Wiadomosci Matematyczne 46(1) - Wydawnictwa PTM

Wiadomosci Matematyczne 46(1) - Wydawnictwa PTM

Wiad. Mat. 46 (1) 2010, 63–80
c 2010 Polskie Towarzystwo Matematyczne
Daniel Henry Gottlieb (Indiana)
Historia twierdzenia Gaussa–Bonneta
i socjologia matematyki *
Do napisania tej opowieści sprowokowała mnie dyskusja między
Peterem Hiltonem i Jeanem Pedersonem z jednej strony a Branko Griinbaumem i G. C. Shephardem z drugiej na łamach American Mathematical
Monthly [10, 12]. Zarówno dyskusja, jak moja opowieść dotyczą liczby
Eulera–Poincarégo – inaczej charakterystyki Eulera. Dyskusja skupia się
wokół pytania, czy liczba Eulera–Poincarégo powinna być omawiana
w ujęciu historycznym, bez wzmianki o tym, jak ogromne i znaczące
uogólnienie oraz pogłębienie rozumienia tego najbardziej interesującego
niezmiennika nastąpiło w tym stuleciu.
Reprezentuję w tym sporze pogląd, że topologii nie powinno się traktować jako zaawansowanej dziedziny, której pojęcia i twierdzenia należy
omijać aż do końcówki studiów magisterskich. Jest to raczej badanie
ciągłości i dlatego leży u podłoża najbardziej podstawowych rezultatów
geometrycznych. W artykule tym pokażę, jak pojęcie kąta w naturalny
sposób prowadzi do tak fundamentalnych pojęć topologicznych, jak
stopień odwzorowania i liczba Eulera–Poincarégo.
Moja opowieść obejmuje historię matematyki. Opowiada o być może
najszerzej znanym nieoczywistym twierdzeniu matematyki, a zawiera to
samo olśniewające uogólnienie, które cechuje najnowszą historię liczby
Eulera–Poincarégo. W istocie mówi o jednym z najważniejszych i najwcześniejszych zastosowań liczby Eulera–Poincarégo. Ilustruje niestałość matematycznej sławy, wykazuje niedorzeczną potęgę nierozsądnych
punktów widzenia, pokazuje, jak łatwo jest matematykom przeoczyć
i zapomnieć piękne i ważne twierdzenia, a także proste i odkrywcze
punkty widzenia.
*
Artykuł ukazał się w American Mathematical Monthly, 103, (1996), 457–469. Na
język polski przełożyła Ewa Marchow. Przedruk za zgodą Redakcji AMM.
64
D. H. Gottlieb
Jest to historia twierdzenia Gaussa–Bonneta taka, jak ją widzę. Nie
jestem historykiem matematyki. Cytuję tylko opracowania albo prace,
które przejrzałem w pośpiechu i nie prowadziłem nad nimi gruntownych
badań. Pomimo to piszę tę historię, ponieważ dopowiedziałem ostatnie
jej zdanie (jak dotąd).
Szczególną wdzięczność za pomoc chcę wyrazić Hansowi Samelsonowi.
Jego wiedza znacznie zmieniła wcześniejszą wersję tej pracy. Odkrył
on Satz VI. Informował mnie o wielu szczegółach tej historii; o pracach Gaussa, Kartezjusza i Hopfa. Był uczniem Hopfa, który uogólnił
twierdzenie Gaussa–Bonneta.
Odwzorowanie normalne. Co jest najszerzej znanym, nieoczywistym
twierdzeniem matematyki? Twierdzę, że jest to: Suma kątów wewnętrznych trójkąta równa się π. Wielu może przyznać, że nie pamięta twierdzenia Pitagorasa, jeśli jednak ujawni, że nie wie, iż suma kątów
w trójkącie wynosi 180◦ , to piętnuje się jako człowiek niewykształcony. Będę nazywać owo twierdzenie twierdzeniem o 180 stopniach.
Twierdzenie o 180 stopniach zostało dowiedzione za czasów Talesa. Na
przestrzeni dziejów przechodziło ono niezwykłe uogólnienia. W tym artykule pokazuję, że jego zwieńczeniem jest twierdzenie Gaussa–Bonneta.
Pierwsze uogólnienie obejmuje pojęcie kąta zewnętrznego. Kąty zewnętrzne wielokąta zawierają takie same matematyczne informacje co
kąty wewnętrzne, ponieważ (patrz rys. 1) są one związane równaniem
α + β = π, gdzie α jest kątem wewnętrznym, a β jest odpowiednim
kątem zewnętrznym. Twierdzenie: suma kątów zewnętrznych wielokąta
równa się 2π natychmiast pociąga za sobą twierdzenie o 180 stopniach
dzięki poprzedniemu równaniu.
α
β
Rysunek 1.
Co to jest miara kąta między dwiema półprostymi przecinającymi się
w punkcie O? Jeśli S 1 jest okręgiem jednostkowym o środku O, wówczas
długość łuku okręgu wyciętego przez półproste (patrz rys. 2) jest miarą
kąta między nimi. Traktujemy miarę kąta raczej jako własność podzbioru
Historia twierdzenia Gaussa–Bonneta i socjologia matematyki
65
okręgu niż liczbę stopni. Ten punkt widzenia jest bliższy oryginalnemu
greckiemu myśleniu. Traktowanie miary kąta jako liczby stopni jest
bardziej nowoczesnym podejściem.
α
O
Rysunek 2.
Grecki sposób widzenia można natychmiast uogólnić. Istotnie, jeśli przyjąć, że miarą kąta jest długość – albo inaczej jednowymiarowa
objętość – łuku okręgu S 1 na płaszczyźnie, to możemy myśleć o polu
powierzchni wycinka jednostkowej sfery S 2 w trójwymiarowej przestrzeni
jako o mierze kąta w trójwymiarowej przestrzeni. W ogólności miara kąta
w n-wymiarowej przestrzeni może być uważana za (n − 1)-wymiarową objętość wycinka sfery jednostkowej S n−1 w n-wymiarowej przestrzeni.
Rozważmy teraz krzywą płaską σ łączącą punkty A i B (rys. 3).
Weźmy pod uwagę jednostkowe wektory styczne do σ w punktach A
i B. Przesuńmy równolegle te wektory tak, aby ich początki znalazły
się w początku układu współrzędnych. Wtedy długość łuku okręgu S 1
wyciętego przez końce przesuniętych równolegle wektorów oznacza miarę
kąta, o który krzywa się zagięła.
