rachunek zdań

Rachunek zda«
1
Przykªady zda« w matematyce
Zdania prawdziwe:
1 = 1 ,
+
• 1
3
6
2
3|6,
√
2 6∈ Q,
• Je±li x = 1, to x2 = 1 (x oznacza dan¡ liczb¦ rzeczywist¡),
• Je±li a2 + b2 = c2, to trójk¡t o bokach dªugo±ci a, b, c jest
prostok¡tny (a, b, c oznaczaj¡ dane liczby dodatnie),
Zdania faªszywe: 2 + 2
√
= 5, 2 ∈ Q, Q ⊂ Z.
2
Pytanie. Czy prawdziwe jest zdanie:
Je±li trójk¡t o bokach dªugo±ci
a, b, c jest prostok¡tny, to
a2 + b2 = c2?
(a,
b, c dane liczby dodatnie)
3
Zdanie posiadaj¡ce jedn¡ z dwóch warto±ci logicznych: prawda
lub faªsz, nazywamy zdaniem logicznym.
Zdania logiczne oznaczamy literami
p, q , r , . . . .
Zªo»one zdania logiczne s¡ zbudowane z innych zda« logicznych za pomoc¡ spójników logicznych: jednoargumentowego
∼ i dwuargumentowych ∨, ∧, ⇒, ⇔, Y.
4
Negacja
∼ p nie p, nieprawda, »e p negacja zdania p
Zdanie
∼ p jest:
prawdziwe, gdy
faªszywe, gdy
p jest faªszywe,
p jest prawdziwe.
Przykªad: 1 nie jest liczb¡ pierwsz¡,
dokªadniej: nieprawda, »e
1 jest liczb¡ pierwsz¡.
Zdanie ∼ p jest negacj¡ zdania p: 1 jest liczb¡ pierwsz¡.
5
Koniunkcja
p ∧ q p i q koniunkcja zda« p i q
Zdanie
p ∧ q jest:
prawdziwe, gdy oba zdania
p i q s¡ prawdziwe,
faªszywe, gdy co najmniej jedno ze zda« p i q jest faªszywe.
Przykªad: 2 jest liczb¡ pierwsz¡ i parzyst¡,
dokªadniej: 2 jest liczb¡ pierwsz¡ i
2 jest liczb¡ parzyst¡.
Jest to koniunkcja
p ∧ q , gdzie
p oznacza zdanie 2 jest liczb¡ pierwsz¡,
a q oznacza zdanie 2 jest liczb¡ parzyst¡.
6
Alternatywa
p ∨ q p lub q alternatywa zda« p i q
Zdanie
p ∨ q jest:
prawdziwe, gdy co najmniej jedno ze zda«
faªszywe, gdy oba zdania
p i q jest prawdziwe,
p i q s¡ faªszywe.
Przykªad. Wybierzmy pewn¡ liczb¦ caªkowit¡ x i rozwa»my zdanie: x
< 1 lub x > −1.
Jest to alternatywa p ∨ q , gdzie p oznacza zdanie x < 1, a q
oznacza zdanie x > −1.
W przypadku x = 0 oba zdania s¡ prawdziwe i alterantywa te»
jest zdaniem prawdziwym.
7
Alternatywa rozª¡czna
p Y q p albo q alternatywa rozª¡czna zda« p i q
Zdanie
p Y q jest:
prawdziwe, gdy jedno ze zda«
p, q jest prawdziwe, a drugie
faªszywe,
faªszywe, gdy oba zdania
p i q s¡ jednocze±nie prawdziwe lub
jednocze±nie faªszywe.
Przykªad. Rozwa»my dwie (ró»ne) proste na pªaszczy¹nie. Mówimy: Dane proste si¦ przecinaj¡ albo s¡ równolegªe. Jest to
alternatywa rozª¡czna
si¦ przecinaj¡, a
p Y q , gdzie p oznacza zdanie Dane proste
q oznacza zdanie Dane proste s¡ równolegªe.
8
Alternatywy rozª¡cznej (w zdaniu prawdziwym) u»ywamy, gdy
chcemy podkre±li¢, »e oba zdania nie mog¡ jednocze±nie by¢
prawdziwe.
Uwaga. Je±li zdanie p Y q jest prawdziwe, to zdanie p ∨ q te» jest
prawdziwe, np.: Dane proste si¦ przecinaj¡ lub s¡ równolegªe.
Je±li zdanie
p ∨ q jest prawdziwe, to zdanie p Y q nie musi by¢
prawdziwe, np.: 0 < 1 albo 0 > −1.
9
Równowa»no±¢
p ⇔ q p wtedy i tylko wtedy, gdy q , p dokªadnie wtedy, gdy
q równowa»no±¢ zda« p i q .
Zdanie
p ⇔ q jest:
prawdziwe, gdy oba zdania
p i q s¡ jednocze±nie prawdziwe lub
jednocze±nie faªszywe,
faªszywe, gdy jedno ze zda«
p, q jest prawdziwe, a drugie faª-
szywe.
