Np.: {Każdy S jest P-em, ∼ każdy S jest P-em}
(iv)
{σ, ¬ σ}
Np.: {c jest P-em, ¬ c jest P-em}
3
Dla lepszej «widoczności» pisząc o zbiorach schematów zdaniowych samych schematów nie będziemy ujmować «w
łapki», czyli nie będziemy tworzyć nazw schematów. Przypomnimy, że w nawiasach klamrowych mają występować nazwy
poszczególnych elementów zbioru (a nie te elementy).
168
Można się o tym przekonać także poprzez tabelkę, gdyż przy dowolnym dopuszczalnym postawieniu ze
schematu σ otrzymamy zdanie albo prawdziwe, albo fałszywe, albo bez klasycznej wartości logicznej
(więc dla σ wolno zastosować podane tabelki tak, jak dla litery zdaniowej ‘p’).
3. Także logicznie sprzeczny jest poniższy dwuelementowy zbiór schematów zdaniowych:
(v)
{c jest S -em, c nie jest S -em}
gdzie ‘c’ reprezentuje dowolne wyrażenia, które mają odnosić się tylko do jednego obiektu. Zatem mają to
być, albo nazwy jednostkowe, albo deskrypcje singularne, albo skróty takich deskrypcji. Nie wykluczamy
jednak pustych deskrypcji singularnych, czyli takich, które nie odnoszą się do żadnego obiektu. Litera ‘S ’
ma zaś reprezentować dowolną nazwę generalną (może ona także być pusta).
Istotnie, jeśli za ‘c’ podstawimy pustą deskrypcję singularną, to z obu schematów otrzymamy zdania
bez wartości. Jeśli zaś za ‘c’ podstawimy nazwę jednostkową, to jedno z otrzymanych zdań będzie prawdziwe, a drugie fałszywe, gdyż pierwsze zdanie będzie mówić, że dany obiekt ma własność S , drugie zaś
że dany obiekt nie ma tej własności.
W logice dwuwartościowej dopuszczalnymi podstawieniami są jedynie takie, gdzie za ‘c’ podstawiamy nazwy jednostkowe.
⋄
,2
01
6/2
01
7
Układy (i)–(v) z przykładu 1.1 często są używane jako «wzorce logicznej sprzeczności». Jako takich
wzorców używaliśmy ich już wcześniej  zanim określiliśmy pojęcie bycia logicznie sprzecznym zbiorem
schematów zdaniowych. Nie wolno jednak sądzić, że są to jedyne logicznie sprzeczne zbiory schematów
zdaniowych. Ponadto, nie należy sądzić, że takie zbiory są jedynie dwuelementowe.
yk
ła d
uL
PK
Przykład 1.2. 1. W interpretacji potocznej zdań kategorycznych logicznie sprzeczny jest poniższy zbiór
schematów zdaniowych:
(vi)
{Każdy S jest P-em, Żaden S nie jest P-em}
M
a te
r ia
ły
do
w
Istotnie, nie istnieje podstawienie, przy którym oba schematy przekształcają się w zdania prawdziwe.
Mianowicie, jeśli nazwa generalna S nie jest pusta, to fałszywe jest co najmniej jedno z otrzymanych
zdań. Jeśli zaś nazwa S jest pusta, to z ‘Każdy S jest P-em’ otrzymamy zdanie bez wartości logicznej
(czyli nieprawdziwe).
W interpretacji matematycznej zbiór (vi) nie jest sprzeczny logicznie. Mianowicie, jeśli za ‘S ’ podstawimy dowolną pustą nazwę generalną, to z obu schematów otrzymamy zdania prawdziwe (przy dowolnym
podstawieniu nazwy generalnej za ‘P’). Zatem istnieje takie postawienie, przy którym w interpretacji matematycznej ze schematów ‘Każdy S jest P-em’ i ‘Żaden S nie jest P-em’ otrzymamy zdania prawdziwe.
2. W interpretacji matematycznej zdań kategorycznych logicznie sprzeczny jest zaś poniższy trójelementowy zbiór schematów zdaniowych:
(vii)
{Każdy S jest P-em, Żaden S nie jest P-em, Istnieje jakiś S }
Istotnie, nie istnieje podstawienie, przy którym wszystkie trzy schematy przekształcają się w zdania prawdziwe. Mianowicie, jeśli nazwa generalna S nie jest pusta, to fałszywe jest co najmniej jedno ze zdań
otrzymanych z dwóch pierwszych schematów. Jeśli zaś nazwa S jest pusta, to z ‘Istnieje jakiś S ’ otrzymamy zdanie fałszywe.
Ponadto zauważmy, że w interpretacji matematycznej żaden dwuelementowy podzbiór zbioru (vii)
nie jest logicznie sprzeczny. Po pierwsze, dla podzbioru {Każdy S jest P-em, Żaden S nie jest P-em}
pokazaliśmy to wcześniej, analizując zbiór (vi) w interpretacji matematycznej. Po drugie, dwuelementowy podzbiór {Każdy S jest P-em; Istnieje jakiś S } da dwa zdania prawdziwe, gdy podstawimy: S /pies;
P/ssak. Po trzecie, dwuelementowy podzbiór {Żaden S nie jest P-em; Istnieje jakiś S } da dwa zdania
prawdziwe, gdy podstawimy: S /pies; P/kot. To pokazuje, że również nie jest logicznie sprzeczny żaden
z trzech jednoelementowych podzbiorów zbioru (vii).
⋄
Przykład 1.3. Logicznie sprzeczne są poniższe zbiory schematów zdaniowych:4
(viii)
{p; ∼ q; Jeśli p, to q}
(ix)
{p; ¬ q; Jeśli p, to q}
Istotnie, dla obu zbiorów nie istnieje podstawienie, przy którym wszystkie trzy schematy przekształcają
się w zdania prawdziwe. Dla zbioru (viii): Gdy dane podstawienie daje dwa pierwsze zdania prawdziwe,
4
Ponieważ w schemacie ‘Jeśli p, to q’ występuje przecinek, więc od oddzielania elementów zbiorów użyjemy średników,
a nie przecinków. Inaczej byłoby gdybyśmy same schematy zdaniowe ujmowali w łapki tworząc ich nazwy (por. poprzedni
przypis)). Wówczas mielibyśmy np. zapis z użyciem rozdzielających przecinków: {‘p’, ‘∼ q’, ‘Jeśli p, to q’}.
169
to p jest prawdziwe, a q jest nieprawdziwe. Widzimy więc, że wówczas nie jest prawdziwe zdanie warunkowe otrzymane z ‘Jeśli p, to q’, gdyż prawdziwość zdania p nie pociąga prawdziwości zdania q. Dla
zbioru (ix): Gdy dane podstawienie daje dwa pierwsze zdania prawdziwe, to p jest prawdziwe, a q jest
fałszywe. Widzimy więc, że wówczas nie jest prawdziwe zdanie warunkowe otrzymane z ‘Jeśli p, to q’,
gdyż prawdziwość zdania p nie pociąga prawdziwości zdania q.
Ponadto, żaden dwuelementowy podzbiór dla zbiorów (viii) i (ix) nie jest sprzeczny logicznie. Innymi
słowy, nie są logicznie sprzeczne poniższe dwuelementowe zbiory:
— {p; ∼ q}, {p; Jeśli p, to q}, {∼ q; Jeśli p, to q}, {p; ¬ q}, {¬ q; Jeśli p, to q}
Mianowicie, istnieją przecież zdania prawdziwe oraz zdania fałszywe. Mamy też prawdziwe zdania warunkowe o prawdziwych poprzednikach. Mamy też zdania warunkowe o fałszywych następnikach (mają
one także fałszywe poprzedniki).
⋄
Uwaga 1.1. W niektórych encyklopediach i słownikach sprzeczności wiąże się wyłącznie z parą zdań oraz
z występowaniem słowa ‘nie’; określając sprzeczności np. niejasnymi frazami: «jedno zaprzecza drugiemu». Po pierwsze, co to miałoby tutaj znaczyć słowo ‘zaprzecza’? (Zachodzi wyjaśnianie nieznanego
przez nieznane.) Po drugie zaś  jak widzieliśmy  sprzeczność może zachodzić dla trójelementowych
zbiorów takich, że nie jest sprzeczny żaden z ich dwuelementowych i jednoelementowych podzbiorów.⋄
,2
01
6/2
01
7
W przyjętym określeniu nie wykluczamy przypadku jednoelementowych zbiorów. Zatem dopuszczamy przypadek, w którym zbiór Σ ma dokładnie jeden element, którym jest schemat zdaniowy σ, tj.
Σ = {σ}. Wtedy jeśli zbiór {σ} jest logicznie sprzeczny, to o także o schemacie σ mówimy, że jest logicznie
sprzeczny. Zatem to, iż schemat zdaniowy σ jest logicznie sprzeczny jest równoważne temu, że:
nie istnieje żadne podstawienie, przy którym prawdziwe jest zdanie otrzymane ze schematu σ.
yk
ła d
uL
PK
Poprzez proste przekształcenia logiczne widzimy, że to, iż schemat σ jest logicznie sprzecznym jest równoważne temu, że:
przy dowolnym dopuszczalnym podstawieniu nie jest prawdziwe zdanie otrzymane ze schematu σ.
Jakiś S nie jest S -em
a te
(x)
r ia
ły
do
w
Przykład 1.4. Niezależnie od przyjętej interpretacji zdań kategorycznych, logicznie sprzeczny jest poniższy schemat zdaniowy:
M
Istotnie, przy żadnym postawieniu schemat ten nie daje zdania prawdziwego. Mianowicie, gdy za ‘S ’
podstawimy niepustą nazwę generalną, to otrzymamy zadnie fałszywe (w obu interpretacjach). Jeśli zaś
za ‘S ’ podstawimy pustą nazwę generalną, to w interpretacji matematycznej otrzymamy zadnie fałszywe,
a w interpretacji potocznej zdanie bez wartości logicznej.
⋄
Przykład 1.5. Schematem zdaniowy ‘Żaden S nie jest S -em’ nie jest logicznie sprzeczny. Istotnie, gdy
za ‘S ’ podstawimy pustą nazwę generalną, to otrzymamy zdanie prawdziwe.
Jednakże poniższy dwuelementowy zbiór jest logicznie sprzeczny:
(xi)
{Żaden S nie jest S -em, Istnieje jakiś S }
Istotnie, nie istnieje podstawienie, przy którym oba schematy przekształcają się w zdania prawdziwe.
Mianowicie, gdy za ‘S ’ podstawimy niepustą nazwę generalną, to ze schematu ‘Żaden S nie jest S -em’
otrzymamy zdanie prawdziwe. Gdy zaś za ‘S ’ podstawimy pustą nazwę generalną, to ze schematu ‘Istnieje
jakiś S ’ otrzymamy zdanie fałszywe.