B
A
B
A
Rysunek 3.
Jedną z rzeczy, której topologowie nauczyli się rozwijając topologię
jest to, że prawie zawsze opłaca się zastępować pojęcia funkcjami lub
odwzorowaniami. Ta procedura rozprzestrzeniła się w ostatnim półwieczu
na całą matematykę. Tak więc w przypadku, który rozważamy, określamy
odwzorowanie z krzywej do okręgu jednostkowego S 1 następująco: dla
każdego punktu P na krzywej σ konstruujemy jednostkowy wektor stycz-
66
D. H. Gottlieb
ny do σ w punkcie P i przesuwamy go równolegle do początku układu
współrzędnych; jego koniec leży na okręgu jednostkowym. Będziemy to
odwzorowanie nazywali odwzorowaniem stycznym.
Niech teraz B zbliża się do A wzdłuż σ. Jeśli podzielimy miarę kąta
między wektorami stycznymi w punktach A i B przez długość wzdłuż
łuku krzywej σ między A i B, to otrzymamy wielkość, która dąży do
pewnej granicy, jeśli σ jest dostatecznie gładka. Granica ta nazywa się
krzywizną krzywej σ w punkcie A. Innymi słowy, krzywizna w punkcie
A jest odwrotnością ilorazu długości nieskończenie małego łuku krzywej
σ przez długość jego obrazu na S 1 .
Przybliżmy teraz wielokąt przez gładką krzywą zamkniętą bez samoprzecięć. Tempo zmian wektora stycznego (krzywizna krzywej) odpowiada wtedy kątowi zewnętrznemu, a całkowity obrót wektora stycznego
(całkowita krzywizna krzywej zamkniętej) odpowiada sumie kątów zewnętrznych wielokąta. Dla krzywej zamkniętej w sposób prosty wektor
styczny obraca się o 2π, gdy kończy się obieg zamkniętej nieprzecinającej
się krzywej. Inaczej mówiąc, całkowita krzywizna jest równa 2π. Z ciągłości wynika teraz, że suma kątów zewnętrznych wielokąta jest równa 2π.
Takie przybliżanie wielokątów przez krzywe gładkie jest rozumowaniem
znanym Grekom. A więc znacznie uogólniliśmy oryginalne twierdzenie
o 180 stopniach w trójkącie przez twierdzenie, że krzywizna całkowita
zamkniętej w sposób prosty krzywej jest równa 2π. Zamiast wektorów
stycznych, możemy rozważać normalne do krzywej σ, gdyż wektor normalny zmienia się dokładnie tak samo, jak wektor styczny, gdy jego punkt zaczepienia przemieszcza się wzdłuż σ. Moglibyśmy więc określić krzywiznę
krzywej σ wykorzystując wektory normalne zamiast stycznych. Zastępujemy więc odwzorowanie styczne odwzorowaniem normalnym z σ do S 1 .
Zaletą użycia wektorów normalnych zamiast stycznych jest to, że nadaje
się ono do uogólnienia pojęcia krzywizny na powierzchnie w trójwymiarowej przestrzeni, gdyż kierunek normalny jest wyraźnie określony, podczas gdy nie ma żadnego wyróżnionego kierunku stycznego.
Nadajemy formalny charakter temu pomysłowi przez wprowadzenie
tak zwanego odwzorowania Gaussa albo normalnego. Każdemu punktowi
gładkiej powierzchni w trójwymiarowej przestrzeni możemy przyporządkować jedyny jednostkowy wektor normalny skierowany na zewnątrz.
To odwzorowanie przyporządkowuje punktom powierzchni punkty sfery
jednostkowej. Jest ono określone przez przesunięcie jednostkowego wektora normalnego powierzchni z dowolnego punktu na powierzchni tak,
by początek wektora trafił do środka sfery jednostkowej, a następnie
Historia twierdzenia Gaussa–Bonneta i socjologia matematyki
67
wybranie punktu na sferze jednostkowej będącego końcem przeniesionego
wektora (rys. 4).
N
N
Rysunek 4.
Ten sam pomysł, który w wymiarze dwa pozwala określić odwzorowanie normalne z krzywej zamkniętej do okręgu jednostkowego, umożliwia
określenie jego uogólnienia z gładkiej zamkniętej (n − 1)-wymiarowej
rozmaitości M zanurzonej w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej Rn
do sfery jednostkowej S n−1 , które będziemy oznaczać przez γ.
Krzywizna. Możemy teraz zdefiniować pojęcie krzywizny normalnej
w punkcie m rozmaitości M w Rn . Niech R będzie małym otoczeniem
punktu m w M , zaś γ(R) niech oznacza jego obraz w S n−1 . Wówczas
krzywizna normalna w punkcie m – oznaczana przez K(m) – jest granicą,
do której dąży (n − 1)-wymiarowa objętość zbioru γ(R) podzielona
przez (n − 1)-wymiarową objętość zbioru R, gdy R dąży do m. Ten
iloraz zaopatrujemy w znak plus, jeśli γ zachowuje orientację przy m
i znak minus, jeśli γ zmienia orientację w m. W pewnym układzie
współrzędnych K(m) jest jakobianem odwzorowania γ w punkcie m.
Podobnie jak odwrotność ilorazu nieskończenie małej długości łuku
w otoczeniu punktu x na krzywej γ przez długość jego obrazu w otoczeniu punktu γ(x) na okręgu jest definicją krzywizny krzywej płaskiej
w punkcie x, tak odwrotność ilorazu nieskończenie małego pola otoczenia
punktu x na powierzchni przez pole jego obrazu na sferze w otoczeniu
punktu γ(x) określa wartość w punkcie x krzywizny powierzchni zanurzonej w przestrzeni. Wydawać by się mogło, że taka sama nazwa powinna
była zostać nadana ilorazom wyżej wymiarowych nieskończenie małych
objętości, ale z powodów historycznych tak się nie stało. Na użytek
tego artykułu będę nazywał tę liczbę krzywizną normalną w punkcie x
rozmaitości M zanurzonej w Rn .