Przykªad. Rozwa»my czworok¡t wypukªy ABCD . Zdanie: Czworok¡t
ABCD jest opisany na okr¦gu wtedy i tylko wtedy, gdy
AB + CD = AD + BC jest równowa»no±ci¡ zda« p: Czworok¡t
ABCD jest opisany na okr¦gu i q : AB + CD = AD + BC .
10
Implikacja
p ⇒ q je±li p, to q , p implikuje q implikacja o poprzedniku
p i nast¦pniku q
Jak okre±lamy warto±¢ logiczn¡ implikacji?
11
= 1 ⇒ x2 = 1 jest prawdziwe dla ka»dej liczby rzeczywistej x. Zwró¢my uwag¦ na warto±¢ logiczn¡
Przykªad.
Zdanie x
poprzednika oraz nast¦pnika tej implikacji dla poszczególnych
warto±ci
x.
x
dla x = 1
dla x = 0
dla x = −1
= 1 x2 = 1 prawda
faªsz
faªsz
prawda
faªsz
prawda
12
Prawdziwo±¢ implikacji oznacza, »e je±li zdanie
to zdanie
to
p jest prawdziwe,
q te» musi by¢ prawdziwe (a je±li p nie jest prawdziwe,
q mo»e by¢ jakiekolwiek).
Zdanie
p ⇒ q jest:
prawdziwe, gdy oba zdania s¡ prawdziwe, gdy oba zdania s¡
faªszywe oraz gdy zdanie
p jest faªszywe, a zdanie q jest praw-
dziwe,
faªszywe, gdy zdanie
p jest prawdziwe, a zdanie q jest faªszywe.
13
Przy zapisywaniu bardziej skomplikowanych zda« logicznych u»ywamy nawiasów, np.:
∼ (∼ p), (p ∧ q) ∨ r, (p ⇒ q)∧ ∼ (q ⇒ r).
Zdania
(p∨q)∨r i p∨(q ∨r) maj¡ zawsze t¦ sam¡ warto±¢ logiczn¡
(dlaczego?), wi¦c nawiasy mo»emy opu±ci¢: p ∨ q ∨ r . Podobnie
otrzymujemy zdanie p ∧ q ∧ r .
14
Zdanie
p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn jest:
prawdziwe, gdy ka»de ze zda«
p1, p2, . . . , pn jest prawdziwe,
faªszywe, gdy co najmniej jedno ze zda« p1 , p2 , . . . , pn jest faªszywe.
Zdanie
p1 ∨ p2 ∨ . . . ∨ pn jest:
prawdziwe, gdy co najmniej jedno ze zda«
p1, p2, . . . , pn jest
prawdziwe,
faªszywe, gdy ka»de ze zda«
p1, p2, . . . , pn jest faªszywe.
15
Zdania
(p ⇔ q) ⇔ r i p ⇔ (q ⇔ r) maj¡ t¦ sam¡ warto±¢ logiczn¡,
ale warto±¢ logiczn¡ zdania p ⇔ q ⇔ r okre±lamy inaczej.
Zdanie
p1 ⇔ p2 ⇔ . . . ⇔ pn jest:
prawdziwe, gdy wszystkie zdania
p1, p2, . . . , pn s¡ jednocze±nie
prawdziwe lub jednocze±nie faªszywe,
faªszywe, gdy w±ród zda«
p1, p2, . . . , pn s¡ zdania prawdziwe i
zdania faªszywe.
Pytanie. Jak mo»na okre±li¢ prawdziwo±¢ zdania
p 1 ⇒ p 2 ⇒ . . . ⇒ pn ?
16
Wa»na wªasno±¢ spójników logicznych:
Warto±¢ logiczna zdania zªo»onego zale»y jedynie od tego, w
jaki sposób jest ono zbudowane i jakie warto±ci logiczne maj¡
zdania skªadowe. Warto±¢ logiczna zdania zªo»onego nie zale»y
od konkretnej postaci (tre±ci) zda« skªadowych.
Dlatego mo»emy rozwa»a¢ wyra»enia utworzone poprawnie (za
pomoc¡ spójników logicznych i nawiasów) z symboli
p, q , r, itp.
Symbole te nazywamy zmiennymi zdaniowymi. Gdy w takim wyra»eniu podstawimy za zmienne zdaniowe konkretne zdania logiczne, to otrzymamy zªo»one zdanie logiczne.
Uwaga. Je±li to nie prowadzi do nieporozumie«, to zmienne zdaniowe i wyra»enia z nich utworzone mo»emy nazywa¢ zdaniami.
17
Wyra»enia logicznie równowa»ne
Wyra»enia nazywamy logicznie równowa»nymi, gdy maj¡ równe warto±ci logiczne dla dowolnego warto±ciowania logicznego
zmiennych zdaniowych.
Przykªady:
• Wyra»enia p i ∼ (∼ p) s¡ logicznie równowa»ne.
• Wyra»enia
p ⇒ q, ∼ q ⇒∼ p, ∼ p ∨ q i
∼ (p∧ ∼ q)
s¡ logicznie równowa»ne.
