6. Twierdzenie Eulera

ARYTMETYKA MODULARNA
Grzegorz Szkibiel
Wiosna 2014/15
Spis tre±ci
1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci
3
2 Systemy pozycyjne
8
3 Elementy odwrotne
12
4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
17
5 Maªe Twierdzenie Fermata
20
6 Twierdzenie Eulera
23
7 Twierdzenie Lagrange'a
26
8 Chi«skie Twierdzenie o Resztach
29
9 RSA i gra w orªa i reszk¦ przez telefon
34
10 Kongruencje wy»szych stopni
38
11 Liczby pseudopierwsze
44
12 Pierwiastki pierwotne
49
13 Istnienie pierwiastków pierwotnych
53
14 Logarytm dyskretny
58
15 Pewne zastosowania pierwiastków pierwotnych
61
2
Wykªad 6
Twierdzenie Eulera
Jak ju» zauwa»yli±my (tw. 3.5), liczba a jest odwracalna modulo n wtedy i
tylko wtedy, gdy NWD(a, n) = 1. Funkcja ϕ, która przyporz¡dkowuje ka»dej
liczbie naturalnej n, ilo±¢ dodatnich i niewi¦kszych od n liczb odwracalnych
modulo n nazywamy funkcj¡ Eulera. Zatem
ϕ(n) = # {0 < x ≤ n : NWD(x, n) = 1} .
6.1 Przykªad. ϕ(8) = 4,
poniewa» tylko liczby nieparzyste s¡ wzgl¦dnie
pierwsze z 8 oraz 8 nie ma dzielników nieparzystych. Je±li p jest liczb¡ pierwsz¡, to ϕ(p) = p − 1, gdy» ka»da liczba dodatnia mniejsza od p jest wzgl¦dnie
pierwsza z p. Je»eli pr jest pot¦g¡ liczby pierwszej, to jedynymi liczbami,
które nie s¡ wzgl¦dnie pierwsze z pr , s¡ wielokrotno±ci p, czyli liczby p, 2p,
3p, . . . , (pr−1 − 1)p. Tych liczb jest w sumie pr−1 − 1, zatem
r
r
ϕ(p ) = p − 1 − (p
r−1
r
− 1) = p − p
r−1
=p
r
1
1−
p
.
(6.1)
Poka»emy, »e przy pewnym zaªo»eniu, ϕ jest funkcj¡ multyplikatywn¡.
Pozwoli nam to wyprowadzi¢ do±¢ por¦czny wzór na warto±ci ϕ uogólniaj¡cy (6.1).
6.2 Twierdzenie.
(m, n) = 1,
Je±li NWD
to
ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
Zauwa»my najpierw, »e je±li jedna z liczb m, n jest równa 1, to teza
jest prawdziwa. Mo»emy zatem zaªo»y¢, »e m > 1 i n > 1. Wypiszmy
Dowód.
23
wszystkie liczby niewi¦ksze od mn w nast¦puj¡cy sposób:
1,
2,
n + 1,
n + 2,
2n + 1,
2n + 2,
. . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . .,
(m − 1)n + 1, (m − 1)n + 2,
...,
r,
...,
n + r,
...,
2n + r,
..., ............ ,
. . . , (m − 1)n + r,
...,
n,
. . . , 2n,
. . . , 3n,
..., ...,
. . . , mn.
(6.2)
Zauwa»my, »e liczby ka»dej z kolumn tablicy (6.2) ró»ni¡ si¦ modulo m od
liczb 1, 2, . . . , m − 1 tylko porz¡dkiem. Istotnie, je±li istniej¡ liczby q1 , q2 ,
oraz r, takie »e q1 n + r ≡ q2 n + r (mod m), to poniewa» m i n s¡ wzgl¦dnie
pierwsze, wi¦c z ostatniej kongruencji wynika q1 ≡ q2 (mod m) (tw. 3.1). Ale
poniewa» q1 i q2 s¡ nieujemnymi liczbami mniejszymi od m, wi¦c q1 = q2 .
Znacznie ªatwiej jest zauwa»y¢, »e w ka»dym wierszu tablicy (6.2) mamy
liczby przystaj¡ce modulo n, odpowiednio, do 1, 2, . . . , n − 1, 0.