Zróbmy przerwę i zastanówmy się nad powodem, dla którego krzywizna normalna – naturalne uogólnienie kąta – nie nazywa się krzywizną
w wymiarach wyższych niż 2. Wynika to stąd, że w wymiarze dwa
krzywizna normalna zależy nie od tego, jak powierzchnia jest zanurzona
w R3 , ale od wewnętrznej geometrii powierzchni. Oznacza to, że krzy-
68
D. H. Gottlieb
wizna może być wyliczona bez dostrzegania otaczającej powierzchnię
przestrzeni. Jest to słynne Theorema Egregium Gaussa. Dlatego dla
wyższych wymiarów słowo krzywizna oznacza tensor krzywizny Riemanna. Opiera on się na krzywiźnie dwuwymiarowej, nie zgadza się
jednak z krzywizną normalną w wyższych wymiarach, a dla krzywych
wymiaru 1 nie ma nawet sensu. Ów tensor krzywizny odgrywa ważną
rolę w geometrii różniczkowej i fizyce, ale nie zastępuje krzywizny normalnej w taki sposób, w jaki kąty zewnętrzne zastępują kąty wewnętrzne.
Poza wymiarem 2 krzywizna normalna i tensor krzywizny są różnymi
pojęciami. Rozróżnienie tego, co wewnętrzne od tego, co zewnętrzne,
będzie pełnić kluczową rolę w mojej opowieści.
Rozważmy teraz zwartą (n − 1)-wymiarową rozmaitość M w Rn
i przypuśćmy, że M nie ma brzegu. M dzieli Rn na dwa kawałki, wnętrze i zewnętrze. Niech N oznacza wnętrze rozmaitości M , które jest
rozmaitością z brzegiem M . Jeśli teraz scałkujemy krzywiznę normalną
R
K po M , otrzymujemy KdM , analogon sumy kątów zewnętrznych.
Nazywać go będziemy krzywizną całkowitą albo staromodnie Curvatura
Integra M w Rn . Możemy teraz sformułować nową wersję twierdzenia
Gaussa–Bonneta. Przez χ(N ) rozumiemy tu liczbę Eulera–Poincarégo
rozmaitości N .
Twierdzenie (Gaussa–Bonneta).
Z
KdM = χ(N ) · (objętość S n−1 ).
Stopień normalny. Objętość jednostkowej (n − 1)-wymiarowej sfery jest
równa 2π dla n = 2, 4π dla n = 3 i zmienia się wraz z wymiarem.
Dlatego definiujemy stopień odwzorowania γ jako iloraz krzywizny całkowitej przez objętość sfery jednostkowej wymiaru równego wymiarowi
rozmaitości M . Stopień γ oznaczamy przez deg(γ) i nazywamy stopniem
normalnym. Stopień normalny okazuje się być liczbą całkowitą. W istocie,
jest to szczególny przypadek pojęcia stopnia odwzorowania, liczby całkowitej, która odgrywa ważną rolę w topologii. Przy tych oznaczeniach
możemy zapisać twierdzenie Gaussa–Bonneta jako
Twierdzenie (Gaussa–Bonneta–Hopfa).
deg(γ) = χ(N ).
Liczba Eulera–Poincarégo jest najwcześniejszym niezmiennikiem topologii algebraicznej. Jest ona potężnym uogólnieniem wzoru Eulera
dotyczącego wielościanów wypukłych. Istnieją świadectwa mówiące, że
Kartezjusz znał ten wzór na wiek przed Eulerem, [23] czy [24].
Historia twierdzenia Gaussa–Bonneta i socjologia matematyki
69
Trop stopnia odwzorowania prowadzi do Kroneckera, natomiast dobrze rozumiał to pojęcie dopiero L. E. J. Brouwer około roku 1913.
Podana tu jego całkowa definicja dla odwzorowania Gaussa może być
uogólniona na odwzorowania między zorientowanymi zamkniętymi rozmaitościami tego samego wymiaru. Najbardziej ogólne określenie stopnia
odwzorowania i liczby Eulera–Poincarégo wymagają teorii homologii.
Jednak obydwa te pojęcia zostały poznane wcześniej, niż dobrze zrozumiano homologię, i można się nimi skutecznie posługiwać bez jej
znajomości.
Dla dwuwymiarowej powierzchni N , którą można podzielić na trójkąty w sposób nazywany triangulacją (jak na rys 5), liczba Eulera–
–Poincarégo spełnia zależność
χ(N ) = v − e + f,
gdzie v jest liczbą wierzchołków, e jest liczbą krawędzi, a f jest liczbą
trójkątów w triangulacji.
Rysunek 5.
Wiedząc to, nietrudno wykazać, że jeśli N jest ograniczona przez
wielokąt wypukły, to χ(N ) = 1. Ponieważ deg(γ) = 1, to z twierdzenia
R
Gaussa–Bonneta–Hopfa mamy KdM = 2π, gdzie K oznacza krzywiznę
krzywej na płaszczyźnie. Jak powiedzieliśmy, wynika stąd twierdzenie
o 180 stopniach.
Mamy więc wspaniałe uogólnienie pojęcia sumy kątów spełnione
w każdym wymiarze i dane przez prosty wzór. Opowiedzmy ciąg dalszy
niezwykłej historii tego rezultatu.
Dziewiętnasty wiek. Twierdzenie Gaussa–Bonneta jest tak interesujące,
że wielu autorów nie mogło zrezygnować z opowiadania w swoich podręcznikach fragmentów jego historii. Na przykład Spivak [25] i Stillwell [24]
zrelacjonowali jego wczesną historię.
Rozważmy trójkąt geodezyjny T na powierzchni w trójwymiarowej
przestrzeni. Krawędziami trójkąta są łuki geodezyjne. Geodezyjne to odpowiedniki linii prostych dla powierzchni; są one drogami o najmniejszej
70
D. H. Gottlieb
długości na powierzchni. Niech α, β, γ oznaczają kąty wewnętrzne trójkąta (rys. 6). Jeśli scałkujemy krzywiznę K po trójkącie T , otrzymamy
Twierdzenie (Gaussa–Bonneta dla trójkąta geodezyjnego).
Z
KdT = α + β + γ − π.
β
γ
α
Rysunek 6.
Wynikają z tego wzoru interesujące wnioski: Jeśli T jest trójkątem
na płaszczyźnie (wówczas geodezyjne są liniami prostymi i K jest tożsamościowo równa zeru), wtedy α + β + γ − π = 0. Tak więc twierdzenie
Gaussa–Bonneta pociąga za sobą twierdzenie o 180 stopniach, ale nie
w ten sam sposób, co twierdzenie Gaussa–Bonneta–Hopfa. Jeśli podzielimy defekt kątowy α + β + γ − π przez pole trójkąta T , otrzymamy
liczbę, która jest wyliczona wewnętrznie na powierzchni. Jeśli T będziemy ściągać do punktu m, wtedy iloraz dążyć będzie do krzywizny
K(m) w punkcie m. Stąd K jest wewnętrzną własnością powierzchni. To
właśnie jest sławne Theorema Egregium Gaussa, ale opublikowany przez
niego dowód nie używa powyższych argumentów. We wcześniejszym
nieopublikowanym rękopisie, przeprowadził tę dyskusję tuż po swoim
dowodzie Theorema Egregium.