⋄
Przypomnimy, że tautologią nazwaliśmy dowolny schemat zdaniowy, który przy każdym dopuszczalnym podstawieniu daje zdanie prawdziwe. W nawiązaniu do tego określenia przyjmujemy, że schematy
zdaniowe, które są logicznie sprzeczne będą nosić miano kontrtautologii. Zatem dany schemat zdaniowy
σ jest kontrtautologią wtedy i tylko wtedy, gdy przy dowolnym dopuszczalnym podstawieniu nie jest
prawdziwe zdanie otrzymane z σ; co jest równoważne temu, że nie istnieje żadne podstawienie, przy
którym prawdziwe jest zdanie otrzymane z σ.
Dla skończonych zbiorów schematów zdaniowych pojęcie logicznej sprzeczności daje się sprowadzić
do pojęcia kontrtautologiczności koniunkcji schematów zdaniowych:
Twierdzenie 1.1. Dla dowolnych schematów zdaniowych σ1 , . . . , σn , gdzie n > 1:
zbiór {σ1 , . . . , σn } jest logicznie sprzeczny wtw koniunkcja σ1 ∧ · · · ∧ σn jest kontrtautologią.
170
Dowód. Mamy równoważnościowe przekształcenia: zbiór {σ1 , . . . , σn } jest logicznie sprzeczny wtedy
i tylko wtedy, gdy przy dowolnym dopuszczalnym podstawieniu co najmniej jeden ze schematów σ1 ,
. . . , σn daje zdanie nieprawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy przy dowolnym dopuszczalnym podstawieniu
schemat σ1 ∧ · · · ∧ σn daje zdanie nieprawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy koniunkcja σ1 ∧ · · · ∧ σn jest
kontrtautologią.
CND
Przykład 1.6. Powyższe twierdzenie oraz przykład 1.1 dają następujące przykłady kontrtautologii:
(i′ )
(ii′ )
(iii′ )
(iv′ )
(v′ )
p∧∼p
p∧¬p
σ ∧ ∼σ
σ ∧ ¬σ
c jest S -em ∧ c nie jest S -em
przy oznaczeniach przejętych z przykładu 1.1.
⋄
Pomiędzy pojęciami kontrtautologii a tautologii zachodzi następujący związek:
Twierdzenie 1.2. Dla dowolnego schematu zdaniowego σ:
σ jest kontrtautologią wtedy i tylko wtedy, gdy ∼ σ jest tautologią.
σ jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy ∼ σ jest kontrtautologią.
,2
01
6/2
01
7
Ponadto, dla dowolnego schematu zdaniowego σ, który przy każdym dopuszczalnym postawieniu daje
zdanie bez luki logicznej:
σ jest kontrtautologią wtedy i tylko wtedy, gdy ¬ σ jest tautologią.
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
Dowód. Mamy równoważnościowe przekształcenia: σ jest kontrtautologią (odp. tautologią) wtedy i tylko
wtedy, gdy przy dowolnym dopuszczalnym podstawieniu σ daje zdanie nieprawdziwe (odp. prawdziwe)
wtedy i tylko wtedy, gdy przy dowolnym dopuszczalnym podstawieniu prawdziwe (odp. fałszywe) jest
zdanie otrzymane z ∼ σ wtedy i tylko wtedy, gdy ∼ σ jest tautologią (odp. kontrtautologią).
Ponadto, gdy schemat σ przy każdym dopuszczalnym postawieniu daje zdanie bez luki logicznej:
σ jest kontrtautologią wtedy i tylko wtedy, gdy przy dowolnym dopuszczalnym podstawieniu fałszywe
jest zdanie otrzymane z σ wtedy i tylko wtedy, gdy przy dowolnym dopuszczalnym podstawieniu jest
CND
prawdziwe zdanie otrzymane z ¬ σ wtedy i tylko wtedy, gdy ¬ σ jest tautologią.5
Wniosek 1.1. Dla dowolnych schematów zdaniowych σ1 , . . . , σn , gdzie n > 1:
zbiór {σ1 , . . . , σn } jest logicznie sprzeczny wtw ∼(σ1 ∧ · · · ∧ σn ) jest tautologią.
Dowolny schemat zdaniowy, który nie jest ani tautologią, ani kontrtautologią, nazywamy kontyngentnym. Innymi słowy, dany schemat zdaniowy jest kontyngentny wtedy i tylko wtedy, gdy przy jakimś
podstawieniu daje zdanie nieprawdziwe, lecz przy jakimś innym daje zdanie prawdziwe.
Na koniec zauważmy, że nie ma czegoś takiego, jak «logiczna niesprzeczność» zbioru schematów zdaniowych. Może się przecież zdarzyć, że dany zbiór schematów zdaniowych nie jest logicznie sprzeczny,
lecz podpada pod niego jakiś sprzeczny (pozalogicznie) zbiór zdań.6 Nie wolno więc mówić, że dany zbiór
schematów jest «logicznie niesprzeczny», gdyż to wymuszałoby «logiczną niesprzeczność» wszystkich
podpadających pod niego zbiorów zdań, a przecież pod taki zbiór schematów mogą podpadać pozalogicznie sprzeczne zbiory zdań.
Przykład 1.7. Oczywiste jest, że zbiór schematów zdaniowych {p, q} nie jest logicznie sprzeczny. Podpadają pod niego jednak także (pozalogicznie) sprzeczne zbiory zdań. Np. wystarczy podstawić: p / Jan jest
kawalerem; q / Jan jest żonaty. Nie wolno zatem twierdzić, że zbiór {p, q} jest «logicznie niesprzeczny»,
gdyż to sugerowałoby, że wszystkie podpadające pod niego zbiory zdania są «logicznie niesprzeczne».
A przecież pod zbiór {p, q} podpadają nawet logicznie sprzeczne zbiory zdań. Np. dla : p / Jan jest kawa⋄
lerem; q / Nieprawda, że Jan jest kawalerem (por. przykład 1.1).
5
Bez przyjęcia dodatkowego założenia, że przy każdym dopuszczalnym postawieniu σ daje zdanie z klasyczną wartością
logiczną otrzymujemy jedynie: jeśli ¬ σ jest tautologią, to σ jest kontrtautologią. W odwrotnym kierunku rozumowanie nie jest
poprawne, gdyż dopuszczamy, że σ jest kontrtautologią, lecz może istnieć podstawienie, które z σ daje zdanie z luką logiczną.
A wówczas ¬ σ także da zdanie z luką logiczną, czyli ¬ σ nie będzie tautologią.
6
Jeśli dany zbiór zdań jest sprzeczny, lecz wszystkie odpowiadające mu zbiory schematów zdaniowych nie są logicznie
sprzeczne, to mówimy, że ten zbiór zdań jest sprzeczny pozalogicznie.
171
Jedynie, gdy dany zbiór schematów zdaniowych jest logicznie sprzeczny, to wszystkie podpadające
pod niego zbiory zdań są logicznie sprzeczne. Istotnie, wówczas  zgodnie z przyjętym określeniem (por.
ostatni akapit wstępu, s. 167, oraz dalej)  takie zbiory zdań podpadają pod jakiś logicznie sprzeczny
zbiór schematów zdaniowych.
1.2. Własności logicznie sprzecznych zbiorów schematów zdaniowych
Podamy ogólne twierdzenie mówiące, że każdy podzbiór zbioru, który nie jest logicznie sprzeczny,
także nie jest logicznie sprzeczny:
Twierdzenie 1.3. Jeżeli dany zbiór schematów zdaniowych nie jest logicznie sprzeczny, to żaden jego
podzbiór nie jest logicznie sprzeczny.
Dowód. Załóżmy, że niepusty zbiór Σ schematów zdaniowych nie jest logicznie sprzeczny oraz Σ ′ jest
jego niepustym podzbiorem. Wtedy istnieje takie podstawienie, przy którym prawdziwe są wszystkie
zdania otrzymane ze schematów ze zbioru Σ. Wtedy jednak to podstawienie daje same prawdziwe zdania
(te same, co poprzednio) ze zbioru Σ ′ . Zatem podzbiór Σ ′ także nie jest logicznie sprzeczny.
CND
Z twierdzenia 1.3, przez proste przekształcenia logiczne, otrzymujemy następujący wniosek:
Wniosek 1.2. Każdy nadzbiór logicznie sprzecznego zbioru schematów zdaniowych także jest logicznie
sprzeczny.
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Dowód. Załóżmy, że zbiór Σ jest logicznie sprzeczny oraz że Σ ( Σ ′ . Gdyby zbiór Σ ′ nie był logicznie
sprzeczny, to  na mocy twierdzenia 1.3  także zbiór Σ nie byłby logicznie sprzeczny. A to przeczy
przyjętemu założeniu. Zatem także zbiór Σ ′ jest logicznie sprzeczny.
CND
1.3. Logicznie sprzeczne zbiory zdań
ły
do
w
Zgodnie z tym, co podaliśmy w ostatnim akapicie wstępu (s. 167), dla dowolnego niepustego zbioru
zdań Γ przyjmujemy, że to, iż zbiór Γ jest logicznie sprzeczny ma znaczyć:
zbiór Γ podpada pod jakiś logicznie sprzeczny zbiór schematów zdaniowych.
a te
r ia
Otrzymujemy, że każdy zbiór zdań sprzeczny logicznie jest także sprzeczny w sensie potocznym:
M
Twierdzenie 1.4. Jeśli zbiór zdań Γ jest logicznie sprzeczny, to nie może się zdarzyć, aby wszystkie
zdania w zbiorze Γ były jednocześnie prawdziwe, tzn. Γ jest sprzeczny w potocznym znaczeniu.
Dowód. Przyjmijmy, że zbiór zdań Γ jest logicznie sprzeczny. Znaczy to, że istnieje logicznie sprzeczny zbiór schematów zdaniowych Σ taki, że zdania ze zbioru Γ podpadają pod schematy z Σ. Załóżmy
teraz nie wprost, że jest taka możliwość, że wszystkie zdania ze zbioru Γ są prawdziwe. Wtedy, gdyby
taka możliwość zaszła, to otrzymalibyśmy podstawienie, przy którym wszystkie schematy z Σ byłyby
prawdziwe. Tego jednak nie da się zrobić dla logicznie sprzecznego zbioru schematów zdaniowych.
Zatem otrzymaliśmy sprzeczność. Musimy więc odrzucić przyjęte założenie nie wprost. Innymi słowy, nie ma takiej możliwości, aby wszystkie zdania w zbiorze Γ były jednocześnie prawdziwe.
CND
Poprzez proste przekształcenia logiczne otrzymujemy, że to, iż niepusty zbiór zdań Γ nie jest logicznie
sprzeczny jest równoważne temu, że:
zbiór Γ nie podpada pod żaden logicznie sprzeczny zbiór schematów zdaniowych.
