Chłopiec dla mamy

XXXIII OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III
Zadanie teoretyczne
ZADANIE T1
Nazwa zadania:
Przez dwa koła o promieniach R, momentach bezwładności B i o osiach
odległych o l przerzucono poziomo pas transportera o masie m ryc. 1. W punkcie P
stanął chłopiec o masie M, który w pewnej chwili rozpoczął marsz w kierunku punktu
Q z prędkością υ względem transportera.
Czy chłopiec ten osiągnie punkt Q, a jeżeli tak, to po jakim czasie?
Zakładamy, że pas nie ślizga się po kołach, że zginanie pasa na kołach nie jest
stowarzyszone z dyssypacją energii i że koła mogą obracać się wokół swych osi bez
żadnych oporów.
ROZWIAZANIE ZADANIA T1
Oznaczmy prędkość chłopca (w układzie związanym z ziemią) przez υ c a
1
2
prędkość transportera przez υ t . Prędkość kątowa rolek wynosi E c = Mυ c ,
2
natomiast energia kinetyczna transportera wraz z rolkami jest równa
B 
m
Et =  + 2 ⋅ 2 υ t2 .
2R 
2
Rozpatrzmy bardzo krótki przedział ∆t zawarty w krótkim odstępie czasu,
w którym zachodzi oddziaływanie między chłopcem a transporterem (zlokalizowane
między dolną częścią buta a pasem). Na chłopca działa siła F przenoszona przez
mięśnie na jego środek masy, a na transporter siła − F . Siły te wykonują prace
zwiększające energie kinetyczne
Pr aca = F ⋅ ∆x = F ⋅ (υ∆t )
stałą.
Mamy
Zbadajmy teraz przyrost wielkości E danej zależnością E = αυ 2 , gdzie α jest
2
2
∆E = α (υ + ∆υ ) − αυ 2 = 2αυ∆υ + α ( ∆υ ) .
Dla bardzo krótkiego przedziału czasu ∆υ też jest bardzo małe i wyraz z ( ∆υ ) 2 można
pominąć.
Mamy więc
(
)
∆ αυ 2 ≈ 2αυ∆υ
Zapiszemy teraz bilans energii dla chłopca (wskaźnik c) i transportera
(wskaźnik t).
Mamy
∆x c ⋅ F = υ c ∆tF = Mυ c ∆υ c ,
Stąd
2B 

∆xt ⋅ ( − F ) = υ t ∆t ( − F ) =  m + 2 υ t ∆υ t .
R 

∆tF = M∆υ c ,
2B 

∆t( − F ) =  m + 2 ∆υ t .
R 

Po dodaniu stronami otrzymujemy
2B 

2B  


0 = M∆υ c +  m + 2 ∆υ t = ∆ Mυ c +  m + 2 υ t 
R 
R  



dla każdego ∆t.
Wynika stąd, że dla każdego t mamy:
2B 

Mυ c +  m + 2 υ t = const.
R 

Jest to obowiązująca w rozważanym układzie zasada zachowania. Matematycznie
jest ona podobna do zasady zachowania pędu na przykład w układzie chłopiec +
łódka.
Ze względu na warunki początkowe układu „const” w ostatnim wzorze jest
równa zeru.
Zatem
υt = −υ c
M
2B .
m+ 2
R
Prędkość względna chłopca względem transportera
υ = υ c − υt ,
a więc








M
M
 = υ c 1 +
υ = υc −  − υc
.
2B 
2 B 


m
+
m
+




R2 
R 2 
Z treści zadania znamy υ . Widzimy, że prędkość chłopca względem ziemi υ c
jest mniejsza niż względem transportera υ , ale ma ten sam zwrot. Wobec tego
chłopiec na pewno dojdzie do punktu Q.
Potrzebny na to czas T wynosi



1 1
M 
T=
= 1 +
.
υc υ  m + 2B 

R 2 
Źródło:
Zadanie pochodzi z „Druk OF”
Komitet Okręgowy Olimpiady Fizycznej w Szczecinie
www.of.szc.pl