Spis treści

Spis treści
Przedmowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rozdział 1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Problem optymalizacji . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Przykłady praktycznych zadań optymalizacyjnych
1.2.1. Optymalne planowanie produkcji . . . . .
1.2.2. Sieć rezystorów . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Sieci elektryczne . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4. Przykład budowy autostrady . . . . . . .
1.2.5. Wystrzelenie rakiety . . . . . . . . . . . .
1.2.6. Model wzrostu lasu . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
10
10
12
13
17
18
19
Rozdział 2. Programowanie liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Postać standardowa zadania programowania liniowego . . . . . .
2.3. Metoda sympleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Rozwiązania bazowe zadania programowania liniowego . .
2.3.2. Wybór zmiennej wprowadzanej do bazy oraz kryterium
optymalności bazowego rozwiązania dopuszczalnego . . . .
2.3.3. Wybór zmiennej wyprowadzanej z bazy oraz wykrywanie
nieograniczoności zadania programowania liniowego . . . .
2.3.4. Algorytm metody sympleks – zapis algebraiczny . . . . .
2.3.5. Różne sposoby organizacji obliczeń w metodzie sympleks .
2.4. Znajdowanie początkowego punktu dopuszczalnego . . . . . . . .
2.4.1. Metoda minimalizacji sumy zmiennych sztucznych . . . .
2.4.2. Technika zmiennych znaków zaproponowana przez Wolfe’a
2.4.3. Metoda jednofazowa (wielkiego M ) . . . . . . . . . . . . .
2.4.4. Przykłady zadań rozwiązywanych dwufazową metodą
sympleks w wersji tablicowej . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Dualne zadanie Lagrange’a do zadania programowania liniowego .
2.5.1. Przykłady wzajemnie dualnych zadań LP . . . . . . . . .
2.5.2. Związki między zadaniami prymalnym i dualnym
programowania liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3. Interpretacja ekonomiczna dualności . . . . . . . . . . . .
2.6. Dualna metoda sympleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1. Przebieg k-tej iteracji dualnej metody sympleks . . . . . .
2.6.2. Analiza i uzasadnienie poszczególnych kroków w dualnej
metodzie sympleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
21
23
25
26
. . 30
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
32
35
41
44
45
46
46
. . 47
. . 56
. . 57
.
.
.
.
.
.
.
.
64
71
73
75
. . 77
4
Spis treści
2.6.3. Przykłady znajdowania rozwiązań za pomocą dualnej
metody sympleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadanie transportowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Programowanie liniowe – algorytmy o wielomianowym nakładzie
obliczeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9. Oprogramowanie do rozwiązywania zadań programowania liniowego
2.9.1. Pakiety powszechnie dostępne . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2. Pakiety komercyjne i systemy modelowania . . . . . . . . .
2.10. Zadania z programowania liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.
2.8.
. 79
. 81
.
.
.
.
.
.
84
87
88
94
100
110
Rozdział 3. Optymalizacja nieliniowa bez ograniczeń . . . . . . . . . 111
3.1.
Zastosowania optymalizacji nieliniowej bez ograniczeń . . . . . . . . . 111
3.1.1. Zadania identyfikacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.1.2. Układy równań nieliniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.1.3. Ciągi pomocniczych zadań bez ograniczeń w metodach
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
optymalizacji z ograniczeniami . . . . . . . . . . . . .
Pojęcie rozwiązania optymalnego . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadania optymalizacji wypukłej . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Zbiór wypukły . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Funkcje wypukłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3. Własności zadań optymalizacji wypukłej . . . . . . . .
Warunki optymalności dla zadań optymalizacji bez ograniczeń
3.4.1. Warunki konieczne dla funkcji różniczkowalnych . . . .
3.4.2. Warunki dostateczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3. Pojęcie ścisłej dodatniej określoności . . . . . . . . . .
3.4.4. Punkty stacjonarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gradientowe metody kierunków poprawy . . . . . . . . . . . .
3.5.1. Kierunki poprawy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2. Metoda najszybszego spadku . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3. Metoda Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4. Metody newtonowskie z aproksymacją różnicową . . .
3.5.5. Metody quasi-newtonowskie . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.6. Metody kierunków sprzężonych . . . . . . . . . . . . .
3.5.7. Analiza zbieżności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.8. Testy zatrzymania algorytmu . . . . . . . . . . . . . .
3.5.9. Modele kwadratowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.10. Lokalna szybkość zbieżności . . . . . . . . . . . . . . .
Minimalizacja w kierunku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1. Metody korzystające z pochodnych . . . . . . . . . . .
3.6.2. Algorytm kolejnych redukcji kroku . . . . . . . . . . .
3.6.3. Algorytm kwadratowych interpolacji i ekstrapolacji . .
3.6.4. Bezgradientowe metody minimalizacji w kierunku . . .
Metoda sympleksu Neldera-Meada jako przykład metody
poszukiwań prostych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
113
113
115
115
115
118
119
120
121
123
124
129
129
132
133
137
138
142
147
148
149
149
152
152
153
153
155
. . . . 160
5
Spis treści
3.8.
3.9.
Oprogramowanie do rozwiązywania układów równań nieliniowych
i zadań optymalizacji bez ograniczeń . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1. Optymalizacja bez ograniczeń . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.2. Estymacja parametrów funkcji nieliniowej metodą
najmniejszych kwadratów . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.3. Układy równań nieliniowych . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadania z optymalizacji nieliniowej bez ograniczeń . . . . . . . . .
Rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 162
. . 163
.
.
.
.
Rozdział 4. Optymalizacja nieliniowa z ograniczeniami . . . . . . .
4.1. Warunki optymalności dla zadań optymalizacji nieliniowej
z ograniczeniami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Warunki konieczne optymalności w przypadku zadania
z ograniczeniami równościowymi . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2. Warunki dostateczne optymalności w przypadku zadania
z ograniczeniami równościowymi . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3. Warunki konieczne optymalności w przypadku zadania
z ograniczeniami równościowymi i nierównościowymi . . . .
4.1.4. Warunki dostateczne optymalności w przypadku zadań
z ograniczeniami równościowymi i nierównościowymi . . . .
4.1.5. Warunki regularności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Dualne zadanie Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Przykłady zadań wzajemnie dualnych . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Twierdzenia o dualności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3. Dualne zadanie Wolfe’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Programowanie kwadratowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Zadanie programowania kwadratowego z ograniczeniami
równościowymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2. Zadania programowania kwadratowego z ograniczeniami
nierównościowymi (metoda zbioru ograniczeń aktywnych) .
4.4. Zewnętrzna funkcja kary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1. Algorytm metody zewnętrznej funkcji kary . . . . . . . . . .
4.4.2. Typowe przykłady funkcji kary . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3. Zmienne sprzężone w punkcie optymalnym . . . . . . . . . .
4.5. Wewnętrzna funkcja kary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6. Mnożnikowe (przesuwane) funkcje kary . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1. Ograniczenia równościowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2. Rozszerzona funkcja Lagrange’a a dokładne funkcje kary . .
4.6.3. Ograniczenia nierównościowe . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7. Dokładna funkcja kary typu l1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8. Algorytm punktu wewnętrznego do rozwiązywania zadań LP . . . .
4.9. Oprogramowanie do rozwiązywania zadań optymalizacji nieliniowej
4.10. Zadania z optymalizacji nieliniowej z ograniczeniami . . . . . . . .
Rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
163
164
164
169
. 170
. 170
. 171
. 177
. 179
.
.
.
.
.
.
.
184
186
187
188
195
201
202
. 203
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
215
232
234
235
237
238
242
243
244
245
247
251
256
265
274
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280