Przypomnijmy, że w praktyce, aby wykazać, że z danego zbioru zdań Γ nie wynika logicznie dane zdanie α wystarczy pokazać, że zawodny jest najbardziej szczegółowy schemat wnioskowania, pod który podpada układ Γ/α. Teraz mamy analogiczną sytuację. Mianowicie, poniżej udowodnimy (zob. wniosek 1.6),
że aby wykazać, że dany zbiór zdań nie jest logicznie sprzeczny, wystarczy pokazać, że nie jest logicznie
sprzeczny najbardziej szczegółowy zbiór schematów zdaniowych, pod którą podpada ten zbiór zdań.
W części 7 wykładu wyjaśniliśmy, co to znaczy, że jeden schemat wnioskowania jest bardziej (odp.
mniej) szczegółowy od drugiego. Te wyjaśnienia przenoszą się na dowolne zbiory schematów zdaniowych, gdyż w gruncie rzeczy poprzednio dany schemat wnioskowania jest zbiorem schematów zdaniowych, w którym wyróżniamy te, które mają być przesłankami, oraz ten jeden, który ma być wnioskiem.
Ponieważ chodzi o analizowanie zbiorów schematów zdaniowych, które mają odpowiadać danemu (ustalonemu) zbiorowi zdań, więc będziemy porównywać jedynie zbiory schematów zdaniowych o tej samej
liczbie elementów. Zacznijmy od poglądowych przykładów:
172
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Przykład 1.8. (i) Dwuelementowy zbiór
(a1 ) {a jest S -em ∧ a jest P-em; b jest M-em}
jest bardziej szczegółowy niż dwuelementowy zbiór
(a2 ) {p ∧ q; r}.
Istotnie, ze zbioru (a2 ) otrzymujemy zbiór (a1 ) poprzez następującą zamianę liter zdaniowych na schematy
zdaniowe: p 7→ a jest S -em; q 7→ a jest P-em; r 7→ b jest M-em.
(ii) Trójelementowy zbiór
(b1 )
{Jeżeli r ∧ s, to q; r ∧ s; s}
jest bardziej szczegółowy niż trójelementowy zbiór
(b2 )
{Jeżeli p, to q; p; s}.
Istotnie, ze zbioru (b2 ) otrzymujemy zbiór (b1 ) poprzez następującą zamianę litery zdaniowej na schemat
zdaniowy: p 7→ r ∧ s.
(iii) Trójelementowy zbiór
(c1 ) {Jeżeli każdy S jest M-em, to p; Każdy S jest M-em; p}
(c2 ) {Jeżeli p, to q; p; r}.
Istotnie, ze zbioru (c2 ) otrzymujemy zbiór (c1 ) poprzez następującą zamianę liter zdaniowych na schematy
zdaniowe bądź litery zdaniowe: p 7→ Każdy S jest M-em; q 7→ p; r 7→ p.
(iv) Trójelementowy zbiór
(d1 )
{Jeżeli każdy S jest M-em, to p; Każdy S jest M-em; ∼ p}
(d2 )
{Jeżeli p, to q; p; ∼ r}.
Istotnie, ze zbioru (d2 ) otrzymujemy zbiór (d1 ) poprzez zamianę wykonaną w (iii).
(v) Trójelementowy zbiór
(d1 )
{Jeżeli każdy S jest M-em, to p; Każdy S jest M-em; ∼ p}
(d′2 )
{Jeżeli p, to q; p; ∼ q}.
Istotnie, ze zbioru (d′2 ) otrzymujemy zbiór (d1 ) poprzez następującą zamianę liter zdaniowych na schematy zdaniowe bądź litery zdaniowe: p 7→ Każdy S jest M-em; q 7→ p.
⋄
M
a te
Widzimy więc, że zbiór Σ1 schematów zdaniowych jest bardziej szczegółowy od mającego tyle
samo schematów zbioru Σ2 , gdy ze zbioru Σ2 otrzymamy zbiór Σ1 przy jakiejś zamianie liter schematycznych w Σ2 na schematy zdaniowe, lecz nie odwrotnie. Wtedy mówimy również, że zbiór schematów
zdaniowych Σ2 jest ogólniejszy od zbioru Σ1 .
Wykorzystując zamianę liter schematycznych w zbiorze Σ2 na schematy zdaniowe, przy której otrzymaliśmy z niego zbiór Σ1 , otrzymujemy:
Lemat 1.1. Jeśli zbiór Σ1 schematów zdaniowych jest bardziej szczegółowy od zbioru Σ2 , to każde podstawienie konkretnych wyrażeń językowych dokonane w zbiorze Σ1 daje takie podstawienie konkretnych
wyrażeń dokonane w zbiorze Σ2 , przy którym otrzymujemy te same zdania, co przy wyjściowym podstawieniu dokonanym w zbiorze Σ1 .
Sens lematu 1.1 pokażemy na przykładach nawiązujących do przykładu 1.8.
Przykład 1.9. (i) W dwuelementowy zbiorze
(a1 ) {a jest S -em ∧ a jest P-em; b jest M-em}
dokonujemy postawienia a / Jan; b / Piotr; S / stolarz; P / piekarz; M / zdun. Otrzymujemy zbiór zdań:
— {Jan jest stolarzem ∧ Jan jest piekarzem; Piotr jest zdunem}
To podstawienie zaś oraz użyta w przykładzie 1.8(i) zamiana liter zdaniowych na schematy zdaniowe dają
w zbiorze
(a2 ) {p ∧ q; r}
następujące podstawienie: p 7→ a jest S -em / Jan jest stolarzem; q 7→ a jest P-em / Jan jest piekarzem;
r 7→ b jest M-em / Piotr jest zdunem. Przy tym drugim podstawieniu ze zbioru (a2 ) otrzymujemy ten sam
zbiór zdań, który otrzymaliśmy ze zbioru (a1 ) przy pierwszym podstawieniu.
(ii) W trójelementowym zbiorze
(b1 )
{Jeżeli r ∧ s, to q; r ∧ s; s}
dokonujemy postawienia r / Pada; s / Świeci słońce; q / Rośnie trawa. Otrzymujemy zbiór zdań:
173
— {Jeżeli pada i świeci słońce, to rośnie trawa; Pada i świeci słońce; Świeci słońce}
To podstawienie zaś oraz użyta w przykładzie 1.8(ii) zamiana liter zdaniowych na schematy zdaniowe
dają w zbiorze
(b2 )
{Jeżeli p, to q; p; s}.
podstawienie: p 7→ r ∧ q / Pada i świeci słońce; q / Rośnie trawa; s / Świeci słońce. Przy tym drugim
podstawieniu otrzymujemy ze zbioru (b2 ) ten sam zbiór zdań, co poprzednio otrzymaliśmy z (b1 ).
(iii) W trójelementowym zbiorze
(c1 ) {Jeżeli każdy S jest M-em, to p; Każdy S jest M-em; p}
dokonujemy postawienia S / stolarz; M / zdun; p / Pada. Otrzymujemy zbiór zdań:
— {Jeżeli każdy stolarz jest zdunem, to pada; Każdy stolarz jest zdunem; Pada}
To podstawienie zaś oraz użyta w przykładzie 1.8(iii) zamiana liter zdaniowych na schematy zdaniowe
dają w zbiorze
(c2 ) {Jeżeli p, to q; p; r}.
podstawienie: p 7→ Każdy S jest M-em / Każdy stolarz jest zdunem; q 7→ p / Pada; r 7→ p / Pada. Przy
tym drugim podstawieniu otrzymujemy z (c2 ) ten sam zbiór zdań, co poprzednio otrzymaliśmy z (c1 ). ⋄
Dla dowolnych zbiorów schematów zdaniowych mamy odpowiedniki twierdzeń, które dotyczyły niezawodności (odp. zawodności) schematów wnioskowania.
,2
01
6/2
01
7
Twierdzenie 1.5. Jeśli zbiór Σ1 schematów zdaniowych nie jest logicznie sprzeczny oraz jest bardziej
szczegółowy niż zbiór Σ2 schematów zdaniowych, to także zbiór Σ2 nie jest logicznie sprzeczny.
yk
ła d
uL
PK
Dowód. Złóżmy, że zbiór Σ1 schematów zdaniowych nie jest logicznie sprzeczny oraz jest bardziej szczegółowy niż zbiór Σ2 schematów zdaniowych. Wtedy istnieje takie podstawienie, przy którym wszystkie
schematy ze zbioru Σ1 dadzą zdania prawdziwe. Na mocy lematu 1.1 jednak to podstawienie daje podstawieniem w zbiorze Σ2 , przy którym otrzymujemy te same zdania co poprzednio ze zbioru Σ1 . Zatem
zbiór Σ2 także nie jest logicznie sprzeczny.
CND
M
a te
r ia
ły
do
w
Ilustrację powyższego twierdzenia dają zbiory podane w przykładzie 1.8(i–iii). Skoro zbiory (a1 ), (b1 )
i (c1 ) nie są logicznie sprzeczne oraz są odpowiednio bardziej szczegółowe niż zbiory (a2 ), (b2 ) i (c2 ),
więc także te drugie nie są logicznie sprzeczne.
Z twierdzenia 1.5 mamy następujący wnioski:
Wniosek 1.3. Jeśli zbiór Σ1 schematów zdaniowych jest bardziej szczegółowy niż logicznie sprzeczny
zbiór Σ2 , to także zbiór Σ1 jest logicznie sprzeczny.
Dowód. Załóżmy, że zbiór Σ1 schematów zdaniowych jest bardziej szczegółowy niż logicznie sprzeczny
zbiór Σ2 . Gdyby zbiór Σ1 nie był logicznie sprzeczny, to na mocy twierdzenia 1.5 taki też byłby zbiór Σ2 .
Jednakże zbiór Σ2 ma być logicznie sprzeczny. Zatem także zbiór Σ1 jest logicznie sprzeczny.
CND
Wniosek 1.4. Jeśli zbiór schematów zdaniowych Σ jest logicznie sprzeczny, to także logicznie sprzeczny
jest każdy zbiór bardziej szczegółowy od zbioru Σ.
Dowód. Załóżmy, że zbiór Σ jest logicznie sprzeczny. Niech Σ ′ będzie dowolnym zbiorem bardziej szczegółowym od Σ. Stosujemy więc wniosek 1.3 do Σ1 ≔ Σ ′ oraz Σ2 ≔ Σ. Na mocy tego wniosku również
zbiór Σ ′ jest logicznie sprzeczny. To zaś możemy uogólnić otrzymując, że każdy zbiór bardziej szczegółowy niż Σ jest logicznie sprzeczny.
