3 Modelowanie krzywych i powierzchni

3
Modelowanie krzywych i powierzchni
Modelowanie powierzchniowe jest kolejną metodą po modelowaniu bryłowym sposobem tworzenia
części. Jest to też sposób budowy elementu bardziej skomplikowany i wymagający większego
doświadczenia w modelowaniu 3D jednakże dający również więcej możliwości konstruktorowi, jeśli
chodzi o stopień skomplikowania geometrii obiektu.
Powierzchnie czy krzywe muszą być tak zbudowane, aby spełniały następujące wymagania:
- powinny być wygodne w użyciu dla projektanta tak aby dzięki nabytemu doświadczeniu mógł w
szybki sposób dokonać modyfikacji
- powinny umożliwiać przeprowadzenie badania tworzonego modelu jeszcze przed zbudowaniem
prototypu
- powinny dawać możliwość łatwego przetwarzania co w znaczący sposób ogranicza ilość
wprowadzanych systemów modelowania
- geometria budowanych elementów nie powinna stanowić ograniczenia dla narzędzi renderowania
co zwiększa efektywność pracy oraz skraca czas pojawienia się produktu na rynku.
Krzywe
Wiele nowoczesnych systemów wykorzystywanych przy projektowaniu wykorzystuje krzywe oparte
na algorytmie opracowanym przez Pierre’a Beziera.
Obok wielu zalet jak przybliżenie za pomocą wielu punktów, których ilość można zmieniać oraz
kontrola kształtu oparta na położeniu wspomnianych punktów to krzywe Beziera posiadają także
wiele czynników, które znacząco utrudniają pracę i zmniejszają jej efektywność.
Jako minusy możemy wskazać:
- brak możliwości wprowadzania lokalnych zmian (lokalna zmiana położenia punktu powoduje
zmiany całej krzywej)
- trudna i niewygodna kontrola punktów w momencie gdy tworzona krzywa ma odzwierciedlić
skomplikowany kształt przy czym obliczenie takiej krzywej jest kłopotliwe w realizacji
komputerowej.
Powszechniej stosowana w grafice komputerowej jest pozbawiona powyższych wad krzywa
parametryczna B – sklejana (B – Spline).
Angielska nazwa spline wzięła się z gwary kreślarzy i odnosiła do długiej elastycznej metalowej
taśmy, którą używano do rysowania samolotów, samochodów, statków itp. Zawieszając
odpowiednio dobrane obciążniki można było uzyskać krzywą o ciągłości geometrycznej drugiego
rodzaju.
Jej odpowiednikiem matematycznym jest właśnie krzywa B – sklejana trzeciego stopnia.
Angielska nazwa krzywych B-sklejanych - B-spline jest skrótem od basis spline function co znaczy
"funkcja bazowa splajnów".
Kształtowanie krzywej wymiernej B-sklejanej polega na rozmieszczaniu lub przesuwaniu punktów
kontrolnych i dobieraniu wag poszczególnych punktów.
Można też manipulować węzłami użytymi do określenia funkcji bazowych.
Rys.1. Lokalna kontrola kształtu krzywej B- Sklejanej z grzebieniem krzywizny (SolidWorks 2009)
Do określenia wymiernych krzywych B – sklejanych używamy nazwy NURBS co z angielskiego
natomiast oznacza Non – Uniform Rational B – Spline.
Skrót Non - Uniform odwołuje się do cechy krzywej B – Sklejanej, która oznacza, że punkty nie
muszą być rozmieszczone równomiernie.
Właściwości krzywej typu NURBS:
- jeśli wszystkie wagi są równe pewnej stałej różnej od 0, to krzywa wymierna jest
identyczna z krzywą wielomianową;
- zmiana wszystkich wag polegająca na przenożeniu ich przez pewną stałą różną od 0 nie powoduje
żadnych zmian geometrycznych krzywej;
- relacja między punktami kontrolnymi a wymierną krzywą B-sklejaną jest niezmiennicza
afinicznie, co oznacza, że obraz punktów kontrolnych w przekształceniu afinicznym określa obraz
krzywej w tym przekształceniu;
- kontrola kształtu za pomocą punktów kontrolnych jest ściśle lokalna, podobnie jak efekt zmiany
wagi jest ograniczony tylko do fragmentu krzywej;
W wielu programach komputerowych, mimo że istnieje możliwość tworzenia krzywych NURBS,
zastrzeżona jest zmiana wag (wagi wszystkich punktów są określone na poziomie 1).
Wobec tego w rzeczywistości krzywe te są krzywymi wielomianowymi, a nie wymiernymi.
Rodzaje powierzchni
Powierzchnie płaskie (planarne) – Najprostszy rodzaj powierzchni utworzona z wyciągnięcia linii
bądź poprzez stworzenie powierzchni ograniczonej szkicem 2D.
Powierzchnie płaskie mogą posłużyć jako baza do utworzenia kolejnych szkiców 2D.
Rys.2. Powierzchnia Planarna
Powierzchnie utworzone poprzez operację wyciągnięcia – bazą wyjściową dla takiej operacji mogą
być wyższego rzędu jak chociażby B - Spline. Powierzchnia tworzona jest poprzez wyciągnięcie
krzywej w zadanym kierunku prostopadłym do płaszczyzny szkicu.
Rys.3. Powierzchnia utworzona przez wyciągnięcie
Powierzchnie utworzone poprzez obrót – powierzchnie tego typu tworzone poprzez obrót względem
ustalonej prostej stanowiącej oś obrotu dla dowolnie zdefiniowanej krzywej. Obrót może być
wykonany o dowolną wartość niekoniecznie 360st.
Rys.4. Powierzchnia utworzona przez obrót
Powierzchnia utworzona poprzez operację wyciągnięcia po ścieżce – taka powierzchnia budowana
jest na podstawie szkiców, z których jeden stanowi profil zaś drugi pełni rolę ścieżki (krzywej
prowadzącej) do wyciągnięcia.
Rys.5. Powierzchnia utworzona przez wyciągnięcie po ścieżce
Powierzchnia utworzona poprzez operację wyciągnięcia po profilach – ten rodzaj powierzchni jest
budowany poprzez rozciągnięcie na kolejnych profilach, które definiują przekrój obiektu w danym
miejscu.
Rys.6. Powierzchnia utworzona przez wyciągnięcie po profilach
Powierzchnia swobodna – jest to powierzchnia krzywokreślna zbudowana na bazie zadanego zbioru
punktów lub krzywych. Tworzona jest przez zmianę położenia punktu bądź punktów należących do
zadanej powierzchni za pomocą swobodnego przeciągania. Powierzchnia typu Beziera czy NURBS
(w zależności od oprogramowania) jest automatycznie generowana przez system CAD.
Rys.7. Powierzchnia swobodna