Jeśli dokonamy triangulacji zamkniętej rozmaitości M na trójkąty
geodezyjne, wtedy możemy zastosować twierdzenie Gaussa–Bonneta do
każdego z tych trójkątów. Jeśli dodamy równania, otrzymamy z lewej
R
strony całkowitą krzywiznę (zwaną również Curvatura Integra): KdM .
Po prawej stronie możemy zmienić kolejność sumowania kątów, otrzymując ostatecznie 4π · χ(M )/2.
Pokrywa się to z tym, co nazwaliśmy twierdzeniem Gaussa–Bonneta,
ponieważ dla powierzchni χ(M ) = 2 · χ(N ), jeśli rozmaitość M jest
brzegiem rozmaitości N . Faktycznie zależność χ(M ) = 2 · χ(N ) jest
prawdziwa dla dowolnej parzystowymiarowej rozmaitości M . Jednakże
dla nieparzystowymiarowej rozmaitości M , χ(M ) = 0. Te podstawo-
Historia twierdzenia Gaussa–Bonneta i socjologia matematyki
71
we fakty topologiczne – wraz z tym, co wewnętrzne versus to, co nie
wewnętrzne – grają kluczową rolę w tej opowieści.
W niepublikowanym rękopisie z 1825 roku Gauss zapisał wcześniejszą
wersję twierdzenia Gaussa–Bonneta dla trójkąta geodezyjnego. W roku
1827 wydał książkę, w której podał pewien wzór różniczkowy, dający
po scałkowaniu uogólnienie nazwane przez Bonneta wzorem Gaussa–
–Bonneta. Dowiedziałem się o tym od Samelsona.
W 1848 roku Bonnet uogólnił wzór Gaussa–Bonneta dla trójkąta na
zamknięte krzywe gładkie na powierzchni. Tu suma kątów zastąpiona została przez całkę z krzywizny geodezyjnej. Ten ogólniejszy wzór otrzymał
nazwę Gaussa–Bonneta jakiś czas później. Prawdopodobnie Blaschke
był pierwszym autorem, który to użył tej nazwy w swoim podręczniku
we wczesnych latach dwudziestych dwudziestego wieku.
Jeśli striangulowaną trójkątami geodezyjnymi zamkniętą powierzchnią S jest sfera topologiczna, wtedy po zastosowaniu wzoru Eulera
v − e + f = 2, dostajemy pierwsze globalne twierdzenie Gaussa–Bonneta:
Z
KdS = 4π.
W 1860 roku został wydany w Comptes Rendus zagubiony rękopis
Kartezjusza skopiowany ręką Leibniza i odkryty po latach. Notatka
Bertranda następująca bezpośrednio po artykule Kartezjusza wskazuje
na związek z twierdzeniem globalnym. Bertrand zauważa, że Kartezjusz wydaje się rozumieć wielościenną wersję globalnego twierdzenia
Gaussa–Bonneta. Przypisuje on globalne twierdzenie Gaussowi. Odsyłam do [23] po interesującą relację z tego rękopisu. Wiemy jednak, że
w tym czasie nikt nie rozumiał liczby Eulera–Poincarégo, i że wynik
udowodniono w istocie tylko dla powierzchni dyfeomorficznej ze sferą.
Dobry opis trudności wiążących się z rozwojem liczby Eulera–Poincarégo
znajduje się w [19]. Rzeczywiście, dyskusja Hiltona i innych pasowałyby
do argumentacji, której Lakatos użył, by przedstawić swoją rozprawę.
Wydaje się, że Walter Dyck pierwszy zdał sobie sprawę, że twierdzenie
Gaussa–Bonneta powinno być spełnione nie tylko przez powierzchnie
sferyczne. Było to w 1888 roku. Według Hirscha [13], Dyck pierwszy
połączył stopień z liczbą Eulera–Poincarégo i udowodnił „to, co się
niesłusznie nazywa twierdzeniem Gaussa–Bonneta”.
Przeglądanie pracy Dycka pozwala zobaczyć obrazki, które przypominają standardowe rysunki teorii Morse’a, rozwiniętej 50 lat później.
Dyck był prawdziwym pionierem, ale – podobnie jak Kartezjusz – wyprzedzał swoje czasy. Samelson mówił mi, że w pracach Gaussa nie
72
D. H. Gottlieb
możne on znaleźć wzmianki o globalnym twierdzeniu Gaussa–Bonneta.
Tak więc okazuje się, że globalne twierdzenie Gaussa–Bonneta powinno
się nazywać twierdzeniem Kartezjusza–Dycka.
Rzeczywiście, część tej historii pokazuje, że nazwa twierdzenia niekoniecznie jest uprawniona. Wygodnie jest mieć nazwy dla ważnych
twierdzeń, ale istotniejsze wydaje się, żeby dzięki nim ludzie wiedzieli
mniej więcej, czego te twierdzenia dotyczą, niż komu je zawdzięczamy.
A jednak można się zadumać nad tym, że nazwisko Bonneta jest sławne,
a nazwisko Dycka jest obecnie praktycznie nieznane.
Od Hopfa do Cherna. Dyck pracował w czasie, gdy dwa podstawowe
pojęcia – stopień odwzorowania i liczba Eulera–Poincarégo – nie były
jasno rozumiane. Pojęcia te zostały poprawnie określone i dostrzeżone
jako przydatne około 1925 roku. W niemałym stopniu było to zasługą
Heinza Hopfa.
Największe postępy Hopf poczynił w [14]. Przede wszystkim udowodnił, że γ = χ(M )/2 dla zamkniętej parzystowymiarowej hiperpowierzchni. Czynnik 1/2 tłumaczy się faktem, że χ(N ) = χ(M )/2, gdy
N jest domkniętą nieparzystowymiarową rozmaitością z brzegiem M .