CND
Ilustrację powyższych wniosków dają zbiory podane w przykładzie 1.8(v). Skoro zbiór (d′2 ) jest logicznie sprzeczny, więc bardziej od niego szczegółowy zbiór (d1 ) także jest logicznie sprzeczny. Przykład 1.8(iv) pokazuje jednak, że może być tak, że dany zbiór jest logicznie sprzeczny, a bardziej ogólny
od niego zbiór już nie jest. Tak jest mianowicie dla zbiorów (d1 ) i (d2 ).
Wniosek 1.5. Jeśli zbiór Σ schematów zdaniowych nie jest logicznie sprzeczny, to także nie jest logicznie
sprzeczny żaden zbiór ogólniejszy od zbioru Σ.
Dowód. Załóżmy, że zbiór Σ nie jest logicznie sprzeczny. Niech Σ ′ będzie dowolnym zbiorem ogólniejszym od Σ. Zatem zbiór Σ jest bardziej szczegółowy niż Σ ′ . Stosujemy więc twierdzenie 1.5 do Σ1 ≔ Σ
i Σ2 ≔ Σ ′ . Na mocy tego twierdzenia również zbiór Σ ′ nie jest logicznie sprzeczny. To zaś możemy
uogólnić otrzymując, że żaden zbiór ogólniejszy od zbioru Σ nie jest logicznie sprzeczny.
CND
174
Ilustrację powyższych wniosków dają zbiory podane w przykładzie 1.8(i–iii). Skoro zbiory (a1 ), (b1 )
i (c1 ) nie są logicznie sprzeczne, więc odpowiednio ogólniejsze od nich zbiory (a2 ), (b2 ) i (c2 ) także nie
są logicznie sprzeczne. Przykład 1.8(iv) pokazuje jednak, że może być tak, że dany zbiór jest logicznie
sprzeczny, a bardziej ogólny od niego zbiór już nie jest. Tak jest mianowicie dla zbiorów (d1 ) i (d2 ).
Z wniosku 1.5 otrzymujemy:
Wniosek 1.6. Jeśli nie jest logicznie sprzeczny najbardziej szczegółowy zbiór schematów zdaniowych,
który odpowiada zbiorowi zdań Γ, to Γ nie podpada pod żaden logicznie sprzeczny zbiór schematów
zdaniowych.
Zatem jeśli nie jest logicznie sprzeczny najbardziej szczegółowy zbiór schematów zdaniowych, który
odpowiada zbiorowi zdań Γ, to zbiór Γ nie jest logicznie sprzeczny.
Dowód. Niech Σ będzie najbardziej szczegółowym zbiorem schematów zdaniowych, który odpowiada
zbiorowi zdań Γ. Wtedy, na mocy wniosku 1.5, jeśli zbiór Σ nie jest logicznie sprzeczny, to także nie jest
logicznie sprzeczny żaden zbiór ogólniejszy od zbioru Σ. Stąd zbiór Γ nie podpada pod żaden logicznie
sprzeczny zbiór schematów zdaniowych.
CND
W przyjętym określeniu nie wykluczamy przypadku jednoelementowych zbiorów zdań. Zatem dopuszczamy przypadek, w którym zbiór Γ ma dokładnie jeden element, którym jest zdanie α, tj. Γ = {α}.
Wtedy jeśli zbiór {α} jest logicznie sprzeczny, to o także o zdaniu α mówimy, że jest logicznie sprzeczne.
Zatem to, iż zdanie α jest logicznie sprzeczne jest równoważne temu, że:
,2
01
6/2
01
7
zdanie α podpada pod jakąś kontrtautologię.
Z twierdzenia 1.2 opisującego związek zachodzący pomiędzy kontrtautologiami a tautologiami mamy:
yk
ła d
uL
PK
Wniosek 1.7. Dla dowolnego zdania α:
α jest logicznie sprzeczne wtedy i tylko wtedy, gdy ∼ α jest logicznie prawdziwe.
α jest logicznie prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy ∼ α jest logicznie sprzeczne.
M
a te
r ia
ły
do
w
Dowód. Mamy równoważnościowe przekształcenia: α jest logicznie sprzeczne (odp. prawdziwe) wtedy
i tylko wtedy, gdy α podpada pod jakąś kontrtautologię (odp. tautologię) wtedy i tylko wtedy, gdy ∼ α
podpada pod jakąś tautologię (odp. kontrtautologię) wtedy i tylko wtedy, gdy ∼ α jest logicznie prawdziwe
(odp. sprzeczne).
CND
Z twierdzenia 1.4 mamy zaś:
Wniosek 1.8. Jeśli zdanie α jest logicznie sprzeczne, to nie może się zdarzyć, aby było prawdziwe, tzn.
zdanie α jest sprzeczne w potocznym znaczeniu.
Sąd jeśli zdanie α jest logicznie sprzeczne, to na pewno nie jest prawdziwe. Jeśli zaś ma wartość
logiczną, to jest fałszywe. Wtedy mówimy o nim, że jest logicznie fałszywe.
1.4. Własności logicznie sprzecznych zbiorów zdań
Z wniosku 1.2 otrzymujemy:
Twierdzenie 1.6. Każdy nadzbiór logicznie sprzecznego zbioru zdań też jest logicznie sprzeczny.
Dowód. Załóżmy, że zbiór zdań Γ jest logicznie sprzeczny oraz Γ ′ jest zbiorem zdań takim, że Γ ( Γ ′ .
Wtedy zbiór Γ podpada pod jakiś logicznie sprzeczny zbiór Σ schematów zdaniowych. Oczywiste jest, że
możemy rozszerzyć zbiór Σ do zbioru Σ ′ schematów zdaniowych, który będzie odpowiadał zbiorowi Γ ′ .
Mamy Σ ⊆ Σ ′ . Z wniosku 1.2 otrzymujemy więc, że także zbiór Σ ′ jest logicznie sprzeczny. Zatem także
zbiór zdań Γ ′ jest logicznie sprzeczny.
CND
Na koniec, z twierdzenia 1.6 otrzymujemy:
Wniosek 1.9. Jeżeli dany zbiór zdań nie jest logicznie sprzeczny, to żaden jego podzbiór nie jest logicznie
sprzeczny.
Dowód. Załóżmy, że niepusty zbiór zdań Γ zdań nie jest logicznie sprzeczny oraz Γ ′ jest jego niepustym
podzbiorem. Gdyby zbiór Γ ′ był logicznie sprzeczny, to  na mocy twierdzenia 1.6  także logicznie
sprzeczny byłby zbiór Γ, gdyż Γ jest nadzbiorem zbioru Γ ′ .
CND
175
2. Sprzeczność logiczna a wynikanie logiczne
2.1. Logicznie sprzeczne zbiory schematów zdaniowych a niezawodne schematy wnioskowania
W twierdzeniu 1.2 podaliśmy związek zachodzący pomiędzy kontrtautologiami a tautologiami. Związek ten polegał na tym, że przejście od jednych do drugich dokonuje się poprzez dodanie operatora negacji
przedzdaniowej. Analogiczny związek zachodzi pomiędzy logicznie sprzecznymi zbiorami schematów
zdaniowych a niezawodnymi schematami wnioskowań.
Po pierwsze pokażemy, że logiczną sprzeczność danego zbioru schematów zdaniowych da się sprowadzić do logicznego wynikania z tego zbioru jakiejś kontrtautologii.
Twierdzenie 2.1. Niech ⊥ będzie dowolną kontrtautologią. Wówczas dla dowolnego niepustego zbioru
Σ schematów zdaniowych:
jeśli Σ |= ⊥, to zbiór Σ jest logicznie sprzeczny.
Innymi słowy, jeśli niezawodny jest schemat wnioskowania mający we wniosku jakąś kontrtautologię, to
zbiór jego przesłanek jest logicznie sprzeczny.
,2
01
6/2
01
7
Dowód. Załóżmy, że niezawodny jest schemat wnioskowania Σ/⊥, w którym ⊥ jest kontrtautologią.
Gdyby zbiór Σ nie był logicznie sprzeczny, to istniałoby takie postawienie, przy którym wszystkie zdania
otrzymane z Σ byłyby prawdziwe. Zatem  skoro schemat Σ/⊥ jest niezawodny  przy tym podstawieniu
maiłby być też prawdziwe zdanie uzyskane z ⊥. To jest jednak niemożliwe, skoro ⊥ ma być kontrtautologią. Zatem zbiór Σ jest logicznie sprzeczny.
CND
yk
ła d
uL
PK
W powyższym twierdzeniu jako kontrtautologii ⊥ najczęściej stosujemy «wzorcowe sprzeczności» z
przykładu 1.6, tj. kontrtautologie postaci: ‘p ∧ ∼ p’, ‘p ∧ ¬ p’, bądź ‘c jest S -em ∧ c nie jest S -em’.
Oczywiście, z twierdzenia 2.1 otrzymujemy następujący wniosek dotyczący zdań:
ły
do
w
Wniosek 2.1. Niech υ będzie dowolnym zdaniem logicznie sprzecznym. Wówczas dla dowolnego niepustego zbioru Γ zdań:
jeśli Γ |= υ, to zbiór Γ jest logicznie sprzeczny.
a te
r ia
Innymi słowy, jeśli z danego zbioru zdań logicznie wynika jakieś zdanie logicznie sprzeczne, to ten zbiór
jest logicznie sprzeczny.
M
Dowód. Załóżmy, że z danego zbioru zdań Γ logicznie wynika dane zdanie υ logicznie sprzeczne. Wówczas układ Γ/υ podpada pod jakiś niezawodny wnioskowania s(Γ)/s(υ) mający we wniosku kontrtautologię. Stąd, na mocy twierdzenia 2.1, logicznie sprzeczny jest zbiór schematów zdaniowych s(Γ). A to
znaczy zaś, że logicznie sprzeczny jest zbiór zdań Γ.
CND
Zachodzi także twierdzenie odwrotne do twierdzenia 2.1. Nie formułowaliśmy go, gdyż otrzymamy
mocniejsze sformułowanie. Mianowicie, nie tylko z logicznie sprzecznego zbioru przesłanek logicznie
wynika dowolna kontrtautologia, lecz z takiego zbioru wynika logicznie dowolny wniosek. Otrzymamy
twierdzenie, które lapidarnie wolno wyrazić jako: «z logicznej sprzeczności logicznie wszystko wynika logicznie». Takie twierdzenie było już zapowiadane w części 7 (przypis 15, s. 99). Podano tam zaś
twierdzenie 3.3 głoszące: „Jeśli zbiór zdań Π jest sprzeczny w sensie potocznym, to w sensie potocznym
wynika z niego dowolne zdanie”.
Twierdzenie 2.2. Dla dowolnego niepustego zbioru schematów zdaniowych Σ i dowolnego schematu
zdaniowego σ: jeśli zbiór Σ jest logicznie sprzeczny, to Σ |= σ. Zatem niezawodny jest każdy schemat
wnioskowania mający logicznie sprzeczny zbiór przesłanek.
