Zadania dodatkowe

Zadania dodatkowe - indukcja
1. Za pomoc¡ indukcji matematycznej poka», »e:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
3n2 +n
2
3
,
∀n ∈ N
2 + 5 + 8 + . . . + (3n − 1) =
∀n ∈ N
6|n3 + 5n (czyli, »e 6 dzieli n + 5n),
∀n ∈ N
1 · 3 · (1!)2 + 2 · 4 · (2!)2 + . . . + n(n + 2)(n!)2 = ((n + 1)!)2 − 1,
Suma k¡tów wewn¦trznych w n-k¡cie wypukªym jest równa (n − 2)π ,
1
1
1
1
1
1
− 2n
= n+1
+ n+2
+ n+3
+ . . . + 2n
,
1 − + 13 − 14 + . . . + 2n−1
3|10 + 4n − 2.
∀n ∈ N, n ≥ 3
∀n ∈ N
1
2
n
∀n ∈ N
2. Pokaza¢, »e ci¡g Fibonacciego {Fn }n∈N = {1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .} , Fn+2 = Fn+1 + Fn ma nast¦puj¡cy wzór ogólny (zwany cz¦sto wzorem Bineta lub Eulera-Bineta):
1
Fn = √
5
(
(
√ )n
√ )n
1
1+ 5
1− 5
−√
.
2
2
5
Wskazówka Zastosowa¢ zasad¦ indukcji matematycznej.
Uwaga Mimo niewymierno±ci wielu elementów we wzorze ogólnym, liczby Fibonacciego
zawsze s¡ liczbami naturalnymi!
3. Pokaza¢, »e dla ci¡gu Fibonacciego (zdeniowanego jw.) zachodzi:
Fk+1
,
k→∞ Fk
φ = lim
gdzie φ =
√
1+ 5
2
≈ 1.618033989 jest tzw. zªot¡ liczb¡.
Wskazówka Zastosowa¢ wzór ogólny z poprzedniego zadania.
4. Pokaza¢ (korzystaj¡c z powy»szego zadania), »e dla ci¡gu {pn }n∈N∪{0} zdeniowanego w
nast¦puj¡cy sposób:
p0 = a, p1 = λa, λ > 0, a > 0,
zachodzi:
pn =
√
p2n−1 + p2n−2
dla n ≥ 2,
pk+1 √
= φ.
k→∞ pk
lim
Wskazówka Pokaza¢ indukcyjnie, »e ci¡g {p } ma nast¦puj¡ce równanie ogólne:
n
√
pk = a Fk−1 + λ2 Fk ,
k ≥ 1 (przy zaªo»eniu F0 = 0).
Uwaga Powy»sze twierdzenie pochodzi z pracy p. D. Jacak. Z ciekawo±ci warto przejrze¢
sam artykuª, poniewa» znajduj¡ si¦ w nim proste, a zarazem bardzo ciekawe, konstrukcje
geometryczne dzi¦ki którym otrzymujemy dobre przybli»enia liczby φ.
5. Zadanie o kotach Indukcja bywa podchwytliwa, co dobrze obrazuje nast¦puj¡ce zadanie: za
pomoc¡ indukcji matematycznej poka»emy, »e wszystkie koty s¡ jednego koloru!
1◦ Jeden kot (przypadek n0 = 1) oczywi±cie jest jednego koloru.
2◦ Zaªó»my, »e dla pewnego k ≥ n0 = 1 dowolny zbior k kotów jest tego samego koloru.
Rozwa»my wi¦c grup¦ k + 1 kotów. Chowaj¡c ostatniego (k + 1-wszego) kota do worka i
stosuj¡c nasze zaªo»enie indukcyjne otrzymujemy, »e pozostaªe k kotów jest tego samego
koloru. Wymieniaj¡c nast¦pnie kota z worka z pierwszym kotem w naszym zbiorze (tzn.
pierwszy kot traa do worka, a ten z worka traa do naszego zbioru kotów) - mo»emy znowu
korzysta¢ z zaªo»enia indukcyjnego, czyli ponownie wszystkie k kotów jest tego samego
koloru. A skoro kot w worku byª te» tego samego koloru co wszystkie inne koty, otrzymujemy
wi¦c, »e dowolny zbiór k+1 kotów jest tego samego koloru. Wydaje si¦ wi¦c, »e sprawdzili±my
prawdziwo±¢ implikacji Tk ⇒ Tk+1 .
Niemniej codzienne obserwacje wskazuj¡, »e istniej¡ koty ró»nych kolorów... Gdzie wi¦c
popeªnili±my bª¡d?
Miªego rozwi¡zywania,
Michaª Balcerek