18
Inny przykªad. Zdanie
∼ (p ∧ q)
jest faªszywe tylko w przypadku, gdy zdanie
czyli gdy oba zdania
p ∧ q jest prawdziwe,
p i q s¡ prawdziwe. Zdanie
∼ p∨ ∼ q
jest faªszywe tylko w przypadku, gdy oba zdania
faªszywe, czyli gdy oba zdania
∼ p, ∼ q s¡
p i q s¡ prawdziwe. Zatem zdania
∼ (p ∧ q) i
∼ p∨ ∼ q
s¡ logicznie równowa»ne.
Analogicznie, zdania
∼ (p ∨ q) i
∼ p∧ ∼ q
s¡ logicznie równowa»ne.
19
Tautologie
Tautologi¡ nazywamy wyra»enie, które ma warto±¢ logiczn¡ prawda dla dowolnego warto±ciowania zda« prostych.
Przykªady tautologii:
• p ⇒ p,
• p∨ ∼ p (prawo wyª¡czonego ±rodka),
• ∼ (p∧ ∼ p) (prawo sprzeczno±ci),
• (∼ p ⇒ p) ⇒ p (prawo Claviusa),
20
• (p ∧ q) ⇒ p,
• p ⇒ (p ∨ q),
• ∼ p ⇒ (p ⇒ q),
• ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ⇒ (p ⇔ q),
• (p ⇒ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r)).
21
Wyra»enie postaci
wyra»enia
P ⇔ Q jest tautologi¡ dokªadnie wtedy, gdy
P i Q s¡ logicznie równowa»ne.
Przykªady.
• Prawo podwójnego przeczenia:
p ⇔∼ (∼ p).
• Prawa de Morgana:
∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p∨ ∼ q),
∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q).
22
• Metoda dowodu nie wprost jest oparta na tautologii
(p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p).
• Metoda dowodu przez sprzeczno±¢ jest oparta na tautologii
(p ⇒ q) ⇔∼ (p∧ ∼ q).
23
Metoda zero-jedynkowa
Warto±¢ logiczn¡ faªsz oznaczamy symbolem
0, a warto±¢ lo-
giczn¡ prawda symbolem
1. Je±li zdanie p jest faªszywe, to
piszemy v(p) = 0, a je±li jest prawdziwe, to piszemy v(p) = 1.
Warto±ci logiczne zda« zªo»onych okre±lili±my nast¦puj¡co:
v(p)
0
1
v(p) v(q)
0
0
0
1
1
0
1
1
v(∼ p)
1
0
v(p ∨ q) v(p ∧ q) v(p ⇒ q) v(p ⇔ q)
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
24
Przykªad. Warto±¢ logiczn¡ zdania zªo»onego
((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ⇒ (p ∧ q)
dla poszczególnych warto±ciowa« zda« prostych mo»emy obliczy¢
nast¦puj¡co:
v(p) v(q) v(p ⇒ q) v(q ⇒ p) v(p ∧ q)
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
v((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) v(((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ⇒ (p ∧ q))
1
0
0
1
0
1
1
1
25
Szybszy sposób polega na tym, »e nie wypisujemy poszczególnych zda« skªadowych w oddzielnych kolumnach (np.
p ⇒ q,
q ⇒ p i p ∧ q ); piszemy tylko caªe zdanie zªo»one, a warto±ci
logiczne poszczególnych zda« skªadowych wypisujemy pod tymi
zdaniami (dokªadniej: pod ich spójnikami logicznymi). Gdy wypiszemy np. warto±ci logiczne zda«
p ⇒ q i q ⇒ p, to warto±ci
logiczne zdania (p ⇒ q)∧(q ⇒ p) wypisujemy pod spójnikiem ∧.
v(p) v(q) ((p ⇒ q) ∧ (q
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
⇒ p)) ⇒ (p ∧ q)
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
26
Przykªad. Zdania
(p ∨ q) ∧ r i (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)
s¡ logicznie równowa»ne.
v(p)
0
0
0
0
1
1
1
1
v(q)
0
0
1
1
0
0
1
1
v(r)
0
1
0
1
0
1
0
1
(p
∨
0
0
1
1
1
1
1
1
q)
∧
0
0
0
1
0
1
0
1
r
(p
∧
0
0
0
0
0
1
0
1
r)
∨
0
0
0
1
0
1
0
1
(q
∧
0
0
0
1
0
0
0
1
r)
27
Przykªad. Zdanie
(p ⇒ q) ∨ (q ⇒ p)
jest tautologi¡.
v(p) v(q) (p ⇒ q) ∨ (q ⇒ p)
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
28
Reguªy dowodzenia
Rozwa»my zdania zªo»one
p1, . . ., pn, q . Je±li zdanie
p 1 ∧ . . . ∧ pn ⇒ q
jest tautologi¡, to schemat
p1
...
pn
q
nazywamy reguª¡ dowodzenia. Reguªa dowodzenia oznacza, »e z
prawdziwo±ci zda«
p1, . . ., pn wynika prawdziwo±¢ zdania q .
29
Przykªady reguª dowodzenia
p∧q
p
p
p∨q
q
p⇒q
∼p
p⇒q
p
q
p∧q
p
p⇒q
q
p⇒q
q⇒r
p⇒r
p⇒q
q⇒p
p⇔q
30