Dowód. Załóżmy, że zbiór Σ jest logicznie sprzeczny. Znaczy to, że nie istnieje takie podstawienie, przy
którym prawdziwe są wszystkie zdania otrzymane ze zbioru Σ. Stąd tym bardziej nie istnieje takie podstawienie, przy którym jednocześnie prawdziwe są wszystkie zdania otrzymane ze zbioru Σ, a zdanie
otrzymane z σ jest nieprawdziwe. Zatem schemat wnioskowania Σ/σ jest niezawodny.
CND
Oczywiście, z ostatniego twierdzenia otrzymujemy następujący wniosek dotyczący zdań:
Wniosek 2.2. Dla dowolnego niepustego zbioru zdań Γ i dowolnego zdania α: jeśli zbiór Σ jest logicznie
sprzeczny, to Γ |= α. Zatem z logicznie sprzecznego zbioru zdań wynika logicznie dowolny wniosek.
Dowód. Załóżmy, że zbiór Γ jest logicznie sprzeczny. Znaczy to, że istnieje taki logicznie sprzeczny
zbiór schematów zdaniowych s(Γ), pod który podpada zbiór Γ. Stąd, na mocy twierdzenia 2.2, ze zbioru
176
s(Γ) logicznie wynika dowolny schemat zdaniowy, a w tym dowolny schemat zdania α. A to znaczy, że
Γ |= α.
CND
Uwaga 2.1. (i) Wniosek 2.2 jest konsekwencją przyjętych definicji. Praktycznie nie mamy z niego ani
«żadnych korzyści», ani nie przynosi ono «żadnych szkód». Przecież nie twierdzimy, że podajemy uzasadnienie dowolnego zdania. Aby tak było musielibyśmy uzasadnić prawdziwość wszystkich zdań z Γ.
A tak być nie może, skoro ten zbiór jest logicznie sprzeczny (zob. twierdzenie 1.4 w tej części).
(ii) Może jedyną korzyścią z twierdzenia 2.2 jest to, iż otrzymujemy następujący niezawodny schemat
wnioskowania mający jako przesłankę i wniosek dowolne kontrtautologie ⊥1 i ⊥1 :
⊥1
⊥2
logiczna sprzeczność 1
x
x
,2
01
6/2
01
7
Schemat ten głosi, że wolno zastąpić jedną logiczną sprzeczność przez inną. A trzeba to zrobić, gdy stosując regułę wyboru dochodzimy do sprzeczności, w której występuje pomocnicza nazwa wprowadzona
⋄
przez tę regułę. Wyjaśnimy to dalej w przykładach 2.1 i 2.2.
Uwaga 2.2. We wniosku 2.2 mówiącym o wynikaniu logicznym, istotne było to, że zbiór przesłanek ma
być logicznie sprzeczny. Nie chodzi więc o sprzeczność w sensie potocznym, a tym bardziej o fałszywość
przesłanek (obojętne czy wszystkich, czy którejś z nich). Zatem nie wolno powiedzieć: «ze sprzeczności
wszystko wynika logicznie» (mamy jedynie: «ze sprzeczności wszystko wynika, lecz w sensie potocznym»; por. twierdzenie 3.3 z części 7). Ponadto, nie jest trafne takie powiedzenie jak «z fałszu wszystko
⋄
wynika»7 , więc tym bardziej nie wolno mówić, że «z fałszu wszystko wynika logicznie».
Podamy teraz przykłady wykorzystania twierdzenia 2.1.
yk
ła d
uL
PK
Przykład 2.1. W przykładzie 1.2(2) wyjaśniliśmy dlaczego w interpretacji matematycznej zdań kategorycznych logicznie sprzeczny jest poniższy trójelementowy zbiór:
(vii)
ły
do
w
Teraz wykażemy to formalnie. Mianowicie, stosując dedukcję pokażemy, że ze zbioru (vii) logicznie
wynika jakaś kontrtautologia, tj. pokażemy, że niezawodny jest schemat wnioskowania:
M
a te
r ia
Każdy S jest P-em
Żaden S nie jest P-em
Istnieje jakiś S
x
(∗)
⊥
gdzie  zgodnie ze zwyczajem  symbol ‘⊥’ reprezentuje dowolną kontrtautologie. Stąd zaś  na mocy
twierdzenia 2.1  otrzymujemy, że zbiór (vii) jest logicznie sprzeczny.
Dowodząc niezawodności schematu (∗), załóżmy że wszystkie przesłanki są prawdziwe. Zatem do
trzeciej wolno zastosować regułę wyboru, czyli wolno (w dowolny sposób) wybrać jakiegoś S -a. Oznaczymy go literą ‘w’. Zatem w jest S -em. Jest to nasza dodatkowa przesłanka związane właśnie ze stosowaniem reguły wyboru do wyjściowej przesłanki ‘Istnieje jakiś S ’. Stosując tę dodatkową łącznie z pierwszą
z wyjściowych przesłanek przeprowadzamy następujące poprawne wnioskowanie:
Każdy S jest P-em
w jest S -em
w jest P-em
x
Otrzymujemy więc pomocniczy wniosek ‘w jest P-em’. Teraz ponownie stosując tę dodatkową przesłanką
łącznie z drugą z wyjściowych przesłanek przeprowadzamy następujące poprawne wnioskowanie:
w jest S -em
w nie jest P-em
x
Otrzymujemy więc drugi pomocniczy wniosek ‘w nie jest P-em’. Z obu pomocniczych wniosków otrzy7
Zapewne takie powiedzenie powstało w wyniku pomylenia pojęcia wynikania z pojęciem prawdziwej implikacji materialnej. Istotnie, prawdziwa jest dowolna implikacja materialna mająca fałszywy poprzednik. Lecz na tej podstawie nie wolno
twierdzić, że z dowolnego zdania fałszywego wynika dowolne zdanie. Twierdzenie 2.1 i 2.2 z części 9 (s. 119–120) mówią, że
wynikanie logiczne wolno «utożsamić» jedynie z odpowiednią logicznie prawdziwą implikacją materialną. Wynikanie analityczne zaś wolno «utożsamieć» jedynie z odpowiednią analitycznie prawdziwą implikacją materialną (por. twierdzenie 2.4 i
wniosek 2.1 w części 9, s. 126–127).
177
mujemy poprawne rozumowaniu:
w jest P-em
w nie jest P-em
w jest P-em ∧ w nie jest P-em
x
Zatem z wyjściowych przesłanek doszliśmy do wzorcowej kontrtautologii postaci (v′ ).
⋄
c jest P-em ∧ c nie jest P-em
⊥
,2
01
6/2
01
7
Uwaga 2.3. (i) W ostatnim przykładzie zrobiliśmy jednak pewne uproszczenie. Mianowicie, to, co zrobiono nie do końca było zgodne z przepisem na stosowanie reguły wyboru. Jednakże, w każdym takim
przypadku, to «odstępstwo od przepisu» łatwo jest «naprawić», a nawet uzasadnić jego dopuszczalność.
Dlatego też podejście zastosowane w przykładzie 2.1 jest standardowym sposobem przeprowadzania dowodów nie wprost, które są oparte na regule wyboru.
Mianowicie, przepis stosowania reguły wyboru głosi, że końcowy uznany wniosek nie może zawierać
nazwy pomocniczej, którą wprowadzamy w trakcie stosowania tej reguły (w naszym przypadku była
to litera ‘w’). Mianowicie, każdy wniosek zawierający tę pomocniczą nazwę jest zależny od przyjęcia
dodatkowej przesłanki (w naszym przypadku była nią ‘w jest S -em’). Końcowy wniosek zaś ma być
niezależny od tej dodatkowej przesłanki; ma on wynikać z samych przesłanek wyjściowych.
Zatem jako końcowy wniosek wolno przyjąć tylko taki, który nie zawiera nazwy pomocniczej, którą wprowadzamy stosując regułę wyboru. Końcowym wniosek w przykładzie 2.1 zawierał jednak taką
nazwę pomocniczą, gdyż miał postać: ‘w jest P-em ∧ w nie jest P-em’.
(ii) «Z tego impasu» mamy jednak następujące formalne wyjście. Dzięki twierdzeniu 2.2 wiemy, że
niezawodny jest następujący schemat wnioskowania (por. uwagę 2.1.ii):
x
x
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
gdzie ‘c’ reprezentuje dowolne wyrażenia mające symbolizować pojedynczy obiekt, a w tym takie pomocnicze nazwy, jak ‘w’. Ponadto, ‘⊥’ symbolizuje dowolną kontrtautologią, w której nie ma już nazwy
pomocniczej ‘w’. W ten sposób «pozbyliśmy się» nazwy pomocniczej ‘w’ i otrzymaliśmy niezawodny
schemat wnioskowania (∗), w którego wniosku nie ma już nazwy pomocniczej wprowadzonej poprzez
regułę wyboru.
Jak już wspomnieliśmy w (i), jest to standardowe rozwiązanie, które wolno zastosować w każdym
przypadku. Dlatego też w praktyce po prostu go pomijamy nie bacząc na to, że w «końcowej» sprzecznej
konkluzji widnieje nazwa pomocnicza wprowadzona poprzez regułę wyboru. Tę konkluzję zawsze wolno
nam zmienić na wniosek nie zawierający już takiej nazwy.
(iii) Powyższe rozwiązanie mógłby ktoś nazwać «sztucznym wybiegiem», zarzucając mu, że oparte
było na tym, iż jedna sprzeczność logiczna pociąga dowolną inną, czyli w tym przypadku na wynikaniu:
c jest P-em ∧ c nie jest P-em |= ⊥. Jednakże dopuszczalność ominięcia przepisu stosowania reguły wyboru możemy wytłumaczyć także w następujący poglądowy sposób.
Po zastosowaniu reguły wyboru reszta dedukcji w przykładzie 2.1 sprowadzała się do pokazania, że:
Każdy S jest P-em
w jest S -em
x
Każdy S jest P-em
c jest S -em
x
Skoro w tym fragmencie naszej dedukcji nie stosowaliśmy już reguły wyboru, więc nie mamy problemu
z pojawieniem się we wniosku nazwy występującej w przesłance. Stąd zaś  na mocy twierdzenia 2.1 
otrzymujemy, że poniższy zbiór jest logicznie sprzeczny:
(vii′ )
{Każdy S jest P-em, Żaden S nie jest P-em, c jest S -em}
Niesprzeczność obu zbiorów (vii) i (vii′ ) jest jednak równoważna. Istotnie, po pierwsze, mamy: c jest
S -em |= Istnieje jakiś S . Zatem gdyby jakieś podstawienie za ‘S ’, ‘P’ i ‘c’ spełniało zbiór (vii′ ), to to
samo podstawienie za ‘S ’ i ‘P’ spełniałoby zbiór (vii). Po drugie zaś, gdyby jakieś podstawienie za ‘S ’
i ‘P’ spełniało zbiór (vii), to  dzięki regule wyboru  znaleźlibyśmy podstawienie za ‘c’ (np. ‘jedyny
dowolnie wybrany obiekt będący S -em’), które razem z podstawieniem za ‘S i ‘P’ spełniają zbiór (vii′ ). ⋄
Przykład 2.2. Wykażemy formalnie, że sprzeczny logicznie jest poniższy zbiór:
(xii)
{Każdy S jest M-em, Żaden M nie jest P-em, Jakiś S jest P-em}
Jest to uogólnienie przykładu 2.1, gdyż przez zamianę P 7→ S i M 7→ P ze zbioru (xii) otrzymamy:
178
(vii′′ )
{Każdy S jest P-em, Żaden P nie jest S -em, Jakiś S jest S -em}
A to zaś daje zbiór (vii), gdyż to samo głoszą dwie pary zdań ‘Istnieje jakiś S ’ i ‘Jakiś S jest S -em’; oraz
‘Żaden P nie jest S -em’ i Żaden S nie jest P-em’.