Ponieważ χ(M ) = 0 dla domkniętej nieparzystowymiarowej rozmaitości,
więc udowodnione przez Hopfa twierdzenie wydawało się niemożliwe do
uogólnienia dla nieparzystowymiarowego przypadku i w szczególności
nie było uogólnieniem twierdzenia o 180 stopniach, które – jak przecież
zobaczyliśmy – jest uogólniane przez wzór Gaussa–Bonneta. Ponieważ
krzywizna powierzchni dwuwymiarowej jest własnością wewnętrzną,
Hopf szukał wewnętrznego dowodu i uogólnienia własnego rezultatu
z [16]. Robił to wielokrotnie i zainteresował paru matematyków tym
problemem. Książka [8] opisuje tę historię.
Używając teorii tub Hermanna Weyla, dwóch matematyków niezależnie odpowiedziało na apel Hopfa w 1940 roku. Allendoerfer [1]
i Fenchel [5] odkryli, że deg(g) brzegu otoczenia tubularnego zamkniętej
2n-wymiarowej rozmaitości zanurzonej w 2r-wymiarowej przestrzeni
euklidesowej równa się całce 2n-formy skonstruowanej ze składowych
tensora krzywizny Riemanna i połączonych jako pfaffian. (Zagadnienia
te są zbyt skomplikowane, by opisywać je tu szczegółowo.) Ponieważ
otoczenie tubularne ma taką samą liczbę Eulera–Poincarégo jak zanurzona w nim rozmaitość, otrzymali oni wzór na liczbę Eulera–Poincarégo
w terminach krzywizny Riemanna spełniony dla dowolnej rozmaitości riemannowskiej. Ten niezwykły wzór jest spełniony dla dowolnej
rozmaitości Riemanna, ponieważ każdą z nich można izometrycznie
Historia twierdzenia Gaussa–Bonneta i socjologia matematyki
73
zanurzyć w jakąś przestrzeń euklidesową. Jednakże ten ostatni rezultat
nie był znany aż do lat pięćdziesiątych, kiedy to został on dowiedziony
przez Nasha.
Pomimo, że wzór Allendoerfera–Fenchela jest prawdziwy dla zanurzonej rozmaitości, to jest on oczywiście niezależny od zanurzenia. Kiedy
proszony o wewnętrzny dowód, S. S. Chern dostarczył go w 1944 roku [4],
to został on tak dobrze przyjęty, że wzór Allendoerfera–Fenchela często
bywa nazywany wzorem (albo twierdzeniem) Gaussa–Bonneta–Cherna.
Faktycznie, jednym z celów książki Graya [8] było nie dopuścić, żeby
interesujące metody tuby nie zostały zupełnie zatopione przez silne
pojęcia dowodu Cherna.
SATZ VI. Przechodzimy teraz do najbardziej interesującej części historii. W 1956 roku Hopf wygłosił na Uniwersytecie Stanforda wykłady
z globalnej geometrii różniczkowej. Wykłady te uhonorowano przez opublikowanie ich w 1983 roku w Lecture Notes in Mathematics Springera
z numerem 1000 [17]. Na stronach 117–118 Hopf opisuje swoją wersję
twierdzenia Gaussa–Bonneta dla wymiarów parzystych. Nie wspomina
o wersji dla nieparzystych wymiarów. Z tego powodu i na skutek różnych
rozmów napisałem następujące trzy akapity.
Jest jasne, że w tym czasie Hopf nie wiedział, iż twierdzenie Gaussa–
–Bonneta jest prawdziwe dla wszystkich wymiarów, a co za tym idzie
jest uogólnieniem twierdzenia o 180 stopniach. W przeciwnym razie – jeśli
wiedział – to miał kłopot, jak je przedstawić. Hopf na pewno od wielu lat
znał wszystkie składniki dowodu we wszystkich wymiarach, a dowód jest tak
samo trudny, jak jego parzystowymiarowy odpowiednik. Wydawałoby się,
że gdyby znał wersję prawdziwą dla wszystkich wymiarów, to nie powinien
był szukać dowodu wewnętrznego, nie mając go w wymiarach nieparzystych.
Wtedy dwie bardzo owocne linie badań prawdopodobnie nie zostałyby
podjęte.
Jednakże paru topologów znało twierdzenie Gaussa–Bonneta–Hopfa
w połowie lat pięćdziesiątych, wśród nich Milnor i Lashof. Chyba nikt nie
wie, kto pierwszy sformułował to twierdzenie. W tym czasie prowadzone
były wyrafinowane uogólnienia i badania nad stopniem normalnym deg(γ),
na przykład [18] i [20]. Dopiero co Bredon w swoim podręczniku [2] po prostu
sformułował i dowiódł ten rezultat jako „Twierdzenie 12.11 (Lefschetz)”.
Wyprowadza on je jako wniosek z twierdzenia Lefschetza o punkcie stałym
odwzorowania.
Twierdzenie Gaussa–Bonneta–Hopfa zaistniało ostatecznie w literaturze
w 1960 roku dzięki Samelsonowi [22] i Haefligerowi [11], lecz w jeszcze ogólniejszej formie: Niech N będzie zwartą n-wymiarową rozmaitością z brzegiem
M i niech f : N → Rn będzie immersją. Wtedy nadal można określić odwzorowanie Gaussa γ : M → S n−1 oraz spełniony jest wzór deg(γ) = χ(N ).
74
D. H. Gottlieb
Po napisaniu tych słów otrzymałem list od Hansa Samelsona. We
wcześniejszej korespondencji pytałem go, czy wie, kto pierwszy odkrył
twierdzenie Gaussa–Bonneta–Hopfa. W końcu to on je uogólnił w [22],
a na dodatek jest znawcą twierdzenia Gaussa–Bonneta i był studentem
Heinza Hopfa!
Samelson sądził, że to Morse pierwszy je udowodnił. Nie mógł znaleźć
odnośnika i na wyczucie spojrzał do pracy Hopfa z roku 1927 [15].
Na 248 stronie tej pracy, jako Satz VI, sformułowane jest twierdzenie
Gaussa–Bonneta–Hopfa dla wszystkich wymiarów!
Świadectwem geniuszu Hopfa jest fakt, że mimo iż znał on Satz VI dla
wszystkich wymiarów, to świadomość, że parzystowymiarowy przypadek
był spełniony nie tylko dla zanurzenia, a również dla immersji (pojęcia
niezbyt wtedy dobrze rozróżniane), musiała doprowadzić go do przypuszczenia, że w parzystowymiarowym przypadku istnieje dowód wewnętrzny.