Tak wi¦c w ka»dym wierszu jest ϕ(n) liczb wzgl¦dnie pierwszych z n, a
w ka»dej kolumnie jest ϕ(m) liczb wzgl¦dnie pierwszych z m. Co wi¦cej,
zauwa»my, »e je»eli w pewnej kolumnie (6.2) mamy liczb¦, która nie jest
wzgl¦dnie pierwsza z n, to wszystkie liczby tej kolumny nie s¡ wzgl¦dnie
pierwsze z n. Z drugiej strony, je±li jaka± liczba jest wzgl¦dnie pierwsza z
mn, to jest ona wzgl¦dnie pierwsza z m i wzgl¦dnie pierwsza z n. Wykre±lmy
zatem z (6.2) wszystkie liczby, które nie s¡ wzgl¦dnie pierwsze z mn. Wówczas w ka»dym wierszu pozostanie nam ϕ(n) liczb, przy czym wykre±limy
caªe kolumny. Pozostanie wi¦c ϕ(n) kolumn z ϕ(m) liczb w ka»dej z nich.
Zatem ϕ(mn) = ϕ(n)ϕ(m).
Q k αi
Rozwa»my liczb¦ n =
i=1 pi . Poniewa» wszystkie czynniki w tym
iloczynie s¡ parami wzgl¦dnie pierwsze, wi¦c po zastosowaniu twierdzenia 6.2,
dostajemy
ϕ(n) =
k
Y
i=1
k
Y
ϕ (pαi i )
1
=
1−
pi
i=1
k Y
1
=n
1−
pi
i=1
pαi i
Udowodnili±my wi¦c nast¦puj¡cy wniosek.
24
6.3 Wniosek.
Je±li
n=
Qk
αi
i=1 pi ,
to
ϕ(n) = n
Qk i=1 1 −
1
pi
.
U»ywaj¡c wniosku 6.3, dostajemy
ϕ(29 · 52 ) = (29 − 1)(25 − 5) = 560.
Poniewa» ró»nica pk − pk−1 jest liczb¡ parzyst¡, z wyj¡tkiem przypadku gdy
p = 2 oraz k = 1, wi¦c jedyn¡ nieparzyst¡ warto±ci¡ funkcji ϕ jest 1, która
jest przyjmowana dla argumentów 1 oraz 2. Dla liczb wi¦kszych od 3, funkcja Eulera przyjmuje tylko warto±ci parzyste. Co wi¦cej, je±li w rozkªadzie
liczby n wyst¦puje dokªadnie k pot¦g liczb pierwszych, to 2k−1 | ϕ(n).
6.4 Przykªad.
Znajdziemy wszystkie liczby n, dla których ϕ(n) = 6. W
tym celu rozwa»ymy kilka przypadków.
• n = pα . Zatem 6 = pα−1 (p − 1). Rozwa»aj¡c kolejne liczby pierwsze,
zauwa»amy, »e n = 32 = 9, lub n = 7.
• n = pα q β . Wówczas 6 = (pα − pα−1 )(q β − q β−1 ). Zauwa»my, »e ró»nica
dwóch kolejnych pot¦g »adnej liczby pierwszej nie jest równa 3, wi¦c
jedna z liczb pα − pα−1 , q β − q β−1 musi by¢ równa 1, czyli p = 2, a
druga 6. Rozwa»aj¡c kolejne liczby pierwsze jako kandydatki na q ,
otrzymujemy n = 2 · 32 = 18 lub n = 2 · 7 = 14.
• Z uwagi umieszczonej tu» przed przykªadem, wynika, »e n nie mo»e by¢
iloczynem wi¦cej ni» dwóch pot¦g liczb pierwszych.
U»ywaj¡c funkcji Eulera ϕ, sformuªujemy i udowodnimy uogólnienie Maªego Twierdzenia Fermata. Zauwa»my przy tym, »e je±li NWD(a, n) 6= 1, to
ak 6≡ 1 (mod n) dla »adnego k > 1. Istotnie, gdyby tak byªo, to n byªaby
dzielnikiem ak −1, czyli istniaªaby liczba caªkowita x, taka »e xn+a·ak−1 = 1.