Stosując dedukcję pokażemy, że ze zbioru (xii) logicznie wynika jakaś kontrtautologię, tj. pokażemy,
że niezawodny jest schemat wnioskowania:
,2
01
6/2
01
7
Każdy S jest M-em
Żaden M nie jest P-em
Jakiś S jest P-em
x
(∗∗)
⊥
Stąd zaś  na mocy twierdzenia 2.1  otrzymujemy, że zbiór (xii) jest logicznie sprzeczny.
Dowodząc niezawodności schematu (∗∗), załóżmy że wszystkie przesłanki są prawdziwe. Zatem do
trzeciej wolno zastosować regułę wyboru, czyli wolno (w dowolny sposób) wybrać jakiegoś S -a, który
jest P-em. Oznaczymy go literą ‘w’. Zatem w jest S -em i w jest P-em. Są to nasze dodatkowe przesłanki
związane właśnie ze stosowaniem reguły wyboru do wyjściowej przesłanki ‘Jakiś S jest P-em’. Stosując
pierwszą z tych dodatkowych przesłanek łącznie z pierwszą z wyjściowych przesłanek przeprowadzamy
następujące wnioskowanie:
Każdy S jest M-em
w jest S -em
x
w jest M-em
Otrzymujemy więc pomocniczy wniosek ‘w jest M-em’. Stosując go łącznie z drugą z wyjściowych przesłanek przeprowadzamy następujące wnioskowanie:
yk
ła d
uL
PK
w jest M-em
w nie jest P-em
x
M
a te
r ia
ły
do
w
Otrzymujemy więc drugi pomocniczy wniosek ‘w nie jest P-em’. Z niego oraz z drugiego dodatkowego
założenia otrzymujemy wnioskowanie:
w jest P-em
w nie jest P-em
x
Zatem z wyjściowych przesłanek doszliśmy do wzorcowej kontrtautologii postaci (v′ ).
⋄
Uwaga 2.4. (i) W ostatnim przykładzie także zrobiliśmy uproszczenie, które opisaliśmy w uwadze 2.3(i).8
Mianowicie, to, co zrobiono nie do końca było zgodne z przepisem na stosowanie reguły wyboru. Jednakże, w każdym takim przypadku, to «odstępstwo od przepisu» łatwo jest «naprawić», a nawet uzasadnić
jego dopuszczalność. Dlatego też podejście zastosowane w przykładzie 2.2 jest standardowym sposobem
przeprowadzania dowodów nie wprost, które są oparte na regule wyboru.
Mianowicie, przepis stosowania reguły wyboru głosi, że końcowy uznany wniosek nie może zawierać
nazwy pomocniczej, którą wprowadzamy w trakcie stosowania tej reguły (w naszym przypadku była to
litera ‘w’). Mianowicie, każdy wniosek zawierający tę pomocniczą nazwę jest zależny od przyjęcia dodatkowych przesłanek (w naszym przypadku były to: ‘w jest S -em’ i ‘w jest P-em’). Końcowy wniosek zaś
ma być niezależny od tych dodatkowych przesłanek; ma on wynikać z samych przesłanek wyjściowych.
Zatem jako końcowy wniosek wolno przyjąć tylko taki, który nie zawiera nazwy pomocniczej, którą wprowadzamy stosując regułę wyboru. Końcowym wniosek w przykładzie 2.2 zawierał jednak taką
nazwę, gdyż miał postać: ‘w jest P-em ∧ w nie jest P-em’.
(ii) «Z tego impasu» mamy jednak następujące formalne wyjście. Dzięki twierdzeniu 2.2 wiemy, że
niezawodny jest następujący schemat wnioskowania (por. uwagę 2.1.ii):
⊥
x
x
gdzie ‘c’ reprezentuje dowolne wyrażenia mające symbolizować pojedynczy obiekt, a w tym takie pomocnicze nazwy, jak ‘w’. Ponadto, ‘⊥’ symbolizuje dowolną kontrtautologią, w której nie ma już nazwy
pomocniczej ‘w’. W ten sposób «pozbyliśmy się» nazwy pomocniczej ‘w’ i otrzymaliśmy niezawodny
8
W zasadzie przepisujemy tu uwagę 2.3, dostosowując ją jedynie do przykładu 2.2. Chcemy przez to uniezależnić omawianie przykładów 2.1 i 2.2.
179
schemat wnioskowania (∗∗), w którego wniosku nie ma już nazwy pomocniczej wprowadzonej poprzez
regułę wyboru.
Jak już wspomnieliśmy w (i), jest to standardowe rozwiązanie, które wolno zastosować w każdym
przypadku. Dlatego też w praktyce po prostu go pomijamy nie bacząc na to, że w «końcowej» sprzecznej
konkluzji widnieje nazwa pomocnicza wprowadzona poprzez regułę wyboru. Tę konkluzję zawsze wolno
nam zmienić na wniosek nie zawierający już takiej nazwy.
(iii) Powyższe rozwiązanie mógłby ktoś nazwać «sztucznym wybiegiem», zarzucając mu, że oparte
było na tym, iż jedna sprzeczność logiczna pociąga dowolną inną, czyli w tym przypadku na wynikaniu:
c jest P-em ∧ c nie jest P-em |= ⊥. Jednakże dopuszczalność ominięcia przepisu stosowania reguły wyboru możemy wytłumaczyć także w następujący poglądowy sposób.
Po zastosowaniu reguły wyboru reszta dedukcji w przykładzie 2.2 sprowadzała się do pokazania, że:
Każdy S jest M-em
w jest S -em
w jest P-em
x
Każdy S jest M-em
c jest S -em
c jest P-em
x
(xii′ )
,2
01
6/2
01
7
Skoro w tym fragmencie naszej dedukcji nie stosowaliśmy już reguły wyboru, więc nie mamy problemu
z pojawieniem się we wniosku nazwy występującej w przesłance. Stąd zaś  na mocy twierdzenia 2.1 
otrzymujemy, że poniższy zbiór jest logicznie sprzeczny:
{Każdy S jest P-em, Żaden S nie jest P-em, c jest S -em, c jest P-em}
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
Logiczna niesprzeczność obu zbiorów (xii) i (xii′ ) jest jednak równoważna. Istotnie, po pierwsze, mamy:
c jest S -em, c jest P-em |= Jakiś S jest P-em. Zatem gdyby jakieś podstawienie za ‘S ’, ‘P’ i ‘c’ spełniało
zbiór (xii′ ), to to samo podstawienie za ‘S ’ i ‘P’ spełniałoby zbiór (xii). Po drugie zaś, gdyby jakieś
podstawienie za ‘S ’ i ‘P’ spełniało zbiór (xii), to  dzięki regule wyboru  znaleźlibyśmy podstawienie
za ‘c’ (np. ‘jedyny dowolnie wybrany obiekt będący zarazem S -em i P-em’), które razem z podstawieniem
za ‘S i ‘P’ spełniają zbiór (xii′ ).
⋄
a te
M
(viii)
(ix)
r ia
Przykład 2.3. W przykładzie 1.3 wyjaśniliśmy, że logicznie sprzeczny jest zbiór schematów zdaniowych:
Teraz pokażemy to formalnie stosując twierdzenie 2.1. Mianowicie, stosując dedukcję pokażemy, że ze
zbiorów (viii) i (ix) logicznie wynikają odpowiednie kontrtautologie, tj. pokażemy, że niezawodne są
poniższe schematy:
p
p
¬q
∼q
Jeśli p, to q
Jeśli p, to q
x
x
⊥1
⊥2
Stąd zaś  na mocy twierdzenia 2.1  otrzymujemy, że zbiory (viii) i (ix) są logicznie sprzeczne.
W obu przypadkach załóżmy, że wszystkie trzy przesłanki są prawdziwe. Zatem stosując pierwszą i
trzecią z przesłanek przeprowadzamy następujące poprawne wnioskowanie:
Jeśli p jest q
p
q
x
Otrzymujemy więc pomocniczy wniosek q. Z niego i w obu przypadkach z drugiej przesłanki otrzymujemy odpowiednio poprawne wnioskowanie:
q
q
¬q
∼q
x
x
q ∧ ∼q
q ∧ ¬q
Zatem z wyjściowych przesłanek doszliśmy do wzorcowej kontrtautologii mającej postać (i′ ) bądź (ii′ ).⋄
Następne twierdzenia pokazują jak poprzez użycie operatora negacji ‘∼’ sprowadzić pojęcie logicznej sprzeczności zbioru schematów zdaniowych do pojęcia niezawodnego schematu wnioskowania oraz
odwrotnie. Zacznijmy od następującego twierdzenia.
180
Twierdzenie 2.3. Niech Σ będzie dowolnym co najmniej dwuelementową zbiorem schematów zdaniowych, a σ niech będzie dowolnym elementem tego zbioru. Wówczas:
zbiór Σ jest logicznie sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy Σ \ {σ} |= ∼ σ,
tzn. niezawodny jest poniższy schemat wnioskowania
Σ \ {σ}
∼σ
Dowód. Mamy następujące przekształcenia równoważnościowe: zbiór Σ jest logicznie sprzeczny wtw
nie istnieje podstawienie, przy którym wszystkie zdania uzyskane z Σ są prawdziwe wtw nie istnieje
podstawienie, przy którym wszystkie zdania uzyskane z Σ \{σ} są prawdziwe oraz ∼ σ nie jest prawdziwe
wtw Σ \ {σ} |= ∼ σ.
CND
Powyższe twierdzenie zilustrujemy na przykładzie dwuelementowego zbioru {σ1 , σ2 } schematów
zdaniowych (gdzie {σ1 , σ2 } \ {σ1 } = {σ2 } oraz {σ1 , σ2 } \ {σ2 } = {σ1 }):
zbiór {σ1 , σ2 } jest logicznie sprzeczny wtw σ1 |= ∼ σ2
wtw σ2 |= ∼ σ1 .