Odwzorowanie różniczkowalne między dwiema rozmaitościami tego
samego wymiaru jest immersją, jeśli jakobian odwzorowania nigdzie się
nie zeruje. Jest ono zanurzeniem, jeśli jest w dodatku różnowartościowe.
Stąd immersje są różnowartościowe w małym otoczeniu dowolnego punktu, podczas gdy zanurzenia są różnowartościowe w ogóle. To rozróżnienie
można rozszerzyć na odwzorowania rozmaitości dowolnych wymiarów.
Satz VI, to jest twierdzenie Gaussa–Bonneta–Hopfa, zostało dowiedzione tylko dla zanurzeń, podczas gdy Hopf wykazał w [14], że dla
parzystowymiarowej rozmaitości M , dla której istnieje immersja w przestrzeń euklidesową wymiaru o jeden wyższy niż wymiar M , prawdziwy
jest wzór deg(γ) = χ(M )/2. Nawiasem mówiąc, ponieważ M lokalnie
jest zanurzona w przestrzeni euklidesowej, to istnieje kierunek normalny,
zatem określone jest odwzorowanie Gaussa γ.
Różnicę między nieparzysto- i parzystowymiarowymi przypadkami
można łatwo zilustrować przykładem. Immersja okręgu w płaszczyznę
może mieć dowolny stopień normalny, ale immersja sfery dwuwymiarowej
w trójwymiarową przestrzeń musi mieć stopień normalny równy jedynce.
Tak więc dowód z [14] nie okazał się zbyteczny – pomimo, że Hopf
udowodnił Satz VI – w tym pierwszym bowiem dostrzegł i docenił wewnętrzność. Zatem swoją pracą [16] zainspirował geometrów do szukania wewnętrznego dowodu parzystowymiarowego twierdzenia Gaussa–
–Bonneta–Hopfa. Zadał również pytanie o możliwe stopnie normalne
immersji dla nieparzystowymiarowej M . Zaowocowało to piękną pracą
Milnora [20], a następnie [3], gdzie pokazano, że stopień normalny może
przybierać dowolne całkowite nieparzyste wartości.
Historia twierdzenia Gaussa–Bonneta i socjologia matematyki
75
stopień normalny = 0
stopień normalny = 2
stopień normalny = 1
stopień normalny = −1
Rysunek 7.
Niezadane pytanie. Spoglądając w przeszłość widzimy, że zadanie, jakie
postawił sobie Hopf, sprowadzało się do następującego: Znaleźć wzór
wyrażający χ(M ) w terminach tensora krzywizny dla parzystowymiarowej rozmaitości Riemanna. Bardziej sensowne byłoby zadanie: Znaleźć
wzór wyrażający deg(γ) we wszystkich wymiarach. Nikt go nie zadał.
Rozwiązanie jednakże zostało znalezione. Jest nim to, co nazwę topologicznym twierdzeniem Gaussa–Bonneta – w odróżnieniu od twierdzenia
Gaussa–Bonneta–Cherna.
To twierdzenie natychmiast pociąga za sobą dowód Satz VI, jak
również dowód immersyjngo przypadku parzystowymiarowej części dowodu z [14]. Dowód tego twierdzenia nie wymaga niczego, czego by nie
znano w 1929 roku. Jest całkowicie zewnętrzny. Gdyby Hopf odkrył ten
dowód, to wydaje się mało prawdopodobne, by rozpatrywał wewnętrzny
dowód z [14], zatem nie odkryto by tak szybko pewnej bardzo ważnej
matematyki. Co do wzoru Allendoerfera–Fenchela, znanego teraz jako
wzór Gaussa–Bonneta–Cherna, nie mógł zostać odkryty przypadkiem.
Jest na to zbyt skomplikowany. Szukali go bardzo utalentowani matematycy. Topologiczne twierdzenie Gaussa–Bonneta przeciwnie – jest
wystarczająco proste, by mogło zostać odkryte przypadkiem. I zostało!
Twierdzenie (topologiczne Gaussa–Bonneta). Niech f : N → Rn będzie odwzorowaniem, którego jakobian nie zeruje się na zorientowanej
rozmaitości M będącej brzegiem n-wymiarowej rozmaitości N . Niech
ponadto x będzie rzutowaniem z Rn na którąś z osi oraz ∇(x ◦ f ) będzie
76
D. H. Gottlieb
gradientowym polem wektorowym złożenia (x ◦ f ), a Ind jego indeksem.
Wówczas
deg(γ) = χ(N ) − Ind(∇(x ◦ f )).
Fakt, że jakobian odwzorowania f nie zeruje się na brzegu M , oczywiście oznacza, że f jest immersją na M . Ponieważ złożenie (x ◦ f ) jest
odwzorowaniem z N do prostej rzeczywistej R, to w znany z analizy
matematycznej sposób można dla niego zdefiniować pole gradientowe,
które jest polem wektorowym na N . Indeks pola wektorowego – nowe
pojęcie w tym artykule – jest kolejnym niezmiennikiem topologicznym
antycypującym początki topologii algebraicznej. Dla dwuwymiarowych
pól wektorowych zdefiniował go Poincaré pod koniec dziewiętnastego
wieku. Hopf uogólnił indeks pola wektorowego dla rozmaitości dowolnego
wymiaru i użył tego pojęcia w swoich dowodach twierdzenia Gaussa–
–Bonneta–Hopfa w [14] i [15].
Indeks pola wektorowego V jest liczbą całkowitą. Jest on ściśle związany ze stopniem odwzorowania, jednak został zdefiniowany wcześniej niż
to pojęcie. W odróżnieniu od stopnia odwzorowania, najlepsza definicja
indeksu niekoniecznie wymaga teorii homologii. W istocie, można go
zdefiniować przy pomocy prostej tożsamości. W 1929 roku Morse [21]
odkrył piękne równanie, w którym występuje indeks pola wektorowego V
na zwartej rozmaitości N z brzegiem M . Równanie to nazywam prawem
pól wektorowych.
Twierdzenie (prawo pól wektorowych). Niech V będzie polem wektorowym określonym na N , i przypuśćmy, że V nie zeruje się na brzegu
M . Wtedy Ind V + Ind ∂ V = χ(N ), gdzie ∂ V jest polem wektorowym
indukowanym przez V i określonym na tej części brzegu M , na której V
skierowane jest do wnętrza.
