Egzamin z algebry liniowej, 20 czerwca 2005 Zestaw 336 W

Egzamin z algebry liniowej, 20 czerwca 2005
Zestaw 336
W zadaniach 1–13 na każde z czterech pytań należy udzielić odpowiedzi ”tak” albo ”nie”.
1. Po dokonaniu ortonormalizacji Grama-Schmidta bazy a, b, c w R3 ze standardowym iloczynem skalarnym
9 12 20
otrzymano baze, ( 12
, 16 , − 15
), ( 25
, 25 , 25 ), ( 20
, − 15
, 0).
25 25
25
25
25
A. Czy wektor a mógÃl być równy (12, 16, −15)?
B. Czy wektor a mógÃl być równy (1, 0, 0)?
C. Czy wektor b mógÃl być równy (20, −15, 0)?
D. Czy wektor c mógÃl być równy (21, 28, 5)?
2. Niech f : R2 3 (x, y) −→ x − y ∈ R, α : R2 3 (x, y) −→ x + y ∈ R, β : R 3 x −→ 3x ∈ R.
A. Czy f ∗ jest epimorfizmem?
B. Czy f ∗ (β)(1, 1) = 0?
C. Czy α ∈ im f ∗ ?
D. Czy β ∈ ker f ∗ ?
3. Przypuśćmy, że F jest ciaÃlem, n ∈ N i n ≥ 2.
A. Czy (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 dla dowolnych A, B ∈ M (n, n; F )?
B. Czy tr (λA) = λtr A dla dowolnych λ ∈ F i A ∈ M (n, n; F )?
C. Czy det(A + B) = det A + det B dla dowolnych A, B ∈ M (n, n; F )?
D. Czy dla dowolnych A, B ∈ M (n, n; F ) z tego, że AB = 0, wynika, że A = 0 lub B = 0?
4. Definiujemy f : R3 /U 3 [w] −→ [w] ∈ R3 /V , gdzie U = R({(1, 0, 3)}), V = {(x, y, z) ∈ R3 : 3x+2y−z = 0}.
A. Czy f jest epimorfizmem?
B. Czy f jest monomorfizmem?
C. Czy f ([(1, 0, 0)]) = [(1, 1, 2)]?
D. Czy f ([(0, 1, 0)]) = [(1, 1, 3)]?
5. Niech g : R2 × R2 3 ((a, b), (c, d)) −→ ac − ad − bc + bd ∈ R.
A. Czy g ma w bazie (1, 0), (1, 1) macierz diagonalna?
,
B. Czy g jest iloczynem skalarnym?
C. Czy p : R2 −→ R2∗ , określone wzorem p(v)(w) = g(v, w), jest izomorfizmem?
D. Czy istnieje baza przestrzeni R2 ortonormalna wzgledem
standardowego iloczynu skalarnego, w której g ma
,
macierz diagonalna?
,
6. W przestrzeni R3 /U , gdzie U = R({(1, 0, 1)}), mamy a = [(1, 0, 0)], b = [(0, 1, 0)], c = [(0, 0, 1)].
A. Czy dim R3 /U = 3?
B. Czy a, b, c generuja, R3 /U ?
C. Czy a, b, c sa, liniowo niezależne?
D. Czy a, c sa, liniowo niezależne?
7. Niech f : R2 3 (x, y) −→ (2x − 3y, 6x − 9y) ∈ R2 .
A. Czy (3, 2) generuje ker f ?
B. Czy (1, 3) ∈ im f ?
C. Czy R2 = ker f ⊕ im f ?
D. Czy rz f = 2?
8. W tym zadaniu rozważamy przestrzenie wektorowe nad ciaÃlem C.
A. Czy C2 3 (x, y) −→ x ∈ C jest liniowe?
B. Czy {(x, y) ∈ C2 : Im y = 0} jest podprzestrzenia, przestrzeni C2 ?
C. Czy C2 3 (x, y) −→ (x + (2 + i)y, (1 + i)x + (1 + 2i)y) ∈ C2 jest izomorfizmem?
D. Czy (1, 1 + i), (1 − i, 2) tworza, baze, przestrzeni C2 ?
9. Niech f : R2 3 (x, y) −→ (y, x) ∈ R2 .
A. Czy (1, −1) jest wektorem wÃlasnym endomorfizmu f ?
B. Czy f ◦ f ma w dowolnej bazie macierz jednostkowa?
,
C. Czy istnieje baza, w której f ma macierz
·
¸
0 1
?