Dla trójelementowej zbioru schematów {σ1 , σ2 , σ3 } mamy zaś (gdzie {σ1 , σ2 , σ3 } \ {σ1 } = {σ2 , σ3 },
{σ1 , σ2 , σ3 } \ {σ2 } = {σ1 , σ3 } oraz {σ1 , σ2 , σ3 } \ {σ3 } = {σ1 , σ2 }):
,2
01
6/2
01
7
zbiór {σ1 , σ2 , σ3 } jest logicznie sprzeczny wtw {σ1 , σ2 } |= ∼ σ3
wtw {σ1 , σ3 } |= ∼ σ2
wtw {σ2 , σ3 } |= ∼ σ1
yk
ła d
uL
PK
Przykład 2.4. W przykładzie 1.1 pokazaliśmy, że sprzeczny jest poniższy trójelementowy zbiór:
(ii)
{p, ¬ p}
Z twierdzenia 2.3 mamy:
ły
do
w
zbiór (ii) jest logicznie sprzeczny wtw p |= ∼ ¬ p
wtw ¬ p |= ∼ p
M
a te
r ia
Zatem dostajemy dwa wynikania logiczne: p |= ∼ ¬ p oraz ¬ p |= ∼ p.9 Oczywiście, także każde z
nich pociąga logiczną sprzeczność zbioru (ii).
⋄
Przykład 2.5. W przykładzie 2.1 udowodniliśmy, że w interpretacji matematycznej zdań kategorycznych
logicznie sprzeczny jest poniższy trójelementowy zbiór:
(vii)
zbiór (vii) jest log. sprzeczny wtw Każdy S jest P-em, Żaden S nie jest P-em |= ∼ istnieje jakiś S
wtw Każdy S jest P-em, Istnieje jakiś S |= ∼ żaden S nie jest P-em
wtw Żaden S nie jest P-em, Istnieje jakiś S |= ∼ każdy S jest P-em
Zatem dostajemy trzy wynikania logiczne. Biorąc zaś pod uwagę następujące równoważności logiczne
zachodzące w interpretacji matematycznej zdań kategorycznych:
∼ istnieje jakiś S |==| Nie istnieje żaden S
∼ żaden S nie jest P-em |==| Jakiś S jest P-em
∼ każdy S jest P-em |==| Jakiś S nie jest P-em
oraz cięcia (przechodniości) relacji |=, z poprzednich zależności mamy także:
zbiór (vii) jest log. sprzeczny wtw Każdy S jest P-em, Żaden S nie jest P-em |= Nie istnieje żaden S
wtw Każdy S jest P-em, Istnieje jakiś S |= Jakiś S jest P-em
wtw Żaden S nie jest P-em, Istnieje jakiś S |= Jakiś S nie jest P-em
9
Zauważmy, że ∼ ¬ p 6|= p oraz ∼ p 6|= ¬ p. Mianowicie, podstawiając za ‘p’ zdanie z luką logiczną w obu przypadkach
otrzymamy prawdziwą przesłankę oraz wniosek z luką logiczną. Nie mam jednak takiego podstawienia, przy którym przesłanka
jest prawdziwa, a wniosek jest fałszywy. Z tego też względu w definicji schematu niezawodnego (odp. zawodnego) występuje
pojęcie nieprawdziwego wniosku, a nie pojęcie fałszywego wniosku.
181
Dostajemy zatem trzy dalsze wynikania logiczne. Oczywiście, także każde z sześciu podanych wynikań
logicznych pociąga logiczną sprzeczność zbioru (vii).
W uwadze 2.3(iii) pokazaliśmy, że logiczna sprzeczność zbioru (vii) jest równoważna z logiczną
sprzecznością poniższego zbioru:
(vii′ )
{Każdy S jest P-em, Żaden S nie jest P-em, c jest S -em}
zbiór (vii′ ) jest log. sprzeczny wtw Każdy S jest P-em, Żaden S nie jest P-em |= ∼ c jest S -em
wtw Każdy S jest P-em, c jest S -em |= ∼ żaden S nie jest P-em
wtw Żaden S nie jest P-em, c jest S -em |= ∼ każdy S jest P-em
Biorą zaś pod uwagę poprzednio podane równoważności mamy również:
zbiór (vii′ ) jest log. sprzeczny wtw Każdy S jest P-em, c jest S -em |= Jakiś S jest P-em
wtw Żaden S nie jest P-em, c jest S -em |= Jakiś S nie jest P-em
,2
01
6/2
01
7
Ponieważ tutaj ‘c’ może reprezentować również puste deskrypcje singularne oraz zdania są interpretowane w sensie matematycznym, więc schematu ‘∼ c jest S -em’ nie wolno zastąpić przez ‘c nie jest S -em’.
Mianowicie, przy pustych c i S schematy ‘Każdy S jest P-em’ i ‘Żaden S nie jest P-em’ dają zdania
prawdziwe, lecz ‘c nie jest S -em’ daje lukę logiczną, a ‘∼ c jest S -em’ daje zdanie prawdziwe.
Także każde z ostatnich pięciu wynikań logicznych pociąga logiczną sprzeczność zbioru (vii′ ).
⋄
(xii)
yk
ła d
uL
PK
Przykład 2.6. W przykładzie 2.2 udowodniliśmy, że w interpretacji matematycznej zdań kategorycznych
logicznie sprzeczny jest poniższy trójelementowy zbiór:
{Każdy S jest M-em, Żaden M nie jest P-em, Jakiś S jest P-em}
ły
do
w
zbiór (xii) jest log. sprzeczny wtw Każdy S jest M-em, Żaden M nie jest P-em |= ∼ jakiś S jest P-em
r ia
wtw Każdy S jest M-em, Jakiś S jest P-em |= ∼ żaden M nie jest P-em
M
a te
wtw Żaden M nie jest P-em, Jakiś S jest P-em |= ∼ każdy S jest M-em
Zatem dostajemy trzy wynikania logiczne. Biorąc zaś pod uwagę następujące równoważności logiczne
zachodzące w interpretacji matematycznej zdań kategorycznych:
∼ Jakiś S jest P-em |==| Żaden S nie jest P-em
∼ żaden M nie jest P-em |==| Jakiś M jest P-em
∼ każdy S jest M-em |==| Jakiś S nie jest M-em
oraz cięcia (przechodniości) relacji |=, z poprzednich zależności mamy także:
zbiór (xii) jest log. sprzeczny wtw Każdy S jest M-em, Żaden M nie jest P-em |= Żaden S nie jest P-em
wtw Każdy S jest M-em, Jakiś S jest P-em |= Jakiś S jest M-em
wtw Żaden M nie jest P-em, Jakiś S jest P-em |= Jakiś S nie jest M-em
Dostajemy zatem trzy dalsze wynikania logiczne. Oczywiście, także każde z sześciu podanych wynikań
logicznych pociąga logiczną sprzeczność zbioru (xii).
W uwadze 2.4(iii) pokazaliśmy, że logiczna sprzeczność zbioru (xii) jest równoważna z logiczną
sprzecznością poniższego zbioru:
(xii′ )
{Każdy S jest M-em, Żaden M nie jest P-em, c jest S -em, c jest P-em}
zbiór (xii′ ) jest log. sprzeczny wtw Każdy S jest M-em, Żaden M nie jest P-em, c jest S -em |= ∼ c jest P-em
wtw Każdy S jest M-em Żaden M nie jest P-em, c jest P-em |= ∼ c jest S -em
wtw Każdy S jest M-em, c jest S -em, c jest P-em |= ∼ żaden M nie jest P-em
wtw Żaden M nie jest P-em, c jest S -em, c jest P-em |= ∼ każdy S jest M-em
182
Zatem dostajemy cztery wynikania logiczne. Biorą zaś pod uwagę poprzednio podane równoważności
mamy również:
zbiór (xii′ ) jest log. sprzeczny wtw Każdy S jest M-em, c jest S -em, c jest P-em |= Jakiś M jest P-em
wtw Żaden M nie jest P-em, c jest S -em, c jest P-em |= Jakiś S nie jest M-em
Dostajemy zatem dwa dalsze wynikania logiczne. Oczywiście, także każde z sześciu podanych wynikań
logicznych pociąga logiczną sprzeczność zbioru (xii′ ).
⋄
Przykład 2.7. W przykładzie 2.3 pokazaliśmy, że logicznie sprzeczny jest poniższy zbiór:
(viii)
zbiór (viii) jest logicznie sprzeczny wtw Jeśli p, to q; p |= ∼ ∼ q
wtw p ; ∼ q |= ∼ jeśli p, to q
wtw Jeśli p, to q ; ∼ q |= ∼ p
Zatem dostajemy trzy wynikania logiczne. Biorąc zaś pod uwagę równoważność logiczną:
∼ ∼ q |==| q
oraz cięcia (przechodniości) relacji |=, z poprzednich poprzednio podane równoważności dostajemy:
,2
01
6/2
01
7
zbiór (viii) jest logicznie sprzeczny wtw Jeśli p, to q; p |= q
yk
ła d
uL
PK
Otrzymujemy zatem, że logiczna sprzeczność zbioru (viii) jest równoważna z zachodzeniem podstawowego wynikania logicznego dotyczącego zdań warunkowych.
Oczywiście, także każde z czterech podanych wynikań logicznych pociąga logiczną sprzeczność zbioru (viii).
⋄
ły
do
w
Przykład 2.8. W przykładzie 2.3 pokazaliśmy także, że logicznie sprzeczny jest poniższy zbiór:
(ix)
r ia
M
a te
zbiór (ix) jest logicznie sprzeczny wtw Jeśli p, to q; p |= ∼ ¬ q
wtw p ; ¬ q |= ∼ jeśli p, to q
wtw Jeśli p, to q ; ¬ q |= ∼ p
Zatem dostajemy trzy wynikania logiczne. Dwa pierwsze z nich są jednak zupełnie zbędne, gdyż mamy
«mocniejsze» od nich wynikania logiczne.
Odnośnie pierwszego z nich zauważmy, że «mocniejszym» od niego jest: Jeśli p, to q; p |= q. Istotnie,
z ostatniego i z wynikania: q |= ∼ ¬ q, na mocy przechodniości relacji |=, mamy: Jeśli p, to q; p |= ∼ ¬ q.
Odnośnie drugiego z nich zauważmy, że «mocniejszym» od niego jest: p ; ¬ q |= ¬ jeśli p, to q.
Istotnie, z ostatniego i z wynikania: ¬ r |= ∼ r, na mocy przechodniości relacji |=, mamy: ∼ jeśli p, to q.