Pole wektorowe ∂ V jest indukowane przez V przez wzięcie składowej pola wektorowego V stycznej do brzegu. Ponieważ ∂ V jest
zdefiniowane na przestrzeni wymiaru o jeden niższego – części brzegu
M rozmaitości N – indukcyjny schemat obliczania indeksu nasuwa się
sam. Istotnie, prawo pól wektorowych jest indukcyjną definicją indeksu pól wektorowych [9]. Jest to elementarna, ale zręczna topologia.
Niemniej cała teoria Ind(V ) wysnuwa się z prostego równania postaci
A plus B równa się C. To równanie jest kluczem do ostatniej części
tej opowieści.
Wśród konsekwencji łatwo wynikających z prawa pól wektorowych
są dwie dobrze znane własności indeksu, które w połączeniu z topologicz-
Historia twierdzenia Gaussa–Bonneta i socjologia matematyki
77
nym twierdzeniem Gaussa–Bonneta dają wszystkie poprzednie globalne
rezultaty mające w nazwie nazwiska Gaussa i Bonneta:
1. Jeśli V jest polem wektorowym bez zer, to Ind V = 0.
2. Jeśli V jest polem wektorowym na nieparzystowymiarowej rozmaitości, wtedy Ind(−V ) = − Ind(V ), gdzie −V jest polem wektorowym,
w którym każdy wektor V ma zmieniony znak.
Twierdzenie Gaussa–Bonneta–Hopfa wynika natychmiast z pierwszej
własności, gdyż jeśli f jest zanurzeniem, wówczas pole wektorowe ∇(x◦f )
jest równe po prostu ∇x, to jest stałemu polu wektorowemu równoległemu do osi x, ograniczonemu do N . Nie ma ono miejsc zerowych, więc
stosując topologiczne twierdzenie Gaussa–Bonneta z indeksem zero dostajemy twierdzenie Gaussa–Bonneta–Hopfa. Jeśli f jest immersją, to pole
wektorowe ∇(x ◦ f ) nadal nie ma miejsc zerowych (ponieważ x ◦ f nie ma
punktów krytycznych). Otrzymujemy więc uogólnienie Samelsona i Haefligera twierdzenia Gaussa–Bonneta–Hopfa z zanurzeń na immersje.
Z drugiej strony, pierwsza wersja Hopfa w [14] mówiąca, że dla
parzystowymiarowej rozmaitości M mającej immersję w Rn+1 mamy
deg(γ) = χ(M )/2, wynika z własności numer 2. Jeśli w topologicznym twierdzeniu Gaussa–Bonneta oś x wybierzemy tak, by zmieniła
zwrot, odwracamy kierunek pola gradientowego. Pozostałe dwa składniki
w topologicznym twierdzeniu Gaussa–Bonneta na pewno nie zależą od
tego, w którą stronę skierowana jest oś x. Mamy więc Ind(∇(x ◦ f )) = 0.
Stąd deg(γ) = χ(N ) = χ(M )/2. Ostatnia równość wynika stąd, że
liczba Eulera–Poincarégo dla parzystowymiarowego brzegu M jest
dwa razy większa niż liczba Eulera–Poincarégo rozmaitości, której
jest brzegiem.
Pozostaje do wyjaśnienia jeden punkt. Czy każda orientowalna rozmaitość M mająca immersję w przestrzeń euklidesową kowymiaru jeden
jest brzegiem rozmaitości N takiej, że tę immersję można rozszerzyć do
jakiegoś f ? Odpowiedź jest pozytywna. Muszę jednak przyznać, że moje
uzasadnienie tego faktu było natychmiastowym wnioskiem ze sławnego
wyniku Thoma dotyczącego teorii bordyzmu i liczb Stiefela–Whitneya,
które pojawiły się w latach pięćdziesiątych.
Przypadkowe odkrycie. Prawo pól wektorowych zostało odkryte przez
Morse’a w 1929 roku [21]. Mimo interesującego podobieństwa z Satz VI,
Morse rzadko odnosił się do tego rezultatu ani nie wykorzystał jego
możliwości. Być może dlatego, że wymyślał teorię Morse’a; a może
podświadomie – jak wielu topologów – był przekonany, że wszystkie pola
wektorowe są gradientowe. W każdym razie tego rezultatu nie wyko-
78
D. H. Gottlieb
rzystano i praktycznie o nim zapomniano. Gdy odkryłem go na nowo
w latach osiemdziesiątych, to prawie rok rozpytywałem, zanim ktoś
powiedział mi o pracy [21].
Zakończenie. Dziesięć lat temu podzielałem powszechne mylne wyobrażenie o tym, jak powstaje matematyka. Nie znałem lekcji wynikającej z tej
opowieści. Byłem więc wstrząśnięty odkrywając, że większość topologów
nie zna związków, które uważam za podstawowe, spełnianych przez
dwa klasyczne topologiczne pojęcia: indeksu i liczby Eulera–Poincarégo.
Pomyślałem, że być może istnieją jakieś nieznane interesujące wnioski
z prawa pól wektorowych.
Wymyśliłem prosty schemat próbowania i stosowania prawa pól
wektorowych. Patrzyłem na interesujące pola wektorowe i stosowałem
do nich równanie. Miewałem pewne sukcesy przy różnych wyborach.
Gdy zastosowałem je do czegoś, co nazwałem cofniętym polem wektorowym (ang. pullback vector field ), które uogólnia gradient, otrzymałem
równanie obejmujące stopień normalny i liczbę Eulera–Poincarégo [6, 7].
Trochę potrwało, zanim przyszło mi do głowy, że uogólniłem twierdzenie
Gaussa–Bonneta. Uproszczona wersja tego rezultatu jest topologicznym
twierdzeniem Gaussa–Bonneta, jak podano powyżej. Jedynym uproszczeniem jest to, że otrzymałem ten rezultat dla pól gradientowych, a to
pojęcie jest dobrze znane z rachunku różniczkowego. W istocie jednak
cofnięte pola wektorowe mogą być nawet łatwiejsze niż gradienty.
Wnioski. Mandelbrot, proponując nazwę „fraktale” skarżył się, że matematycy nie nadają nazw pojęciom i twierdzeniom. Miał rację. W najgłębszym sensie, ta historia toczy się wokół nazywania twierdzeń i krzywizn.