1 0
D. Czy istnieje taki wektor v ∈ R2 \ {0}, że v i f (v) sa, prostopadÃle wzgledem
standardowego iloczynu
,
skalarnego?
10. Niech
·
¸
3 5
A=
∈ M (2, 2; R).
1 4
A. Czy odwzorowanie liniowe R2 3 (x, y) −→ (2x + 3y, 3x + y) ∈ R2 ma w bazach (0, 1), (1, 1) oraz (1, 0),
(0, 1) macierz A?
B. Czy jeśli odwzorowanie liniowe f : R2 −→ R2 ma w bazach (1, 4), (1, 1) oraz (1, 0), (1, 1) macierz A, to
f (1, 4) = (4, 1)?
C. Czy jeśli odwzorowanie liniowe f : R2 −→ R2 ma w bazach (1, 0), (0, 3) oraz (1, 0), (0, 1) macierz A, to
det f = 7?
D. Czy A jest macierza, przejścia od bazy (1, 0), (0, 1) do bazy (3, 1), (5, 4)?
11. W R3 mamy a = (1, 0, 0), b = (0, 1, 0), c = (0, 0, 1), d = (0, 1, 1).
3
3
3
A. Czy istnieje antysymetryczne
V3 3 trójliniowe f : R × R × R −→ R takie, że f (b, c, d) = 2?
B. Czy istnieje liniowe f :
R −→ R takie, że f (b ∧ c ∧ d) = 2?
C. Czy istnieje antysymetryczne dwuliniowe f : R3 × R3 −→ R takie, że f (a, b) = −1, f (a, c) = 0, f (b, c) = 5?
D. Czy istnieje antysymetryczne dwuliniowe f : R3 × R3 −→ R takie, że f (b, c) = 1, f (b, d) = 0?
12. Przypuśćmy, że F jest nieskończonym ciaÃlem, n ∈ N i n ≥ 2. Dla A ∈ M (n, n; F ) i b ∈ M (n, 1; F )
bedziemy
rozważać równanie Ax = b z niewiadoma, x ∈ M (n, 1; F ). Oznaczmy przez B macierz rozszerzona,
,
[A b] ∈ M (n, n + 1; F ) tego równania.
A. Czy dla dowolnych A ∈ M (n, n; F ) i b ∈ M (n, 1; F ) z tego, że wszystkie minory stopnia n macierzy B sa,
równe zero, wynika, że powyższe równanie ma nieskończenie wiele rozwiazań?
,
B. Czy dla dowolnych A ∈ M (n, n; F ) i b ∈ M (n, 1; F ) z tego, że rz A = rz B, wynika, że rozwiazania
,
powyższego równania tworza, podprzestrzeń afiniczna, wymiaru n − rz A (czyli taka,, której kierunek jest podprzestrzenia, wektorowa, wymiaru n − rz A) przestrzeni M (n, 1; F )?
C. Czy dla dowolnych A ∈ M (n, n; F ) i b ∈ M (n, 1; F ) powyższe równanie ma dokÃladnie jedno rozwiazanie
,
wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A jest odwracalna?
D. Czy dla dowolnych A ∈ M (n, n; F ) i b ∈ M (n, 1; F ) z tego, że powyższe równanie ma co najwyżej jedno
rozwiazanie,
wynika, że ma ono co najmniej jedno rozwiazanie?
,
,
13. W tym zadaniu traktujemy przestrzeń wektorowa, R2 jako przestrzeń euklidesowa, z iloczynem skalarnym
R2 × R2 3 ((a, b), (c, d)) −→ 9ac + bd ∈ R.
A. Czy proste {(x, y) ∈ R2 : x − y = 0} i {(x, y) ∈ R2 : x + y = 0} sa, prostopadÃle?
B. Czy wektor (1, 4) ma dÃlugość 5?
C. Czy wektor (1, 0) jest dÃluższy od wektora (0, 3)?
D. Czy równolegÃlobok rozpiety
na wektorach (1, 0), (0, 3) jest kwadratem?
,
W zadaniach 14 i 15 należy wpisać tylko wynik.
14. Niech f : R3 3 (x, y, z) −→ (4x − y + 5z, x − 5y + 6z, 3x + y + 2z) ∈ R3 . Znaleźć dowolna, baze, przestrzeni
wektorowej ker f .
15. Znaleźć macierz odwrotna, do macierzy


3 1 1
1 2 1.
1 5 2