To «mocniejsze» wynikanie nie podpada jednak pod zastosowanie twierdzenia 2.3. Bierze się ono
stąd, że jeśli obie jego przesłanki są prawdziwe, to q jest fałszywe. Zatem zdanie warunkowe ‘Jeśli p, to
q’ nie jest prawdziwe, gdyż p jest prawdziwe, a q fałszywe. Ma jednak wartość logiczną, gdyż oba jego
składniki mają wartość. Zatem zdanie ‘Jeśli p, to q’ jest fałszywe. A stąd ‘¬ jeśli p, to q’ jest prawdziwe.
Ponadto, każde z podanych trzech wynikań pociąga logiczną sprzeczność zbioru (ix).
⋄
Gdybyśmy w twierdzeniu 2.3 wzięli jednoelementowy zbiór Σ, który składałaby się z jedynego schematu zdaniowego σ (tj. Σ = {σ}), to Σ \{σ} = ∅. Zatem w takim przypadku twierdzenie 2.3 sprowadzi się
do twierdzenia 1.2: schemat zdaniowy σ jest kontrtautologią wtedy i tylko wtedy, gdy ∼ σ jest tautologią.
Oczywiście, z twierdzenia 2.3 otrzymujemy następujący wniosek dotyczący zdań:
Wniosek 2.3. Niech Γ będzie dowolnym co najmniej dwuelementową zbiorem zdań, a α niech będzie
dowolnym elementem tego zbioru. Wówczas:
zbiór Γ jest logicznie sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy Γ \ {α} |= ∼ α.
Dowód. Korzystając z twierdzenia 2.3, mamy następujące przekształcenia równoważnościowe: zbiór Γ
jest logicznie sprzeczny wtw zbiór Γ podpada pod jakiś logicznie sprzeczny zbiór s(Γ) schematów zda-
183
niowych wtw układ Γ \ {α}/ ∼ α podpada pod jakiś niezawodny schemat wnioskowani s(Γ) \ {s(α)}/s(∼ α)
wtw Γ \ {α} |= ∼ α.
CND
Z twierdzenia 2.3 otrzymujemy poniższe twierdzenie ilustrowane przez te same przykłady.
Twierdzenie 2.4. Niech Π będzie dowolnym niepusty zbiorem schematów zdaniowych, a σ dowolnym
schematem zdaniowym. Wówczas:
zbiór Π ∪ {σ} jest logicznie sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy Π |= ∼ σ.
Dowód. W twierdzeniu 2.3 bierzemy Σ = Π ∪ {σ}. Wtedy σ jest elementem zbioru Σ oraz Σ \ {σ} = Π.
Zatem zbiór Π ∪ {σ} jest logicznie sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy Π |= ∼ σ.
Można też podać inny dowód, analogiczny do dowodu twierdzenia 2.3 poprzez następujące równoważnościowe przekształcenia: zbiór Π ∪ {σ} jest sprzeczny wtw nie istnieje podstawienie, przy którym
wszystkie schematy z Π ∪{σ} dają zdania prawdziwe wtw nie istnieje podstawienie, przy którym wszystkie
zdania uzyskane z Π są prawdziwe oraz ∼ σ jest nieprawdziwe wtw Π |= ∼ σ.
CND
Gdybyśmy w twierdzeniu 2.4 wzięli pusty zbiór Π, to Π ∪ {σ} = {σ}. W takim przypadku ostatnie
twierdzenie także sprowadzi się do twierdzenia 1.2: σ jest kontrtautologią wtedy i tylko wtedy, gdy ∼ σ
jest tautologią.
Oczywiście, z twierdzenia 2.4 bądź z wniosku 2.3 otrzymujemy następujący wniosek dotyczący zdań:
,2
01
6/2
01
7
Wniosek 2.4. Niech Π będzie dowolnym niepusty zbiorem zdań, a α dowolnym zdaniem. Wówczas:
zbiór Π ∪ {α} jest logicznie sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy Π |= ∼ α.
yk
ła d
uL
PK
Dowód. We wniosku 2.3 bierzemy Γ = Π ∪ {α}. Wtedy α ∈ Γ oraz Γ \ {α} = Π. Zatem zbiór Π ∪ {α}
jest logicznie sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy Π |= ∼ α.
CND
Mamy też inne wersje uzyskane odpowiednio twierdzenia 2.4 i wniosku 2.4:
ły
do
w
Twierdzenie 2.5. Niech Π będzie dowolnym niepusty zbiorem schematów zdaniowych, a σ dowolnym
schematem zdaniowym. Wówczas:
r ia
zbiór Π ∪ {∼ σ} jest logicznie sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy Π |= σ
M
a te
Dowód. W twierdzeniu 2.3 bierzemy Σ = Π ∪{∼ σ}. Wtedy ∼ σ jest elementem zbioru Σ i Σ \{∼ σ} = Π.
Zatem zbiór Π ∪ {∼ σ} jest logicznie sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy Π |= ∼ ∼ σ. Stosujemy więc
prawo podwójnej negacji i przechodniość relacji wynikania logicznego.
Można też podać inne dowody. Przykładowo, skoro w twierdzeniu 2.4 schemat σ był dowolny, więc
w jego miejsce wolno wziąć również schemat ∼ σ otrzymując: Π ∪ {∼ σ} jest logicznie sprzeczny wtedy
i tylko wtedy, gdy Π |= ∼ ∼ σ wtedy i tylko wtedy, gdy Π |= σ (z prawa podwójnej negacji).
Można też podać analogiczny dowód do dowodu twierdzenia 2.3 poprzez następujące równoważnościowe przekształcenia: zbiór Π ∪{∼ σ} jest sprzeczny wtw nie istnieje podstawienie, przy którym wszystkie schematy z Π ∪ {∼ σ} dają zdania prawdziwe wtw nie istnieje podstawienie, przy którym wszystkie
zdania uzyskane z Π są prawdziwe oraz σ jest nieprawdziwe wtw Π |= σ.
CND
Przykład 2.9. W przykładzie 2.3 pokazaliśmy, że logicznie sprzeczny jest poniższy zbiór:
(viii)
{Jeśli p, to q; p; ∼ q}
zbiór (viii) jest logicznie sprzeczny wtw Jeśli p, to q; p |= q
Ponownie otrzymujemy, że logiczna sprzeczność zbioru (viii) jest równoważna z zachodzeniem podstawowego wynikania logicznego dotyczącego zdań warunkowych.
⋄
Oczywiście, z twierdzenia 2.5 bądź z wniosków 2.3 lub 2.4 otrzymujemy następujący wniosek dotyczący zdań:
Wniosek 2.5. Niech Π będzie dowolnym niepusty zbiorem zdań, a α dowolnym zdaniem. Wówczas:
zbiór Π ∪ {∼ α} jest logicznie sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy Π |= α.
Dowód. We wniosku 2.3 bierzemy Γ = Π ∪{∼ α}. Wtedy α ∈ Γ oraz Γ \{∼ α} = Π. Zatem zbiór Π ∪{∼ α}
jest logicznie sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy Π |= ∼ ∼ α wtedy i tylko wtedy, gdy Π |= α. CND
184
3. Dowód nie wprost
Dowód nie wprost tego, że ze zbioru przesłanek Π wynika logicznie wniosek α polega na tym, iż
założenia, że zarazem wszystkie przesłanki z Π są prawdziwe i nieprawdziwy jest wniosek α wydedukujemy jakąś logiczną sprzeczność. Innymi słowy mamy pokazać, że ze zbioru Π ∪ {∼ α} wynika logicznie
jakieś zdanie logicznie sprzeczne. Jeśli tak będzie, to wolno uznać, że ze zbioru przesłanek Π wynika
logicznie wniosek α, tj. Π |= α.
Teoretyczną podstawą do tego dają poniższe twierdzenie lub poniższy wniosek uzyskane odpowiednio
z twierdzenia 2.1 lub wniosku 2.1, oraz twierdzenia 2.5 lub wniosku 2.5.
Twierdzenie 3.1. Niech ⊥ będzie dowolną kontrtautologią. Wówczas dla dowolnego niepustego zbioru
Σ schematów zdaniowych oraz dowolnego schematu zdaniowego σ:
jeśli Σ ∪ {∼ σ} |= ⊥, to Σ |= σ.
Dowód. Załóżmy, że Σ ∪ {∼ σ} |= ⊥. Wtedy, na mocy twierdzenia 2.1, zbiór Σ ∪ {∼ σ} jest logicznie
CND
sprzeczny. Stąd Σ |= σ, na mocy twierdzenia 2.5.
Z twierdzenia 3.1 bądź z wniosków 2.1 i 2.5 otrzymujemy następujący wniosek dotyczący zdań:
,2
01
6/2
01
7
Wniosek 3.1. Niech υ będzie dowolnym zdaniem logicznie sprzecznym. Wówczas dla dowolnego niepustego zbioru zdań Π oraz dla dowolnego zdania α:
jeśli Π ∪ {∼ α} |= υ, to Π |= α.
yk
ła d
uL
PK
Dowód. Załóżmy, że Π ∪{∼ α} |= υ. Wtedy, na mocy wniosku 2.1, zbiór Π ∪{∼ α} jest logicznie sprzeczny.
Stąd Π |= α, na mocy wniosku 2.5.
CND
M
a te
r ia
ły
do
w
Oczywiście twierdzenie 3.1 stosuje się także do przypadku, gdy dowodzony wniosek jest już zanegowany, tj. ma postać ∼ σ. Wówczas  na mocy prawa podwójnej negacji  zamiast ∼ ∼ σ możemy wziąć
samo σ. W dedukcji nie wprost będziemy więc zakładać, że zarazem prawdziwe są wszystkie przesłanki
z Σ oraz σ. Stąd mamy wydedukować jakąś logiczną sprzeczność. Innymi słowy mamy pokazać, że ze
zbioru Σ ∪{σ} wynika logicznie jakaś logiczna sprzeczność. Jeśli tak będzie, to wolno uznać, że ze zbioru
przesłanek Σ wynika logicznie wniosek ∼ σ, tj. Π |= ∼ σ. Zatem otrzymujemy:
Wniosek 3.2. Niech ⊥ będzie dowolną kontrtautologią. Wówczas dla dowolnego niepustego zbioru Σ
schematów zdaniowych oraz dowolnego schematu zdaniowego σ:
jeśli Σ ∪ {σ} |= ⊥, to Σ |= ∼ σ.
Z tego wniosku otrzymujemy następujący dotyczący zdań:
Wniosek 3.3. Niech υ będzie dowolnym zdaniem logicznie sprzecznym. Wówczas dla dowolnego niepustego zbioru zdań Π oraz dla dowolnego zdania α:
jeśli Π ∪ {α} |= υ, to Π |= ∼ α.

Część 12

Transkrypt

Podobne dokumenty

Mariola Janus

klauzula antykorupcyjna

test iz epistemologii

NR ALBUMU

1. Wśród podanych zdań znajdź prawdy logiczne i fałsze logiczne

Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki

Królestwo to opowieść banalna o poszukiwaniu miłości.