Różniczkowalna zależność rozwiązania od warunków

1
Różniczkowalna zależność
Różniczkowalna zależność rozwiązania od warunków początkowych i parametrów
Rozważmy zagadnienie początkowe
(1)

x′
= f(t, x, p)
x(τ ) = ξ.
Funkcja f jest określona na zbiorze (a, b) × R × S, gdzie R jest wnętrzem
prostopadłościanu w Rn , zaś S jest otwartym podzbiorem Rm , i przyjmuje
wartości z Rn .
Oznaczmy f = col (f1 , . . . , fn ), x = col (x1 , . . . , xn ), ξ = col (ξ1 , . . . , ξn ),
p = col (p1 , . . . , pm ).
O funkcji f zakładamy, że jest ciągła wraz z pochodnymi cząstkowymi
∂fi /∂xj i ∂fi /∂pk na (a, b) × R × S.
Oznaczmy przez t 7→ ϕ(t; τ, ξ, p) rozwiązanie zagadnienia początkowego
(1).
Interesować nas będzie w bieżącym rozdziale różniczkowalna zależność
odwzorowania ϕ = col (ϕ1 , . . . , ϕn ) od argumentów. Rzecz jasna, pochodna
ϕ po t jest równa wartości f w odpowiednim punkcie.
Oznaczmy przez Φ pochodną ϕ po zespole zmiennych ξ. Jest to funkcja
o wartościach będących macierzami n × n, Φij = ∂ϕi /∂ξj .
Szukamy macierzowego równania różniczkowego, które powinno być spełniane przez Φ. Zauważmy, że zachodzą następujące tożsamości
(2)

ϕ′ (t; τ, ξ, p)
= f(t, ϕ(t; τ, ξ, p), p)
ϕ(τ ; τ, ξ, p) = ξ,
gdzie ′ oznacza pochodną po t. Zróżniczkujmy pierwszą z tożsamości (2) po
ξ, zmieńmy po lewej stronie kolejność różniczkowania i zastosujmy po prawej
stronie twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej. Otrzymamy wtedy
Φ′ (t; τ, ξ, p) = J(t, ϕ(t; τ, ξ, p), p)Φ(t; τ, ξ, p),
gdzie
Jij =
∂fi
.
∂xj
Dalej, różniczkując drugą z tożsamości (2) po ξ otrzymujemy
Φ(t0 ; τ, ξ, p) = I,
2
Skompilował Janusz Mierczyński
gdzie I oznacza macierz jednostkową.
Funkcja t 7→ Φ(·; τ, ξ, p) powinna więc być rozwiązaniem liniowego jednorodnego macierzowego równania różniczkowego
X ′ = J(t, ϕ(t; τ, ξ, p), p)X
(zwanego równaniem w wariacjach), spełniającym warunek początkowy
X(τ ) = I.
Oznaczmy przez Ψ pochodną ϕ po zespole zmiennych p. Jest to funkcja
o wartościach będących macierzami n × m, Ψik = ∂ϕi /∂pk .
Zróżniczkujmy pierwszą z tożsamości (2) po p, zmieńmy po lewej stronie kolejność różniczkowania i zastosujmy po prawej stronie twierdzenie o
pochodnej funkcji złożonej. Otrzymamy wtedy
Ψ′ (t; τ, ξ, p) = J(t, ϕ(t; τ, ξ, p), p)Ψ(t; τ, ξ, p) + G(t, ϕ(t; τ, ξ, p), p),
gdzie
Gik =
∂fi
.
∂pk
Dalej, różniczkując drugą z tożsamości (2) po p otrzymujemy
Ψ(τ ; τ, ξ, p) = 0.
Funkcja t 7→ Ψ(·; τ, ξ, p) powinna zatem być rozwiązaniem liniowego niejednorodnego macierzowego równania różniczkowego
Y ′ = J(t, ϕ(t; τ, ξ, p), p)Y + G(t, ϕ(t; τ, ξ, ξ), p)
z zerowym warunkiem początkowym.
Wreszcie, oznaczmy przez η pochodną ϕ po zmiennej τ . Jest to n-wymiarowy wektor kolumnowy.
Zróżniczkujmy pierwszą z tożsamości (2) po τ , zmieńmy po lewej stronie kolejność różniczkowania i zastosujmy po prawej stronie twierdzenie o
pochodnej funkcji złożonej. Otrzymamy wtedy
η ′ (t; τ, ξ, p) = J(t, ϕ(t; τ, ξ, p), p)η(t; τ, ξ, p).
Dalej, różniczkując drugą z tożsamości (2) po τ otrzymujemy
f(τ, ξ, p) + η(τ ; τ, ξ, p) = 0.