Z lematu 3.4 wynika zatem, »e NWD(a, n) = 1, sk¡d sprzeczno±¢. Tak wi¦c,
aby otrzyma¢ kongruencj¦, w której pot¦ga a przystaje do 1, nale»y rozwa»a¢
tylko te liczby a, które s¡ wzgl¦dnie pierwsze z n. Je±li n jest liczb¡ pierwsz¡,
to sprowadza si¦ to do liczb, które nie s¡ podzielne przez n, st¡d zaªo»enia
drugiej cz¦±ci MTF. Zauwa»my, »e owa druga cz¦±¢ MTF jest zawarta w
nast¦puj¡cym twierdzeniu.
6.5 Twierdzenie
witej
a
oraz
n > 2.
(Eulera ).
(a, n) = 1
Przypu±¢my, »e NWD
dla liczby caªko-
Wówczas
aϕ(n) ≡ 1
25
(mod n)
(6.3)
Wypiszmy wszystkie elementy odwracalne modulo n, które s¡ dodatnie i mniejsze od n. S¡ to r1 , r2 . . . , rϕ(n) . Skoro a jest odwracalna
modulo n, wi¦c tak»e elementy ar1 , ar2 . . . , arϕ(n) s¡ odwracalne modulo n,
oraz »adne dwa z nich nie s¡ równe. Zatem
Dowód.
r1 r2 . . . rϕ(n) ≡ ar1 ar2 . . . arϕ(n)
(mod n).
Korzystaj¡c z prawa przemienno±ci mno»enia dostajemy
aϕ(n) (r1 r2 . . . rϕ(n) ) ≡ (r1 r2 . . . rϕ(n) )
(mod n).
Ostatnia kongruencja implikuje (6.3).
Dla przykªadu, znajdziemy ostatni¡ cyfr¦ liczby 31234 w ukªadzie szestnastkowym. Mamy tu ϕ(16) = 8, a 1234 ≡ 2 (mod 8). Zatem 31234 ≡ 9
(mod 16) i ostatni¡ cyfr¡ jest 9.
Okazuje si¦, »e najni»sza pot¦ga liczby a w Twierdzeniu Eulera jest cz¦sto
mniejsza ni» ϕ(n). Na przykªad ϕ(105) = 48, ale dla a wzgl¦dnie pierwszych
ze 105 mamy a12 ≡ 1 (mod 105). Istotnie, 105 = 3 · 5 · 7 oraz
a6 − 1 | a12 − 1
a4 | a12 − 1
a2 − 1 | a12 − 1,
wi¦c z Maªego Twierdzenia Fermata, 105 | a12 − 1. Poni»sze twierdzenie
pokazuje jak ulepszy¢ pot¦g¦ a.
6.6 Twierdzenie.
m = pα1 1 pα2 2 . . . pαk k , gdzie wszystkie liczby
αi
jest najwi¦ksz¡ poteg¡ liczby pi , która dzieli m.
pierwsze pi s¡ ró»ne i pi
αk
α1
α2
n
Niech n = NWW(ϕ (p1 ) , ϕ (p2 ) , . . . , ϕ (pk )). Wtedy mamy a ≡ 1 (mod m)
dla ka»dego
a
Przypu±¢my, »e
wzgl¦dnie pierwszego z
m.
αi
Z twierdzenia Eulera wynika aϕ(pi ) ≡ 1 (mod pαi i ) dla ka»dego i ∈
{1, 2, . . . , k}. Mno»¡c t¦ kongruencj¦ stronami przez siebie n/ϕ(pαi i ) razy
otrzymujemy an ≡ 1 (mod pαi i ) dla ka»dego i. St¡d bezpo±rednio wynika,
»e dla dowolnego i mamy pαi i | an − 1. Zatem i m | an − 1, a to nam daje
tez¦.
Dowód.
Wracaj¡c do uwagi przed twierdzeniem 6.6, zauwa»my, »e 105 = 3 · 5 · 7
oraz 12 = NWW(ϕ(3), ϕ(5), ϕ(7)) = NWW(2, 4, 6).
26