Ale pokazuje ona również, że liczne z powszechnych przekonań, z którymi dorastaliśmy, bywają błędne; że wielcy ludzie nie pomijają prostych
punktów widzenia; że nie można osiągnąć wielkich rezultatów przy zastosowaniu starych metod; że nie można odkryć czegoś dobrego, o ile się nie
zada właściwego pytania; że matematyka rozwija się głównie dzięki wysiłkowi kilku wybitnych matematyków (to szczególne błędne wyobrażenie
historycy nauk ścisłych nazywają efektem Mateusza). Wydaje mi się że
to, co przytrafiło się twierdzeniu Gaussa–Bonneta przytrafiało się bardzo
często najlepszym z naszych matematycznych pomysłów. Wydaje się, że
nikt nie wie, kto wynalazł współrzędne kartezjańskie, albo kto pierwszy
pomyślał o wyżej wymiarowych przestrzeniach. Wielkim matematykom
zdarzało się lekceważyć idee, które później zakwitły i zdominowały
matematykę. Pojęcia z obecnego punktu widzenia wyglądające na łatwe,
bywały trudne do przyswojenia przez naszych wielkich poprzedników.
Historia twierdzenia Gaussa–Bonneta i socjologia matematyki
79
To, co wydaje się teraz być trywialnym, było kiedyś najtrudniejszą
częścią matematyki: nieskończoność, prędkość i przyśpieszenie, dowolne
aksjomaty, grupy abstrakcyjne, funkcje.
Ostatecznie, ta historia pokazuje, że matematyczne wyzwania mogą
mieć wielkie i dobre następstwa dla rozwoju matematyki, nawet jeśli
opierają się na błędnych przesłankach.
Jako zastosowanie tej ostatniej lekcji podejmę matematyczno-historyczne wyzwanie. Zgódźmy się, że jedno twierdzenie jest uogólnieniem drugiego twierdzenia, jeśli to drugie ma krótki dowód, wynikający
w dominującej części z pierwszego. W takim razie proponuję Punktację
Historycznej Sławy dowolnego twierdzenia: P ·H ·S jest iloczynem trzech
liczb P , H, i S.
H jest procentem historii matematyki nieodkrytej między momentem,
gdy został dowiedziony pierwszy interesujący szczególny przypadek a momentem, gdy zostało dowiedzione jego uogólnienie. Za początek historii
matematyki zostanie uznany rok 300 przed Chr. na cześć Euklidesa,
wobec niedostępności dokładnych wcześniejszych dat.
P jest procentem matematyków, którzy znają najsławniejszy szczególny przypadek uogólnienia twierdzenia.
S jest procentem rezultatów ściśle się wiążących z tematem uogólnianego twierdzenia, który otrzymuje nowe dowody, albo nowy wgląd,
albo nowe wnioski z uogólnianego twierdzenia.
Maksymalny wynik jest równy milion.
Oceniam, że topologiczne twierdzenie Gaussa–Bonneta otrzymuje
maksymalny wynik. Wyzwaniem jest znalezienie uogólnień z porównywalnymi wynikami.
Bibliografia
[1] C. B. Allendoerfer, The Euler Number of a Riemannian manifold, Amer.
J. Math. 62 (1940), 243–248.
[2] G. E. Bredon, Topology and Geometry, Graduate Text in Mathematics,
New York, 1993.
[3] G. E. Bredon, A. Kosinski, Vector fields on Π-manifolds, Annals of Math.
84 (1966), 85–90.
[4] S. S. Chern, A simple intrinsic proof of the Gauss–Bonnet theorem for
closed Riemannian manifolds, Annals of Math. 45 (1944), 747–752.
[5] W. Fenchel, On the total curvature of Riemannian manifolds, I, J. London
Math. Soc. 15 (1940), 15–22.
[6] D. H. Gottlieb, On the index of pullback vector fields, Lecture Notes in
Mathematics, vol. 1350, Springer–Verlag, 1987.
80
D. H. Gottlieb
[7] D. H. Gottlieb, Zeroes of pullback vector fields and fixed point theory for
bodies, Contemporary Mathematics 96 (1989), 163–179.
[8] A. Gray, Tubes, Addison–Wesley, Redwood City California, 1990.
[9] D. H. Gottlieb, G. Samaranayake, Index of discontinuous vector fields,
New York J. Math. 1 (1994/95), 130–148.
[10] B. Grünbaum, G. C. Shephard, A new look at Euler’s Theorem for polyhedra, Amer. Math. Monthly 101 (1994), 109–128.
[11] A. Haefliger, Quelques remarques sur les applications differentiables d’une
surface dans le plan, Ann. Inst. Fourier 10 (1960), 47–60.
[12] P. J. Hilton, J. Pederson, Euler’s Theorem for polyhedra: A Topologist and
a Geometer respond, Amer. Math. Monthly 101 (1994), 959–962.
[13] M. W. Hirsch, Differential Topology, Springer–Verlag, New York, 1976.
[14] H. Hopf, Über die Curvatura integra geschlossener Hyperflächen, Math.
Ann. 95 (1925), 340–376.
[15] H. Hopf, Vektorfelder in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, Math. Ann.
96 (1927), 225–250.
[16] H. Hopf, Differential Geometrie und Topological Gestalt, Jahresbericht der
Deutcher Math. Verein. 41 (1932), 209–229.
[17] H. Hopf, Differential Geometry in the Large: Seminar Lectures NYU 1946
and Stanford 1956, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1000, Springer
Verlag, 1983.
[18] M. E. Kervaire, Courbure integrale generalisee et homotopie, Math. Ann.
131 (1956), 219–252.
[19] I. Lakatos, Proofs and Refutations: The Logic of Mathematical Discovery,
Cambridge University Press, Cambridge, 1976.
[20] J. W. Milnor, On the immersion of n-manifolds in (n + 1)-dimensional
space, Commentarii Math. Helvetici 30 (1956), 275–284.
[21] M. Morse, Singular points of vector fields under general boundary conditions, Amer. J. Math 51 (1929), 165–178.
[22] H. Samelson, On immersion of manifolds, Canadian J. Math. 12 (1960),
529–534.
[23] H. Samelson, Descartes and Differential Geometry, in: Geometry, Topology,
and Physics for Raoul Bott (S. T. Yau, ed.), International Press, Boston,
1995.
[24] J. Stillwell, Mathematics and its History, Springer–Verlag, New York, 1974.
[25] M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, 2nd
ed., vol. 1–5, Publish or Perish, Houston, 1979.
Daniel Henry Gottlieb
Department of Mathematics
Purdue University
[email protected]