3
Różniczkowalna zależność
Funkcja η(·; τ, ξ, p) powinna więc być rozwiązaniem liniowego jednorodnego
wektorowego równania różniczkowego
y′ = J(t, ϕ(t; τ, ξ, p), p)y
spełniającym warunek początkowy
y(τ ) = −f(τ, ξ, p).
W szczególności, zauważmy następujący związek między pochodną po ξ
i pochodną po τ :
η(t; τ, ξ, p) = −Ψ(t; τ, ξ, p)f(τ, ξ, p).
Powyższe rozważania były czysto formalne: różniczkowaliśmy odwzorowanie ϕ po różnych zmiennych, stosowaliśmy twierdzenie o pochodnej funkcji
złożonej, zmienialiśmy kolejność różniczkowania, nie troszcząc się, czy jest to
uprawnione. Okazuje się, że można wykonywać takie operacje przy „naturalnych” założeniach, co jest treścią następującego twierdzenia:
Twierdzenie 1. Załóżmy, że funkcja wektorowa f = f(t, x, p) : (a, b) ×
R × S → Rn , gdzie R = (c1 , d1 ) × · · · × (cn , dn ), −∞ ¬ a < b ¬ ∞,
−∞ ¬ ci < di ¬ ∞ i S jest otwartym podzbiorem Rm , jest ciągła wraz
z pochodnymi cząstkowymi ∂f/∂x =: J i ∂f/∂p =: G. Oznaczmy przez
ϕ(·; τ, ξ, p) nieprzedłużalne rozwiązanie zagadnienia początkowego

x′
(3)
Wówczas
= f(t, x, p)
x(τ ) = ξ.
(i) Dziedzina odwzorowania (t, τ, ξ, p) 7→ ϕ(t; τ, ξ, p) jest otwartym podzbiorem (a, b) × (a, b) × R × S zawierającym zbiór {(τ, τ ) : τ ∈ (a, b)} ×
R × S.
(ii) Odwzorowanie ϕ jest różniczkowalne w sposób ciągły względem wszystkich zmiennych t, τ , ξ, p (oznaczmy Φ := ∂ϕ/∂ξ, Ψ := ∂ϕ/∂p i
η := ∂ϕ/∂τ ).
(iii) Pochodne mieszane drugiego rzędu
∂2ϕ
∂2ϕ
∂2ϕ
,
i
∂t ∂ξ ∂t ∂p ∂t ∂τ
są ciągłe.
4
Skompilował Janusz Mierczyński
(iv) Ustalmy (τ, ξ, p) ∈ (a, b) × R × S, i oznaczmy przez (α, β) dziedzinę
nieprzedłużalnego rozwiązania ϕ(·; τ, ξ, p). Wówczas:
(a) Odwzorowanie (α, β) ∋ t 7→ Φ(t, τ, ξ, p) ∈ Rn×n spełnia macierzowe równanie różniczkowe liniowe jednorodne
X ′ = J(t, ϕ(t; τ, ξ, p), p)X
(tzw. równanie w wariacjach), z warunkiem początkowym
X(τ ) = I.
(b) Odwzorowanie (α, β) ∋ t 7→ Ψ(t, τ, ξ, p) ∈ Rn×m spełnia macierzowe równanie różniczkowe liniowe niejednorodne
Y ′ = J(t, ϕ(t; τ, ξ, p), p)Y + G(t, ϕ(t; τ, ξ, p), p)
z warunkiem początkowym
Y (τ ) = 0.
(c) Odwzorowanie (α, β) ∋ t 7→ η(t, τ, ξ, p) ∈ Rn spełnia wektorowe
równanie różniczkowe liniowe jednorodne
y′ = J(t, ϕ(t; τ, ξ, p), p)y
z warunkiem początkowym
y(τ ) = −f(τ, ξ, p).
Naszkicujemy teraz dowód szczególnej postaci powyższego twierdzenia.
Po pierwsze, zakładamy, że n = 1, po drugie, rozpatrujemy tylko zależność
od wartości początkowej.
Rozpatrujemy zatem równanie różniczkowe
x′ = f (t, x)
z warunkiem początkowym
x(τ ) = ξ.
Niech ϕ : (α, β) → R oznacza nieprzedłużalne rozwiązanie powyższego zagadnienia początkowego. Ustalmy θ > 0 takie, że [τ − θ, τ + θ] ⊂ (α, β).
Ustalmy dalej c̃ < d˜ takie, że
5
Różniczkowalna zależność
˜ jest zawarty w dziedzinie funkcji
• prostokąt K := [τ − θ, τ + θ] × [c̃, d]
f , oraz
• ϕ(t) ∈ (c̃, d̃) dla każdego t ∈ [τ − θ, τ + θ].
Połóżmy
L :=
∂f
(t, x)
∂x
: (t, x) ∈ K ,
i ustalmy D > 0 takie, że zbiór { (t, x) : t ∈ [τ − θ, τ + θ], |x − ϕ(t)| ¬ D }
˜
jest zawarty w zbiorze [τ − θ, τ + θ] × (c̃, d).
Odtąd aż do końca dowodu przyjmujemy, że h ∈ R spełnia |h| ¬ De−Lθ .
1. Niech ϕh oznacza nieprzedłużalne rozwiązanie równania różniczkowego
x′ = f (t, x) z warunkiem początkowym x(τ ) = ξ + h. Twierdzimy, że
przedział [τ − θ, τ + θ] należy do dziedziny rozwiązania ϕh (·).
Istotnie, załóżmy nie wprost, że tak nie jest. Oznacza to, że dla pewnego
h istnieje takie s ∈ (τ, τ + θ), że ϕh (t) ∈
/ [c, d] dla wszystkich t ∈
(s, τ + θ] z dziedziny rozwiązania ϕh , lub istnieje takie s ∈ (τ − θ, τ ),
że ϕh (t) ∈
/ [c, d] dla wszystkich t ∈ [τ − θ, s) z dziedziny rozwiązania ϕh
(patrz Twierdzenie o przedłużaniu rozwiązań). Załóżmy, dla ustalenia
uwagi, że spełniony jest pierwszy warunek. Oznaczmy przez t1 kres
˜
dolny tych t ∈ (τ, τ + θ], dla których ϕh (t) ∈
/ [c, d]. Zatem ϕh (t) ∈ [c̃, d]
˜ Zauważmy, że
dla wszystkich t ∈ [τ, θ], oraz ϕh (t1 ) = c̃ lub ϕh (t1 ) = d.
ϕ(t) = ξ +
Zt
f (s, ϕ(s)) ds
τ
oraz
ϕh (t) = ξ + h +
Zt
f (s, ϕh (s)) ds,
τ
dla t należących do przekroju dziedzin ϕ(·) i ϕh (·). Oznaczając u(t) :=
|ϕh (t) − ϕ(t)|, otrzymujemy
u(t) ¬ |h| + L
Zt
u(s) ds
dla wszystkich t ∈ [τ, t1 ].
τ
Z nierówności Gronwalla wynika, że |ϕh (t1 ) − ϕ(t1 )| ¬ De−Lθ eL(t1 −τ ) <
˜
D, co przeczy temu, że ϕh (t1 ) = c̃ lub ϕh (t1 ) = d.
6
Skompilował Janusz Mierczyński
2. Stosując nierówność Gronwalla do funkcji u(·) na całym przedziale [τ −
θ, τ + θ] otrzymujemy, że
|ϕh (t) − ϕ(t)| ¬ |h|eLθ
(4)
dla wszystkich t ∈ [τ − θ, τ + θ].
Zauważmy, że z (4) wynika ciągła (a nawet lipschitzowska) zależność
rozwiązania na [τ − θ, τ + θ] od warunku początkowego.
Zachodzi
t
ϕh (t) − ϕ(t)
1Z
= 1+
(f (s, ϕh (s))−f (s, ϕ(s)) ds,
h
hτ
t ∈ [τ −θ, τ +θ].
Zapiszmy powyższą równość w postaci
ψh (t) = 1 +
Zt
gh (s)ψh (s) ds,
t ∈ [τ − θ, τ + θ],
τ
gdzie
ψh (t) :=
gh (t) :=
Z1
0
ϕh (t) − ϕ(t)
,
h
t ∈ [τ − θ, τ + θ],
∂f
(t, ϕ(t) + ϑ · (ϕh (t) − ϕ(t)) dϑ,
∂x
t ∈ [τ − θ, τ + θ].
Wnioskiem z nierówności (4) jest, że
|ψh (t)| ¬ eLθ
dla wszystkich |h| ¬ De−Lθ , jednostajnie po t ∈ [τ − θ, τ + θ].
3. Oznaczmy
∂f
(t, ϕ(t)), t ∈ [τ − θ, τ + θ].
∂x
Z definicji funkcji gh i g, z tego, że ∂f /∂x jest ciągła oraz z faktu, że
ϕh ⇉ ϕ, wynika, iż funkcje gh też dążą jednostajnie na [τ − θ, τ + θ] do
funkcji g.
g(t) :=
4. Wykażemy teraz, że istnieje jednostajna granica, przy h → 0, rodziny
funkcji ψh . Aby to zrobić, wykażemy najpierw, że jeśli ciąg hk → 0 przy
k → ∞, to ciąg funkcji (ψhk )∞
k=1 jest ciągiem Cauchy’ego (w przestrzeni metrycznej C([τ − θ, τ + θ], R)), zatem jest zbieżny. Dowód tego, że
7
Różniczkowalna zależność
rozpatrując różne ciągi otrzymamy zawsze tę samą granicę, jest standardowy.
Ustalmy hk , hl , i zapiszmy ψ1 := ψhk , ψ2 := ψhl , g1 := ghk , g2 := ghl .
Zachodzi oczywista równość
ψ2 (t) − ψ1 (t) =
Zt
(g2 (s) − g1 (s))ψ2 (s) ds +
τ
Zt
g1 (s)(ψ2 (s) − ψ1 (s)) ds.
τ
Oznaczmy v(t) := |ψ2 (t) − ψ1 (t)|. Wykorzystując (4) i standardowe
nierówności otrzymujemy
v(t) ¬
Zt
Z t
|g2 (s) − g1 (s)||ψ2 (s)| ds + |g1 (s)|v(s) ds
τ
τ
Z t
¬ θeLθ sup{ |g2 (t) − g1 (t)| : t ∈ [τ − θ, τ + θ] } + L v(s) ds.
τ
Nierówność Gronwalla daje nam, że
v(t) ¬ θe2Lθ sup{ |g2(t) − g1 (t)| : t ∈ [τ − θ, τ + θ] }.
5. Oznaczmy otrzymaną w poprzednim punkcie jednostajną granicę funkcji ψh przez ψ. Jednostajna zbieżność oznacza, że dla każdego ε > 0
istnieje δ > 0 o tej własności, że jeśli |h| < δ to |ψh (t) − ψ(t)| < ε dla
każdego t ∈ [τ −θ, τ +θ]. Zatem dla każdego ustalonego t ∈ [τ −θ, τ +θ]
zachodzi
∂ϕh (t)
= ψ(t).
∂h h=0
6. Pozostaje nam tylko wykazać, że ψ(·) spełnia odpowiednie równanie w
wariacjach. Istotnie, zapiszmy
Zt
ψh (t) = 1+
Zt
Zt
g(s)ψ(s) ds+ (gh (s)−g(s))ψ(s) ds+ gh (s)(ψh (s)−ψ(s)) ds.
τ
τ
τ
Jako że |ψ(t)| ¬ eLθ i |gh (t)| ¬ L dla wszystkich t ∈ [τ − θ, τ + θ] i
wszystkich |h| ¬ De−Lθ , druga i trzecia całka po prawej stronie dążą
do zera przy h → 0, zatem zachodzi
ψ(t) = 1 +
Zt
τ
g(s)ψ(s) ds,
t ∈ [τ − θ, τ + θ].
8
Skompilował Janusz Mierczyński
Inny dowód powyższego twierdzenia można znaleźć w książce: W. Walter,
Ordinary differential equations, Springer-Verlag, New York, 1998, str. 148–
157: korzysta się tam z pewnej modyfikacji metody kolejnych przybliżeń.
Twierdzenie 1 ma odpowiednik dla różniczkowalności wyższych rzędów:
Twierdzenie 2. Załóżmy, że funkcja wektorowa f = f(t, x, p) : (a, b) × R ×
S → Rn , gdzie R = (c1 , d1 ) × · · · × (cn , dn ), −∞ ¬ a < b ¬ ∞, −∞ ¬
ci < di ¬ ∞ i S jest otwartym podzbiorem Rm , jest ciągła wraz z pochodnymi
cząstkowymi względem zmiennych x i p do rzędu l włącznie. Oznaczmy przez
ϕ(·; τ, ξ, p) nieprzedłużalne rozwiązanie zagadnienia początkowego

x′
(5)
Wówczas
= f(t, x, p)
= ξ.
x(τ )
(i) Odwzorowanie ϕ jest l-krotnie różniczkowalne w sposób ciągły względem
wszystkich zmiennych t, τ , ξ, p; co więcej
(ii) Pochodne mieszane (l + 1)-go rzędu
∂ l+1 ϕ
,
∂t ∂τ l1 ∂ξ l2 ∂pl3
gdzie l1 + l2 + l3 = l, są ciągłe, oraz spełniają odpowiednie zagadnienia początkowe dla (macierzowych) równań różniczkowych liniowych
powstałe przez formalne różniczkowanie zagadnienia (5).